Streuung · Erklären & üben

Spannweite und Quartilsabstand

Spannweite und Quartilsabstand beschreiben verschiedene Bereiche einer Datenreihe: die beiden äußersten Werte oder die mittlere Hälfte. Du berechnest beide nach klaren Quartilregeln.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Abstand der Extremwerte

Die Spannweite ist größter minus kleinster beobachteter Wert. Sie ist nicht die Anzahl verschiedener Werte. Bei gleicher Maßeinheit hat sie dieselbe Einheit wie die Daten. Sie hängt nur von zwei Extremwerten ab und kann sich durch einen einzelnen auffälligen Wert stark ändern.

Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.
Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

$\mathsf{R=x_{\max}-x_{\min}}$

So geht es am Beispiel

Bestimme die Spannweite von 2,4,5,7,8,10,11,25 cm.

\mathsf{R=25-2=23\,\mathsf{cm}}

Erklärung 02

Die mittlere Hälfte abgrenzen

Wir verwenden wie im Boxplot-Thema die Median-der-Hälften-Regel: sortieren, Median bestimmen und die beiden Hälften bilden. Bei ungerader Anzahl wird der mittlere Wert beim Halbieren ausgelassen. Q 1 und Q 3 sind die Mediane der Hälften. Der Interquartilsabstand IQR ist ihre Differenz. Andere Quartilkonventionen können bei kleinen Listen andere Ergebnisse liefern.

Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.
Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

$\mathsf{\operatorname{\textsf{IQR}}=Q_3-Q_1}$

Getrennte Darstellung der Spannweite und des Quartilsbereichs.

So geht es am Beispiel

Berechne den IQR der acht Werte aus Beispiel 1.

\mathsf{Q_1=\frac{4+5}{2}=4{,}5,\qquad Q_3=\frac{10+11}{2}=10{,}5}

\mathsf{\operatorname{\textsf{IQR}}=10{,}5-4{,}5=6\,\mathsf{cm}}

So geht es am Beispiel

Bestimme den IQR der Werte 1,2,4,6,8,10,12.

Die 6 wird ausgelassen. Die Hälften 1,2,4 und 8,10,12 haben Mediane 2 und 10.

\mathsf{IQR=10-2=8}

Erklärung 03

Wie reagieren die Maße?

Der IQR ist gegenüber einzelnen extremen Randwerten robuster als die Spannweite, aber nicht gegen beliebige Datenänderungen unveränderlich. Er beschreibt nicht den gesamten beobachteten Bereich. Bei Bindungen liegt nicht zwingend genau die Hälfte der Daten streng zwischen den Quartilen.

Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.
Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

Robustheit bedeutet geringere Empfindlichkeit, nicht völlige Unveränderlichkeit.

Auswirkung eines geänderten Maximums auf Spannweite und IQR.

So geht es am Beispiel

Ersetze in 2,4,5,7,8,10,11,25 den Wert 25 durch 100.

\mathsf{R=100-2=98}

Die für die Quartile gemittelten Werte 4,5 und 10,11 bleiben dieselben. Deshalb bleibt der IQR hier 6.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Spannweite und Quartilsabstand · EinstiegBerechne die Spannweite von 2,4,5,7,8,10,11,25 cm.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Spannweite
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{R=25-2=23\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Spannweite $\mathsf{23\,\mathsf{cm}}$
02
Aufgabe 2Spannweite und Quartilsabstand · EinstiegBestimme Q 1 und Q 3 dieser acht Werte nach der Median-der-Hälften-Regel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Unteres Quartil
Oberes Quartil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{Q_1=(4+5):2=4{,}5}$
  $\mathsf{Q_3=(10+11):2=10{,}5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Unteres Quartil $\mathsf{4{,}5}$
2. Oberes Quartil $\mathsf{10{,}5}$
03
Aufgabe 3Spannweite und Quartilsabstand · StandardBerechne mit Q 1=4,5 cm und Q 3=10,5 cm den IQR.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quartilsabstand
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{IQR=10{,}5-4{,}5=6\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Quartilsabstand $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Spannweite und Quartilsabstand · StandardZeichne in die Vorlage eine Box von 4,5 bis 10,5 cm mit Medianlinie bei 7,5 cm. Markiere darüber als gesonderte Strecke die Spannweite von 2 bis 25 cm. Beschrifte beide Darstellungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Box und Spannweitenstrecke
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Box und Spannweitenstrecke
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Box zeigt den Quartilsbereich; die separate Strecke zeigt den Abstand der Extremwerte. Sie sind keine austauschbaren Größen.
Ergebnis
1. Box und SpannweitenstreckeBox 4,5–10,5, Median 7,5; gesonderte Strecke 2–25.
05
Aufgabe 5Spannweite und Quartilsabstand · TransferDas Maximum 25 wird durch 100 ersetzt; alle anderen Werte bleiben gleich. Berechne die neue Spannweite und erkläre den hier unveränderten IQR.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Neue Spannweite
IQR-Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{R=100-2=98}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die zur Quartilberechnung benutzten inneren Werte bleiben gleich.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Neue Spannweite $\mathsf{98}$
2. IQR-BegründungQuartilbestimmende innere Werte bleiben unverändert.
06
Aufgabe 6Spannweite und Quartilsabstand · TransferDie Listen 0,1,2,9,10 und 0,4,5,6,10 haben dieselbe Spannweite. Darfst du daraus auf dieselbe Verteilung der mittleren Werte schließen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Spannweiten sind 10. Die inneren Werte unterscheiden sich aber deutlich; eine Spannweite beschreibt sie nicht.
Ergebnis
1. BegründungNein; die Spannweite enthält nur Informationen über Minimum und Maximum.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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