Mit Vektoren rechnen · Erklären & üben

Spatprodukt

Das Spatprodukt verbindet drei räumliche Vektoren zu einer Zahl. Ihr Vorzeichen beschreibt die Orientierung; ihr Betrag ist das Volumen des aufgespannten Spats.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Drei Kanten, zwei Rechenarten

Die Kanten a,b,c beginnen gedanklich am selben Punkt. Zuerst kreuzt du a und b. Danach bildest du das Skalarprodukt mit c.

Kreuzprodukt und Skalarprodukt sind verschieden: Das Zwischenergebnis ist ein Vektor, das Endergebnis eine Zahl. Hier verwenden wir durchgehend die Reihenfolge $\mathsf{(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c}$ .

$\mathsf{s=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c}$

So geht es am Beispiel

Berechne für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{n_1=(0)\cdot(0)-(0)\cdot(3)}$ — Komponente 1 einsetzen.

$\mathsf{n_1=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.

$\mathsf{n_2=(0)\cdot(0)-(2)\cdot(0)}$ — Komponente 2 einsetzen.

$\mathsf{n_2=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.

$\mathsf{n_3=(2)\cdot(3)-(0)\cdot(0)}$ — Komponente 3 einsetzen.

$\mathsf{n_3=6}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.

$\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}}$ — Komponenten zum Kreuzprodukt zusammenfassen.

$\mathsf{s=0\cdot1+0\cdot1+6\cdot4}$ — Skalarprodukt mit c.

$\mathsf{s=24}$ — ausrechnen.

Erklärung 02

Vorzeichen und Volumen

Der Spat kann schief sein. Nur die zur Grundfläche senkrechte Komponente von c trägt zur Höhe bei. Deshalb ist der Betrag des gemischten Produkts das Volumen.

Ein negatives Spatprodukt bedeutet nicht negatives Volumen. Der Betrag entfernt die Orientierungsinformation.

Vertauschst du zwei Vektoren, wechselt das Vorzeichen. Eine zyklische Vertauschung lässt das Spatprodukt gleich.

$\mathsf{V=|s|}$

Schrägbild eines Spats mit a=(4,0,0),b=(0,3,0),c=(0,0,2), Grundfläche12FE,Höhe2LE,Volumen24VE.

So geht es am Beispiel

Vertausche im ersten Beispiel a und b.

$\mathsf{\vec b\times\vec a=\begin{pmatrix}0\\0\\-6\end{pmatrix}}$ — Kreuzproduktrichtung umkehren.

$\mathsf{s=(-6)\cdot4}$ — mit der dritten Komponente von c multiplizieren.

$\mathsf{s=-24}$ — ausrechnen.

$\mathsf{V=|-24|}$ — Betrag bilden.

$\mathsf{V=24}$ — Volumen angeben.

Erklärung 03

Koplanarität und Nullvolumen

Gilt $\mathsf{s=0}$ , sind die drei Vektoren linear abhängig. Sie liegen in einer gemeinsamen Ebene durch den Ursprung oder in einem kleineren Unterraum. Der Spat hat Volumen null.

Das gilt auch dann, wenn zwei Kanten parallel sind oder eine Kante null ist. Aus Volumen null folgt nicht, dass alle drei Vektoren null sind.

Für vier Punkte A,B,C,D prüfst du die drei Kanten B−A,C−A,D−A. Bei Spatprodukt null liegen die vier Punkte in einer Ebene; drei kollineare Ausgangspunkte erlauben ebenfalls eine solche Ebene.

Erklärung 04

Konkrete Determinantenschreibweise

Das Spatprodukt kann als Determinante der Matrix mit den Vektorspalten a,b,c geschrieben werden. Dieselben Komponenten werden multipliziert und mit Vorzeichen addiert.

Hier wird nur die konkrete 3×3-Schreibweise genutzt. Allgemeine Determinantensätze, Eigenwerte und die Theorie beliebig großer Matrizen gehören nicht zu diesem Thema.

$\mathsf{s=\operatorname{\textsf{det}}\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}}$

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\operatorname{\textsf{det}}\begin{pmatrix}2&0&1\\0&3&1\\0&0&4\end{pmatrix}}$ durch Entwicklung nach der ersten Spalte.

