Mit Vektoren rechnen · Erklären & üben

Vektorprodukte gezielt wählen

Welche Rechnung passt zum Ziel? Entscheide zuerst, ob eine Zahl oder ein Vektor gesucht ist. Danach wählst du die passende Verknüpfung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zuerst den Ergebnistyp klären

Eine Zahl mal Vektor ergibt einen Vektor: $\mathsf{k\vec a}$ . Zwei Vektoren können dagegen eine Zahl oder einen Vektor liefern. Das Rechenzeichen legt fest, welche Verknüpfung gemeint ist.

Das Skalarprodukt $\mathsf{\vec a\cdot\vec b}$ ergibt eine Zahl. Das Kreuzprodukt $\mathsf{\vec a\times\vec b}$ ergibt in diesem Thema einen Vektor im dreidimensionalen Raum. Die Ausgangsvektoren müssen jeweils dieselbe Dimension haben.

„Vektoren multiplizieren“ allein ist deshalb keine eindeutige Rechenanweisung.

Drei Produktarten mit Eingaben, Ergebnisart und passendem Zweck.

Erklärung 02

Skalieren: Länge und Richtung verändern

Bei $\mathsf{k\vec a}$ wird jede Komponente mit derselben Zahl multipliziert. Für $\mathsf{k<0}$ kehrt sich die Richtung um; die Länge wird mit $\mathsf{|k|}$ multipliziert. Bei $\mathsf{k=0}$ entsteht der Nullvektor.

So geht es am Beispiel

Ein Verschiebungsvektor $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$ soll in Gegenrichtung dreimal so lang werden.

Der Faktor ist $\mathsf{k=-3}$ .

\mathsf{-3\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\cdot2\\-3\cdot(-1)\end{pmatrix}}

\mathsf{\begin{pmatrix}-6\\3\end{pmatrix}}

Erklärung 03

Skalarprodukt: eine Zahl für den Vergleich

Für Orthogonalität, Länge oder Winkel benötigst du das Skalarprodukt. In der Ebene gilt $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2}$ ; im Raum wird $\mathsf{a_3b_3}$ ergänzt.

Die Länge folgt aus $\mathsf{|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}}$ . Bei zwei von null verschiedenen Vektoren bedeutet $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=0}$ einen rechten Winkel.

Für den Winkel gilt $\mathsf{\operatorname{\textsf{cos}}\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}}$ . Die Berechnung des Winkels wird im Thema Skalarprodukt ausführlich geübt.

So geht es am Beispiel

Prüfe, ob $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}}$ senkrecht stehen.

\mathsf{\vec a\cdot\vec b=3\cdot(-2)+2\cdot3}

\mathsf{\vec a\cdot\vec b=-6+6=0}

Beide Vektoren sind von null verschieden.

Erklärung 04

Kreuzprodukt: Normalenvektor und Fläche

Ein Normalenvektor soll senkrecht auf zwei Raumvektoren stehen. Dafür eignet sich ihr Kreuzprodukt, sofern die beiden Vektoren nicht parallel sind.

Der Betrag $\mathsf{|\vec a\times\vec b|}$ ist die Fläche des von ihnen aufgespannten Parallelogramms. Die Hälfte davon ist die zugehörige Dreiecksfläche.

Für Raumvektoren gilt $\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}}$ . Beim Vertauschen wechselt das Vorzeichen. Die ausführliche Rechenmethode steht im Thema Kreuzprodukt.

So geht es am Beispiel

Gesucht sind ein Normalenvektor und die Parallelogrammfläche zu $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}}$ .

\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}0\cdot0-0\cdot3\\0\cdot0-2\cdot0\\2\cdot3-0\cdot0\end{pmatrix}}

\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}}

\mathsf{A=|\vec n|=\sqrt{0^2+0^2+6^2}}

\mathsf{A=6}

Erklärung 05

Mehrere Produkte sinnvoll verbinden

Prüfe zusammengesetzte Ausdrücke von innen nach außen. In $\mathsf{(\vec a\cdot\vec b)\vec c}$ ist die Klammer eine Zahl; danach wird ein Vektor skaliert.

In $\mathsf{\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)}$ entsteht innen ein Raumvektor und außen eine Zahl. Diese Verknüpfung führt zum späteren Thema Spatprodukt.

