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Ebenen · Erklären & üben

Spurpunkte

Die Spurpunkte einer Ebene sind ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Sie helfen, die Lage der Ebene zu skizzieren. Nicht jede Ebene hat auf jeder Achse genau einen Schnittpunkt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Auf jeder Achse sind zwei Koordinaten null

Auf der x-Achse gilt y=z=0\mathsf{y=z=0}, auf der y-Achse x=z=0\mathsf{x=z=0} und auf der z-Achse x=y=0\mathsf{x=y=0}. Setze diese Bedingungen in die Ebenengleichung ein. Die verbleibende Koordinate ergibt den Achsenschnittpunkt.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

Sx=(x∣0∣0),Sy=(0∣y∣0),Sz=(0∣0∣z)\mathsf{S_x=(x|0|0),\quad S_y=(0|y|0),\quad S_z=(0|0|z)}

Achsenschnittpunkte von x + y + z = 6

So geht es am Beispiel

Berechne die Spurpunkte von 2x+3y+6z=12\mathsf{2x+3y+6z=12}.

2x=12⇒Sx(6∣0∣0)\mathsf{2x=12\Rightarrow S_x(6|0|0)}
3y=12⇒Sy(0∣4∣0)\mathsf{3y=12\Rightarrow S_y(0|4|0)}
6z=12⇒Sz(0∣0∣2)\mathsf{6z=12\Rightarrow S_z(0|0|2)}

Ergebnis

Sx(6∣0∣0), Sy(0∣4∣0), Sz(0∣0∣2)\mathsf{S_x(6|0|0),\ S_y(0|4|0),\ S_z(0|0|2)}

Erklärung 02

Die Ergebnisse geometrisch einordnen

Positive und negative Achsenwerte sind erlaubt. Drei verschiedene, nicht kollineare Spurpunkte lassen sich zu einem Spurdreieck verbinden. Dieses Dreieck ist nur ein sichtbarer Ausschnitt; die Ebene reicht darüber hinaus unbegrenzt weiter.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

ax=dauf der x-Achse\mathsf{ax=d\quad\textsf{auf der x-Achse}}

Ebene parallel zur xy-Ebene

So geht es am Beispiel

Welche Spurpunkte besitzt E:z=3\mathsf{E:z=3}?

Auf x- und y-Achse ist z=0; die Gleichung 0=3 ist unmöglich.

Auf der z-Achse gilt z=3.

Ergebnis

Nur Sz(0∣0∣3)\mathsf{S_z(0|0|3)}; keine Schnittpunkte mit x- und y-Achse.

Erklärung 03

Kein Punkt oder eine ganze Achse

Entsteht nach dem Einsetzen ein Widerspruch, gibt es keinen Schnittpunkt. Entsteht 0=0\mathsf{0=0}, liegt die ganze Achse in der Ebene. Ein einzelner Spurpunkt ist dann nicht eindeutig bestimmt. Mehrere Achsen können denselben Schnittpunkt im Ursprung haben.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

0=dmuss gesondert beurteilt werden\mathsf{0=d\quad\textsf{muss gesondert beurteilt werden}}

So geht es am Beispiel

Untersuche E:x+y=0\mathsf{E:x+y=0} bezüglich der drei Achsen.

Auf x-Achse folgt x=0, auf y-Achse y=0; beide Schnittpunkte sind O.

Auf der z-Achse bleibt 0=0 für jedes z.

Ergebnis

x- und y-Achse treffen E in O; die gesamte z-Achse liegt in E.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Spurpunkte · standardBerechne die Spurpunkte von x+y+z=6\mathsf{x+y+z=6}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Setze jeweils zwei Koordinaten null.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. x-AchseSx(6∣0∣0)\mathsf{S_x(6|0|0)}
    2. y-AchseSy(0∣6∣0)\mathsf{S_y(0|6|0)}
    3. z-AchseSz(0∣0∣6)\mathsf{S_z(0|0|6)}
  2. Aufgabe 2Spurpunkte · standardBerechne die Spurpunkte von 2x+y−z=4\mathsf{2x+y-z=4}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      2x=4,y=4,−z=4\mathsf{2x=4,\quad y=4,\quad-z=4}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. x-AchseSx(2∣0∣0)\mathsf{S_x(2|0|0)}
    2. y-AchseSy(0∣4∣0)\mathsf{S_y(0|4|0)}
    3. z-AchseSz(0∣0∣−4)\mathsf{S_z(0|0|-4)}
  3. Aufgabe 3Spurpunkte · standardDie Vorlage zeigt die Spurpunkte von E:x+y+z=6\mathsf{E:x+y+z=6}. Verbinde sie zu einem Spurdreieck und beschrifte den Ebenenausschnitt mit E.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Spurdreieck

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Die drei Achsenpunkte sind nicht kollinear.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Das Dreieck zeigt einen Ausschnitt der Ebene, nicht ihre Begrenzung.

    Ergebnis

    1. SpurdreieckDreieck durch (6|0|0), (0|6|0), (0|0|6), beschriftet mit E.
  4. Aufgabe 4Spurpunkte · standardWelche Achsenschnitte hat z=5\mathsf{z=5}?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      x- und y-Achse haben z=0 und liefern einen Widerspruch.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. x- und y-AchseKeine Schnittpunkte.
    2. z-AchseGenau Sz(0∣0∣5)\mathsf{S_z(0|0|5)}.
  5. Aufgabe 5Spurpunkte · standardWelche Koordinatenachsen liegen vollständig in E:x=0\mathsf{E:x=0}?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Jeder Punkt der y- oder z-Achse hat x=0.

    Ergebnis

    1. Enthaltene Achseny-Achse und z-Achse.
  6. Aufgabe 6Spurpunkte · standardWarum kann man eine Ebene nicht immer allein aus drei verschiedenen Spurpunkten zeichnen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Manche Achsenschnitte fehlen oder ganze Achsen liegen in der Ebene.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Verschiedene Achsen können auch im selben Punkt O schneiden.

    Ergebnis

    1. BegründungDrei verschiedene Spurpunkte müssen nicht existieren; dann braucht man andere geeignete Ebenenpunkte.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Punkt, Richtungsvektor und Normalenvektor.
  • Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
  • Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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