$\mathsf{s=2\cdot(3\cdot4-1\cdot0)}$ — nur der erste Eintrag der ersten Spalte ist ungleich null.

$\mathsf{s=2\cdot12}$ — Klammer ausrechnen.

$\mathsf{s=24}$ — multiplizieren.

Erklärung 05

Einheiten und weiterführende Anwendungen

Bei Kantenkomponenten in Metern ist das Volumen in Kubikmetern anzugeben. Der Kreuzproduktbetrag allein hätte die Einheit Quadratmeter.

Das Volumen eines Tetraeders mit denselben drei Kanten ab einem Eckpunkt ist ein Sechstel des Spatvolumens. Diese Verbindung ist eine ergänzende Anwendung; der Schwerpunkt bleibt beim Spat.

Kreuzprodukt und Skalarprodukt sind in den Themen 2254 und 2253 erklärt. Bei Punktaufgaben zuerst Kanten bilden, nicht ungeprüft Ortsvektoren einsetzen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Spatprodukt · GrundlagenBerechne Spatprodukt und Spatvolumen für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}0\\0\\5\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Spatprodukt s
Volumen V
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=(0)\cdot(0)-(0)\cdot(3)}$ — Komponente 1 einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=(0)\cdot(0)-(2)\cdot(0)}$ — Komponente 2 einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=(2)\cdot(3)-(0)\cdot(0)}$ — Komponente 3 einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=6}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}}$ — Komponenten zum Kreuzprodukt zusammenfassen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=(0)\cdot(0)+(0)\cdot(0)+(6)\cdot(5)}$ — mit c skalar multiplizieren.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=30}$ — ausrechnen.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=|30|}$ — Betrag bilden.
11. Schritt 11 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=30}$ — Volumen angeben.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Spatprodukt s $\mathsf{30}$
2. Volumen V $\mathsf{30}$ VE
02
Aufgabe 2Spatprodukt · GrundlagenBerechne Spatprodukt und Spatvolumen für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Spatprodukt s
Volumen V
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=(1)\cdot(0)-(0)\cdot(2)}$ — Komponente 1 einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=(0)\cdot(0)-(1)\cdot(0)}$ — Komponente 2 einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=(1)\cdot(2)-(1)\cdot(0)}$ — Komponente 3 einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=2}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}$ — Komponenten zum Kreuzprodukt zusammenfassen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=(0)\cdot(1)+(0)\cdot(0)+(2)\cdot(3)}$ — mit c skalar multiplizieren.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=6}$ — ausrechnen.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=|6|}$ — Betrag bilden.
11. Schritt 11 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=6}$ — Volumen angeben.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Spatprodukt s $\mathsf{6}$
2. Volumen V $\mathsf{6}$ VE
03
Aufgabe 3Spatprodukt · GrundlagenBerechne Spatprodukt und Spatvolumen für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Spatprodukt s
Volumen V
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=(0)\cdot(2)-(0)\cdot(0)}$ — Komponente 1 einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=(0)\cdot(0)-(1)\cdot(2)}$ — Komponente 2 einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=-2}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=(1)\cdot(0)-(0)\cdot(0)}$ — Komponente 3 einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}}$ — Komponenten zum Kreuzprodukt zusammenfassen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=(0)\cdot(0)+(-2)\cdot(3)+(0)\cdot(0)}$ — mit c skalar multiplizieren.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=-6}$ — ausrechnen.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=|-6|}$ — Betrag bilden.
11. Schritt 11 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=6}$ — Volumen angeben.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Spatprodukt s $\mathsf{-6}$
2. Volumen V $\mathsf{6}$ VE
04
Aufgabe 4Spatprodukt · AnwendenBerechne Spatprodukt und Spatvolumen für $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}2\\3\\0\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Spatprodukt s
Volumen V
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=(2)\cdot(0)-(0)\cdot(1)}$ — Komponente 1 einsetzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_1=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=(0)\cdot(0)-(1)\cdot(0)}$ — Komponente 2 einsetzen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_2=0}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=(1)\cdot(1)-(2)\cdot(0)}$ — Komponente 3 einsetzen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{n_3=1}$ — Produkte und Differenz ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec n=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ — Komponenten zum Kreuzprodukt zusammenfassen.
