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Streuung · Erklären & üben

Spannweite berechnen

Du bestimmst die Spannweite aus Rohdaten oder Häufigkeitstabellen. Entscheidend sind die tatsächlich beobachteten Extremwerte, nicht die größten und kleinsten aufgedruckten Tabellenkategorien.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Minimum und Maximum finden

Sortieren kann helfen, ist aber nicht zwingend: Suche kleinsten und größten Wert. Subtrahiere in dieser Reihenfolge. Bei negativen Werten helfen Klammern. Unterschiedliche Einheiten müssen zuerst umgerechnet werden.

  1. Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.

  2. Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

R=xmax⁡−xmin⁡\mathsf{R=x_{\max}-x_{\min}}

Temperaturwerte und korrekt berechneter Extremabstand.

So geht es am Beispiel

Temperaturen von−4,0,3,8 Grad Celsius wurden gemessen. Bestimme die Spannweite.

R=8−(−4)=12 ∘C\mathsf{R=8-(-4)=12\,{}^\circ\mathsf C}

Ergebnis

Die Temperaturdifferenz beträgt 12 Grad; als Differenz entspricht das 12 Kelvin.

Erklärung 02

Nullhäufigkeiten ausschließen

Eine Häufigkeitstabelle kann mögliche, aber unbeobachtete Werte enthalten. Für die Spannweite zählen nur Zeilen mit positiver Häufigkeit. Ob diese Häufigkeiten absolut oder relativ angegeben werden, ändert die beobachteten Extremwerte nicht. Bei gerundeten Anteilen kann eine angezeigte Null allerdings einen kleinen positiven Anteil verdecken; dann braucht man die ungerundeten Daten.

  1. Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.

  2. Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

Nur tatsächlich beobachtete Werte bestimmen die Spannweite.

Absolute und relative Häufigkeiten einschließlich unbeobachteter Kategorien.

So geht es am Beispiel

Die Werte 1,3,5,9 haben Häufigkeiten 0,2,3,0. Berechne die Spannweite.

Beobachtet wurden nur 3 und 5.

R=5−3=2\mathsf{R=5-3=2}

Ergebnis

Die Spannweite ist 2, nicht 8.

So geht es am Beispiel

Dieselben Werte haben die exakten relativen Häufigkeiten 0;0,4;0,6;0.

Auch hier sind nur 3 und 5 beobachtet.

R=2\mathsf{R=2}

Ergebnis

Absolute und relative Darstellung ergeben dieselbe Spannweite.

Erklärung 03

Was die Spannweite nicht sagt

Ein neuer Extremwert kann die Spannweite stark verändern; viele Änderungen im Inneren beeinflussen sie dagegen gar nicht. Größere Stichproben können allein durch mehr Beobachtungen extremere Werte enthalten, daher sind Spannweiten verschiedener Stichprobengrößen vorsichtig zu vergleichen. In Excel lässt sich die Rohdaten-Spannweite als MAX(Bereich)−MIN(Bereich) berechnen; Häufigkeitstabellen erfordern zuvor das Ausschließen unbeobachteter Kategorien. Ergänzende Maße behandeln Spannweite und Quartilsabstand sowie Standardabweichung.

  1. Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.

  2. Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

Eine kleine Spannweite beweist weder eine große Stichprobe noch eine bestimmte Verteilungsform.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Spannweite berechnen · EinstiegBerechne die Spannweite der Temperaturen−7,−2,4,6 Grad Celsius.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      R=6−(−7)=13 ∘C\mathsf{R=6-(-7)=13\,{}^\circ\mathsf C}

    Ergebnis

    1. Spannweite in Grad13\mathsf{13}
  2. Aufgabe 2Spannweite berechnen · EinstiegDie kleinste Länge beträgt 80 cm, die größte 1,2 m. Berechne die Spannweite in Zentimetern.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      1,2 m=120 cm\mathsf{1{,}2\,\mathsf m=120\,\mathsf{cm}}
      R=120−80=40 cm\mathsf{R=120-80=40\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Spannweite40 cm\mathsf{40\,\mathsf{cm}}
  3. Aufgabe 3Spannweite berechnen · StandardDie Werte 0,2,6,10 haben absolute Häufigkeiten 0,3,2,0. Bestimme die Spannweite.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Nur 2 und 6 wurden beobachtet.

      R=6−2=4\mathsf{R=6-2=4}

    Ergebnis

    1. Spannweite4\mathsf{4}
  4. Aufgabe 4Spannweite berechnen · StandardFür Werte 1,4,8,12 sind die exakten relativen Häufigkeiten 0;0,2;0,8;0 gegeben. Bestimme die Spannweite.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      R=8−4=4\mathsf{R=8-4=4}

    Ergebnis

    1. Spannweite4\mathsf{4}
  5. Aufgabe 5Spannweite berechnen · TransferTrage die Temperaturen−3,2,5,9 Grad Celsius in die Zahlengerade ein. Markiere darüber die Strecke vom kleinsten bis zum größten Wert und beschrifte ihre Länge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Darstellung der Spannweite

    Vorbereitete Darstellung mit vorgegebenen Achsen oder Tabellenwerten.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung
      R=9−(−3)=12 ∘C\mathsf{R=9-(-3)=12\,{}^\circ\mathsf C}

    Ergebnis

    1. Darstellung der SpannweitePunkte−3,2,5,9; Spannweitenstrecke−3 bis 9 mit Länge 12.
  6. Aufgabe 6Spannweite berechnen · TransferZu einer Liste mit Minimum 2 und Maximum 8 kommt ein neuer Wert 30 hinzu. Berechne alte und neue Spannweite. Muss die Streuung aller übrigen Werte deshalb zugenommen haben?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Ralt=8−2=6\mathsf{R_{alt}=8-2=6}
      Rneu=30−2=28\mathsf{R_{neu}=30-2=28}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die bisherigen Werte bleiben unverändert; nur ein neuer Extremwert verändert das Maß.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Alte Spannweite6\mathsf{6}
    2. Neue Spannweite28\mathsf{28}
    3. BegründungNein; der einzelne neue Extremwert erklärt die Änderung.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
  • Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
  • Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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