Eine Tabelle mit komponentenweise multiplizierten Zahlen ist weder automatisch das Skalarprodukt noch das Kreuzprodukt.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Vektorprodukte gezielt wählen · EinstiegWähle die passende Verknüpfung. a) Eine Verschiebung soll doppelt so lang werden. b) Zwei Richtungen sollen auf einen rechten Winkel geprüft werden. c) Gesucht ist ein Normalenvektor zu zwei nicht parallelen Raumvektoren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Rechnung und Ergebnistyp
b) Rechnung und Ergebnistyp
c) Rechnung und Ergebnistyp
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  a) Ein einzelner Vektor wird skaliert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  b) Das Skalarprodukt liefert die Prüfzahl.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  c) Das Kreuzprodukt liefert einen Raumvektor.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Rechnung und Ergebnistyp $\mathsf{2\vec a}$ : Vektor.
2. b) Rechnung und Ergebnistyp $\mathsf{\vec a\cdot\vec b}$ : Zahl; bei 0 und zwei Nichtnullvektoren rechter Winkel.
3. c) Rechnung und Ergebnistyp $\mathsf{\vec a\times\vec b}$ : Vektor.
02
Aufgabe 2Vektorprodukte gezielt wählen · EinstiegBerechne $\mathsf{-\frac32\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}$ und beschreibe Richtung und Längenfaktor.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vektor
Geometrische Wirkung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}-\frac32\cdot4\\-\frac32\cdot(-2)\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\begin{pmatrix}-6\\3\end{pmatrix}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vektor $\mathsf{\begin{pmatrix}-6\\3\end{pmatrix}}$
2. Geometrische WirkungGegenrichtung; 1,5-fache Länge.
03
Aufgabe 3Vektorprodukte gezielt wählen · StandardGegeben sind $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}}$ . Berechne beide Produkte und nenne jeweils den Ergebnistyp.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Skalarprodukt und Typ
Kreuzprodukt und Typ
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=2\cdot0+1\cdot3+0\cdot1}$
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=3}$
  $\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}1\cdot1-0\cdot3\\0\cdot0-2\cdot1\\2\cdot3-1\cdot0\end{pmatrix}}$
  $\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}1\\-2\\6\end{pmatrix}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Skalarprodukt und Typ3; eine Zahl.
2. Kreuzprodukt und Typ $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\-2\\6\end{pmatrix}}$ ; ein Raumvektor.
04
Aufgabe 4Vektorprodukte gezielt wählen · StandardFür zwei Kantenvektoren ist $\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}0\\0\\-12\end{pmatrix}}$ bekannt. Bestimme die Parallelogrammfläche. Begründe, warum −12 keine Fläche ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fläche und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=\sqrt{0^2+0^2+(-12)^2}}$
  $\mathsf{A=12}$
Ergebnis
1. Fläche und Begründung12 Flächeneinheiten. Der Betrag ist nicht negativ; das Minuszeichen beschreibt die Orientierung des Normalenvektors.
05
Aufgabe 5Vektorprodukte gezielt wählen · StandardEine Schülerin behauptet: „Das Produkt von $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}$ ist $\mathsf{\begin{pmatrix}8\\-3\end{pmatrix}}$ .“ Erkläre das Problem und berechne das Skalarprodukt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erklärung
Skalarprodukt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Verknüpfung wurde nicht benannt. Komponentenweises Multiplizieren ist nicht das Skalarprodukt.
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=2\cdot4+3\cdot(-1)}$
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=8-3=5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. ErklärungOhne Rechenzeichen ist „Produkt“ mehrdeutig. Das Skalarprodukt addiert die Komponentenprodukte.
2. Skalarprodukt5
06
Aufgabe 6Vektorprodukte gezielt wählen · StandardWähle eine Produktrechnung zur Länge von $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}}$ und berechne die Länge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verknüpfung und Länge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{|\vec a|^2=\vec a\cdot\vec a=2^2+(-3)^2+6^2}$
  $\mathsf{|\vec a|^2=49}$
  $\mathsf{|\vec a|=7}$
Ergebnis
1. Verknüpfung und LängeSkalarprodukt mit sich selbst; $\mathsf{|\vec a|=7}$ .
07
Aufgabe 7Vektorprodukte gezielt wählen · StandardZeichne $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ vom Ursprung aus. Ergänze $\mathsf{\vec b=-2\vec a}$ in der vorbereiteten Zeichnung und beschrifte beide Pfeile.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeichnung und Vektor
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Zeichnung und Vektor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der zweite Pfeil zeigt vom Ursprung nach (−4 | −2).
Ergebnis
1. Zeichnung und Vektor $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}}$
08
Aufgabe 8Vektorprodukte gezielt wählen · VertiefungNenne den Ergebnistyp: a) $\mathsf{(\vec a\cdot\vec b)\vec c}$ ; b) $\mathsf{\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)}$ ; c) $\mathsf{(\vec a\times\vec b)\times\vec c}$ . Alle Vektoren liegen im Raum.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Typ
b) Typ
c) Typ
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  a) Innen Zahl; Zahl mal Vektor ergibt Vektor.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  b) Innen Raumvektor; Skalarprodukt ergibt Zahl.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  c) Beide Kreuzprodukte ergeben Raumvektoren.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) TypVektor
2. b) TypZahl
3. c) TypVektor
09
Aufgabe 9Vektorprodukte gezielt wählen · VertiefungWähle eine geeignete Verknüpfung und bestimme t so, dass $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}t\\6\end{pmatrix}}$ senkrecht sind.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und t
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2t+6=0}$
  $\mathsf{2t=-6}$
  $\mathsf{t=-3}$
Ergebnis
1. Rechnung und tSkalarprodukt gleich 0 setzen; $\mathsf{t=-3}$ .
10
Aufgabe 10Vektorprodukte gezielt wählen · VertiefungJemand folgert aus $\mathsf{\vec a\times\vec b=\vec0}$ , die Vektoren seien senkrecht. Widerlege das mit $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=2\vec a}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrektur mit Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Vektoren sind parallel, weil $\mathsf{\vec b=2\vec a}$ .
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=1\cdot2+2\cdot4+3\cdot6}$
  $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=28}$
Ergebnis
1. Korrektur mit BegründungKreuzprodukt 0 bedeutet hier parallele Vektoren. Das Skalarprodukt 28 ist nicht 0; die Vektoren sind nicht senkrecht.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich wähle die Verknüpfung passend zum gesuchten Ergebnistyp.
Ich beachte die Dimensionen und rechne mit korrekten Vorzeichen.
Ich schließe Nullvektoren bei Winkelberechnungen aus.

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