8. Schritt 8 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=(0)\cdot(2)+(0)\cdot(3)+(1)\cdot(0)}$ — mit c skalar multiplizieren.
9. Schritt 9 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=0}$ — ausrechnen.
10. Schritt 10 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=|0|}$ — Betrag bilden.
11. Schritt 11 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=0}$ — Volumen angeben.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Spatprodukt s $\mathsf{0}$
2. Volumen V $\mathsf{0}$ VE
05
Aufgabe 5Spatprodukt · AnwendenEs gilt $\mathsf{(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=-8}$ . Bestimme das Spatprodukt nach Vertauschung von a und b sowie das Volumen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s_{\mathsf{neu}}=-(-8)}$ — ein Tausch ändert das Vorzeichen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s_{\mathsf{neu}}=8}$ — vereinfachen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=8}$ — Betrag bilden.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{s_{\mathsf{neu}}=8}$ ; $\mathsf{V=8}$ VE.
06
Aufgabe 6Spatprodukt · AnwendenPrüfe, ob $\mathsf{A(1|0|0)}$ , $\mathsf{B(3|0|0)}$ , $\mathsf{C(1|2|0)}$ und $\mathsf{D(2|1|0)}$ koplanar sind.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$ — B minus A.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}$ — C minus A.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$ — D minus A.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}}$ — kreuzen.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=0\cdot1+0\cdot1+4\cdot0}$ — Skalarprodukt.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=0}$ — ausrechnen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisJa, alle vier Punkte liegen in der Ebene z=0.
07
Aufgabe 7Spatprodukt · AnwendenBerechne $\mathsf{\operatorname{\textsf{det}}\begin{pmatrix}3&0&1\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}}$ durch Entwicklung nach der ersten Spalte. Deute das Ergebnis als Spatprodukt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=3\cdot(2\cdot4-0\cdot0)}$ — erste Spalte nutzen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=3\cdot8}$ — Klammer ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=24}$ — multiplizieren.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisSpatprodukt 24; Volumen 24 VE.
08
Aufgabe 8Spatprodukt · VertiefenEin Spat hat Kanten $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}$ , $\mathsf{\vec c=\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}}$ in Metern. Bestimme das Spatvolumen und ergänzend das Volumen des Tetraeders mit denselben drei Kanten ab einem Eckpunkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Spatvolumen
Tetraedervolumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}}$ — Grundflächennormale.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=6\cdot5}$ — senkrechten Anteil von c nutzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=30}$ — ausrechnen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V_{\mathsf{Spat}}=30\,\textsf{m}^3}$ — Betrag und Einheit.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V_{\mathsf{Tet}}=\frac{30}{6}\,\textsf{m}^3}$ — durch sechs teilen.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V_{\mathsf{Tet}}=5\,\textsf{m}^3}$ — ausrechnen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Spatvolumen $\mathsf{30\,\textsf{m}^3}$
2. Tetraedervolumen $\mathsf{5\,\textsf{m}^3}$
09
Aufgabe 9Spatprodukt · VertiefenMarkiere in der Vorlage die von a und b aufgespannte Grundfläche. Trage die zugehörige Höhe ein und bestimme das Volumen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{G=4\cdot3=12}$ — Grundfläche.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{h=2}$ — c steht senkrecht auf der Grundfläche.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{V=12\cdot2}$ — Grundfläche mal Höhe.
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{V=24}$ — ausrechnen.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungGrundfläche 12 FE; Höhe 2 LE; Volumen 24 VE.
10
Aufgabe 10Spatprodukt · VertiefenBeurteile: Ein negatives Spatprodukt ist unmöglich, weil Volumen nicht negativ sein kann. Erkläre den Unterschied.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Spatprodukt trägt ein Vorzeichen für die Orientierung.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das geometrische Volumen ist der Betrag des Spatprodukts.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{s=-12\quad\Longrightarrow\quad V=12}$ — mögliches Beispiel.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungFalsch: Spatprodukt und geometrisches Volumen sind zu unterscheiden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich halte die Reihenfolge der Vektoren fest.
Ich unterscheide Vektor, Betrag, Fläche und Volumen.
Ich begründe Grenzfälle und gebe passende Einheiten an.

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