Integrationsmethoden und Flächen · Erklären & üben

Stammfunktion Wurzel x

Wurzeln lassen sich als Potenzen schreiben. Damit wird die Potenzregel anwendbar; bei einer Wurzel aus einem linearen Term kommt zusätzlich ein Kettenfaktor hinzu.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Quadratwurzel als Potenz

Es gilt √x=x hoch 1/2 für x≥0. Für gewöhnliche Ableitungen und Stammfunktionen verwenden wir zunächst das offene Intervall x>0.

Erhöhe den Exponenten auf 3/2 und teile durch 3/2. Durch einen Bruch teilen heißt mit seinem Kehrwert multiplizieren.

$\mathsf{\int\sqrt{x}\,dx=\frac23x^{3/2}+C\quad(x>0)}$

So geht es am Beispiel

Bestätige die Stammfunktion durch Ableiten.

$\mathsf{F(x)=\frac23x^{3/2}+C}$ — Kandidat.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=\frac23\cdot\frac32x^{1/2}}$ — Potenzregel.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=x^{1/2}}$ — Faktoren kürzen.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=\sqrt{x}}$ — zurückschreiben.

Erklärung 02

Was passiert am Randpunkt 0?

Der Integrand √x ist bei 0 definiert und stetig. Die Stammfunktionsformel kann dort stetig mit F(0)=C ergänzt werden.

0 ist aber kein innerer Punkt des reellen Definitionsbereichs. Eine gewöhnliche beidseitige Ableitung wird dort nicht behauptet. Die rechtsseitige Ableitung der ergänzten Stammfunktion existiert und ist 0.

Daher darf ein bestimmtes Integral von 0 bis b mit b≥0 mit dieser stetig ergänzten Stammfunktion berechnet werden. Das unterscheidet sich von 1/√x: Dieser Integrand ist bei 0 nicht definiert.

Wurzelfunktion und stetig ergänzte Stammfunktion in gleich skalierten Koordinatensystemen mit Randpunkt 0.

So geht es am Beispiel

Berechne ∫ von 0 bis 4 über √x dx.

$\mathsf{F(x)=\frac23x^{3/2}}$ — stetige Ergänzung bei 0.

$\mathsf{F(4)=\frac23\cdot8}$ — 4 hoch 3/2.

$\mathsf{F(4)=16/3}$ — multiplizieren.

$\mathsf{F(0)=0}$ — Randwert.

$\mathsf{I=16/3-0=16/3}$ — Differenz.

Erklärung 03

Faktoren, Kehrwerte und andere Wurzeln

Konstante Faktoren bleiben erhalten. Für 1/√x schreibe x hoch −1/2; der Bereich ist x>0. Der neue Exponent ist 1/2, also entsteht 2√x+C.

Für die vierte Wurzel schreibe x hoch 1/4. Die gleiche Rechnung liefert 4/5 mal x hoch 5/4+C auf x>0.

Jede Formel wird durch Ableiten geprüft. Nicht jede Wurzel hat denselben Bereich: Gerade Wurzeln benötigen einen nichtnegativen Radikanden.

Erklärung 04

Wurzel aus einem linearen Term

Für a≠0 und ax+b>0 gilt: Eine Stammfunktion von √(ax+b) ist 2/(3a) mal (ax+b) hoch 3/2. Der Faktor 1/a gleicht die innere Ableitung aus.

Ist a=0 und b≥0, ist √b konstant; ihre Stammfunktion ist x√b+C. Bei negativem b gibt es keinen reellen Integranden.

Am Rand ax+b=0 ist die Wurzel zwar definiert, die übliche Stammfunktionsaussage bezieht sich auf das offene Intervall. Eine stetige Ergänzung erlaubt passende bestimmte Integrale bis zum Rand.

So geht es am Beispiel

Integriere √(2x+1).

$\mathsf{2x+1>0\Rightarrow x>-1/2}$ — offener Bereich.

$\mathsf{F(x)=\frac{2}{3\cdot2}(2x+1)^{3/2}+C}$ — Kettenfaktor.

