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Ebenen · Erklären & üben

Normalenform

Die Normalenform beschreibt eine Ebene mithilfe eines Punktes und einer senkrechten Richtung. Komponententupel bezeichnen Vektoren; p⃗\mathsf{\vec p} ist der Ortsvektor eines bekannten Ebenenpunktes.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Verbindungsvektor senkrecht zur Normalen

Für jeden Punkt der Ebene liegt x⃗−p⃗\mathsf{\vec x-\vec p} parallel zur Ebene und damit senkrecht zum von null verschiedenen Normalenvektor. Sein Skalarprodukt mit der Normalen ist null. Dasselbe Prinzip beschreibt in zwei Dimensionen eine Gerade.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

n⃗⋅(x⃗−p⃗)=0\mathsf{\vec n\cdot(\vec x-\vec p)=0}

Ebene z = 2

So geht es am Beispiel

Stelle in der xy-Ebene die Gerade durch P(1∣1)\mathsf{P(1|1)} mit n⃗=(1,−2)\mathsf{\vec n=(1,-2)} auf.

(1,−2)⋅((x,y)−(1,1))=0\mathsf{(1,-2)\cdot((x,y)-(1,1))=0}
(x−1)−2(y−1)=0\mathsf{(x-1)-2(y-1)=0}

Ergebnis

x−2y=−1\mathsf{x-2y=-1}

Erklärung 02

Punkt und Normale einsetzen

Ein Punkt und eine Nichtnullnormale bestimmen die Ebene eindeutig. Liegen stattdessen zwei unabhängige Spannvektoren vor, bestimme zuerst eine Normale mit beiden Skalarprodukten null oder dem Kreuzprodukt. Der Stützpunkt muss auf der gesuchten Ebene liegen.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

n⃗⋅u⃗=n⃗⋅v⃗=0\mathsf{\vec n\cdot\vec u=\vec n\cdot\vec v=0}

Gerade 2x + y = 6 in der xy-Ebene

So geht es am Beispiel

P(1∣0∣2)\mathsf{P(1|0|2)} sowie die Spannvektoren (1,0,1)\mathsf{(1,0,1)} und (0,1,1)\mathsf{(0,1,1)} sind gegeben. Stelle die Normalenform auf.

n⃗=(−1,−1,1)\mathsf{\vec n=(-1,-1,1)}

Beide Skalarprodukte sind null.

Ergebnis

(−1,−1,1)⋅(x⃗−(1,0,2))=0\mathsf{(-1,-1,1)\cdot(\vec x-(1,0,2))=0}

Erklärung 03

Ausmultiplizieren und prüfen

Das Ausmultiplizieren führt zur Koordinatenform. Multiplizierst du die Normale mit einem Nichtnullfaktor, entsteht dieselbe Ebene. Ein anderer Stützpunkt ist ebenfalls erlaubt, wenn er auf der Ebene liegt.

  1. Prüfe die Voraussetzungen und ordne die gegebenen Größen zu.

  2. Rechne komponentenweise und prüfe das Ergebnis in der Ausgangsgleichung.

n⃗⋅x⃗=n⃗⋅p⃗\mathsf{\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\vec p}

So geht es am Beispiel

Forme die Normalenform mit P(1∣2∣0)\mathsf{P(1|2|0)} und n⃗=(2,1,−1)\mathsf{\vec n=(2,1,-1)} um.

2(x−1)+(y−2)−z=0\mathsf{2(x-1)+(y-2)-z=0}
2x+y−z=4\mathsf{2x+y-z=4}

Ergebnis

E:2x+y−z=4\mathsf{E:2x+y-z=4}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Normalenform · standardStelle die Normalenform durch P(0∣0∣3)\mathsf{P(0|0|3)} mit n⃗=(0,0,1)\mathsf{\vec n=(0,0,1)} auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      n⃗⋅(x⃗−p⃗)=0\mathsf{\vec n\cdot(\vec x-\vec p)=0}

    Ergebnis

    1. Normalenform(0,0,1)⋅(x⃗−(0,0,3))=0\mathsf{(0,0,1)\cdot(\vec x-(0,0,3))=0}
  2. Aufgabe 2Normalenform · standardForme (1,2,−1)⋅(x⃗−(2,0,1))=0\mathsf{(1,2,-1)\cdot(\vec x-(2,0,1))=0} in Koordinatenform um.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (x−2)+2y−(z−1)=0\mathsf{(x-2)+2y-(z-1)=0}

    Ergebnis

    1. Koordinatenformx+2y−z=1\mathsf{x+2y-z=1}
  3. Aufgabe 3Normalenform · standardPrüfe Q(2∣1∣3)\mathsf{Q(2|1|3)} für (1,2,−1)⋅(x⃗−(2,0,1))=0\mathsf{(1,2,-1)\cdot(\vec x-(2,0,1))=0}.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      q⃗−p⃗=(0,1,2)\mathsf{\vec q-\vec p=(0,1,2)}
      (1,2,−1)⋅(0,1,2)=0+2−2=0\mathsf{(1,2,-1)\cdot(0,1,2)=0+2-2=0}

    Ergebnis

    1. ErgebnisQ liegt auf der Ebene.
  4. Aufgabe 4Normalenform · standardZeichne in der Vorlage das Ebenendreieck ABC bei z=2\mathsf{z=2} und den Normalenpfeil A→N. Gib die Normalenform mit Stützpunkt A an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Zeichnung

    Leere Zeichenvorlage mit vorgegebenen Achsen, Rasterlinien und Punkten; gesuchte Ergänzungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung
      p⃗=(0,0,2),n⃗=(0,0,1)\mathsf{\vec p=(0,0,2),\quad\vec n=(0,0,1)}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. ZeichnungDreieck ABC und Normalenpfeil A→N.
    2. Normalenform(0,0,1)⋅(x⃗−(0,0,2))=0\mathsf{(0,0,1)\cdot(\vec x-(0,0,2))=0}
  5. Aufgabe 5Normalenform · standardBeschreiben (1,1,0)⋅(x⃗−(1,0,0))=0\mathsf{(1,1,0)\cdot(\vec x-(1,0,0))=0} und (3,3,0)⋅(x⃗−(1,0,0))=0\mathsf{(3,3,0)\cdot(\vec x-(1,0,0))=0} dieselbe Ebene?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die zweite Normale ist das Nichtnullvielfache 3n⃗\mathsf{3\vec n}.

    Ergebnis

    1. ErgebnisJa; beide beschreiben x+y=1.
  6. Aufgabe 6Normalenform · standardFür E:z=2\mathsf{E:z=2} verwendet jemand die Normale (0,0,1)\mathsf{(0,0,1)}, aber den Stützpunkt P(0∣0∣5)\mathsf{P(0|0|5)}. Was beschreibt seine Gleichung?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      (0,0,1)⋅(x⃗−(0,0,5))=0⇒z=5\mathsf{(0,0,1)\cdot(\vec x-(0,0,5))=0\Rightarrow z=5}

    Ergebnis

    1. ErgebnisEine andere, parallele Ebene z=5; der Stützpunkt liegt nicht auf E.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Punkt, Richtungsvektor und Normalenvektor.
  • Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
  • Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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