$\mathsf{F(x)=\frac13(2x+1)^{3/2}+C}$ — vereinfachen.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=\frac13\cdot\frac32\cdot2(2x+1)^{1/2}}$ — Probe.

$\mathsf{F^{\prime}(x)=\sqrt{2x+1}}$ — kürzen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Stammfunktion Wurzel x · GrundlagenIntegriere 5√x und prüfe. Nenne den offenen Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{5\sqrt{x}=5x^{1/2}}$ — Potenzform.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F=\frac{10}3x^{3/2}+C}$ — aufleiten.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}=5x^{1/2}}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\frac{10}3x^{3/2}+C}$ für x>0.
02
Aufgabe 2Stammfunktion Wurzel x · GrundlagenIntegriere 1/√x und prüfe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1/\sqrt{x}=x^{-1/2}}$ — x>0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F=2x^{1/2}+C}$ — Potenzregel.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}=x^{-1/2}}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{2\sqrt{x}+C}$ für x>0.
03
Aufgabe 3Stammfunktion Wurzel x · GrundlagenIntegriere die vierte Wurzel aus x.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sqrt[4]{x}=x^{1/4}}$ — Potenzform.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F=\frac45x^{5/4}+C}$ — Exponent erhöhen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}=x^{1/4}}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\frac45x^{5/4}+C}$ für x>0.
04
Aufgabe 4Stammfunktion Wurzel x · AnwendenIntegriere √(3x+6) und nenne den offenen Bereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3x+6>0\Rightarrow x>-2}$ — Bereich.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F=\frac29(3x+6)^{3/2}+C}$ — inneren Faktor 3 ausgleichen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}=\frac29\cdot\frac32\cdot3\sqrt{3x+6}}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{\frac29(3x+6)^{3/2}+C}$ für x>−2.
05
Aufgabe 5Stammfunktion Wurzel x · AnwendenIntegriere √(4−2x) und prüfe das Vorzeichen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{4-2x>0\Rightarrow x<2}$ — Bereich.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F=-\frac13(4-2x)^{3/2}+C}$ — Innenfaktor −2.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}=(-1/3)(3/2)(-2)\sqrt{4-2x}}$ — Probe.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{-\frac13(4-2x)^{3/2}+C}$ für x<2.
06
Aufgabe 6Stammfunktion Wurzel x · AnwendenBerechne ∫ von 0 bis 1 über √x dx und erkläre die Rolle von 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(x)=\frac23x^{3/2}}$ — stetig ergänzte Stammfunktion.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{I=F(1)-F(0)=2/3}$ — Grenzen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis2/3; 0 ist Randpunkt, der Integrand dort stetig.
07
Aufgabe 7Stammfunktion Wurzel x · AnwendenBestimme F′(x)=√x mit F(1)=2 auf x>0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F=\frac23x^{3/2}+C}$ — Familie.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{2=2/3+C}$ — Bedingung.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{C=4/3}$ — bestimmen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis $\mathsf{F=\frac23x^{3/2}+\frac43}$
08
Aufgabe 8Stammfunktion Wurzel x · VertiefenJemand leitet als Probe F(x)=⅔(2x+1) hoch 3/2 ab und erhält √(2x+1). Was fehlt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}=\frac23\cdot\frac32\cdot2\sqrt{2x+1}}$ — Kettenregel.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F^{\prime}=2\sqrt{2x+1}}$ — vereinfachen.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisDer innere Faktor 2 fehlt; die passende Stammfunktion hat Vorfaktor 1/3.
09
Aufgabe 9Stammfunktion Wurzel x · VertiefenZeichne die stetig bis 0 ergänzte Stammfunktion zu √x mit F(0)=0. Nutze die Werte bei 0, 1 und 4.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{F(x)=\frac23x^{3/2}}$ — C=0.
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{F(0)=0,\ F(1)=2/3,\ F(4)=16/3}$ — Stützwerte.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungGraph durch (0|0), (1|2/3), (4|16/3); Ableitungsformel im Inneren x>0.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich beachte Bereich und innere Faktoren.
Ich bestätige Stammfunktionen durch Ableiten.
Ich unterscheide Familie, Integralwert und Fläche.

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