Streuung · Erklären & üben

Standardabweichung

Die Standardabweichung beschreibt die Streuung um den Mittelwert in der ursprünglichen Einheit. Du berechnest sie für eine vollständige Datenliste und für ein diskretes Wahrscheinlichkeitsmodell.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Streuung in der ursprünglichen Einheit

Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel der Varianz. Sie ist nicht der durchschnittliche Betrag der Abweichungen. Eine größere Standardabweichung bedeutet eine größere mittlere quadratische Entfernung vom Mittelwert; daraus folgt ohne Verteilungsannahme keine feste Prozentregel.

Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.
Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

$\mathsf{\sigma=\sqrt{\operatorname{\textsf{Var}}(X)}}$

Datenpunkte2,4,6cm und ihr Mittelwert4cm.

So geht es am Beispiel

Vergleiche die Listen 4,6,8 und 0,6,12 cm.

Beide Mittelwerte sind 6 cm. In der zweiten Liste liegen die äußeren Werte dreimal so weit vom Mittelwert entfernt; die Standardabweichung ist daher dreimal so groß.

Erklärung 02

Werte und Gewichte einsetzen

Für eine diskrete Zufallsgröße verwendest du die Modellwahrscheinlichkeiten. Bei einer beobachteten Liste benutzt du für die deskriptive Streuung relative Häufigkeiten; sie sind nicht automatisch die unbekannten Modellwahrscheinlichkeiten. Zuerst berechnest du den gewichteten Mittelwert, dann die gewichteten Abweichungsquadrate und schließlich die Wurzel.

Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.
Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

$\mathsf{\mu=\sum_i p_i x_i,\qquad\sigma=\sqrt{\sum_i p_i(x_i-\mu)^2}}$

Diskretes Modell mit drei Werten und angegebenen Wahrscheinlichkeiten.

So geht es am Beispiel

Beschreibe die vollständige Liste 2,4,6 cm mit der deskriptiven Standardabweichung.

\mathsf{\bar x=4\,\mathsf{cm}}

\mathsf{v_n=\frac{(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2}{3}=\frac83\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{\sqrt{v_n}=\sqrt{\frac83}\,\mathsf{cm}\approx1{,}633\,\mathsf{cm}}

So geht es am Beispiel

X hat die Werte 0,2,4 cm mit Wahrscheinlichkeiten 1/4,1/2,1/4. Berechne seine Standardabweichung.

\mathsf{\mu=0\cdot\frac14+2\cdot\frac12+4\cdot\frac14=2}

\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=4\cdot\frac14+0\cdot\frac12+4\cdot\frac14=2}

\mathsf{\sigma=\sqrt2\,\mathsf{cm}\approx1{,}414\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Welcher Nenner passt?

Zur Beschreibung einer Liste teilt die Varianz durch n. Zur üblichen korrigierten Varianzschätzung einer Population aus unabhängigen, identisch verteilten Beobachtungen teilst du bei mindestens zwei Beobachtungen durch n−1. Die Wurzel daraus ist die korrigierte Stichprobenstandardabweichung; sie ist selbst nicht allgemein erwartungstreu. In deutschsprachigem Excel unterscheidet STABW.N die Gesamtheit von STABW.S für die Stichprobenvariante. Die Funktionswahl ersetzt keine Entscheidung über den Zweck.

Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.
Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

$\mathsf{v_n=\frac1n\sum_i(x_i-\bar x)^2,\qquad s^2=\frac1{n-1}\sum_i(x_i-\bar x)^2}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Standardabweichung · EinstiegDie Varianz einer Länge beträgt 9 Quadratzentimeter. Bestimme die Standardabweichung mit Einheit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Standardabweichung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sigma=\sqrt9\,\mathsf{cm}=3\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Standardabweichung $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$
02
Aufgabe 2Standardabweichung · EinstiegBerechne den Mittelwert der vollständigen Liste 2,5,8 cm.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mittelwert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\bar x=\frac{2+5+8}{3}=5\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Mittelwert $\mathsf{5\,\mathsf{cm}}$
03
Aufgabe 3Standardabweichung · StandardBerechne die deskriptive Varianz und Standardabweichung der Liste 2,5,8 cm.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Varianz
Standardabweichung exakt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{v_n=\frac{9+0+9}{3}=6\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{\sqrt{v_n}=\sqrt6\,\mathsf{cm}\approx2{,}449\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Varianz $\mathsf{6\,\mathsf{cm}^2}$
2. Standardabweichung exakt $\mathsf{\sqrt6\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Standardabweichung · StandardX nimmt 0 und 4 cm mit Wahrscheinlichkeit jeweils 1/2 an. Berechne Mittelwert und Standardabweichung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mittelwert
Standardabweichung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\mu=2\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{\sigma=\sqrt{\frac12(0-2)^2+\frac12(4-2)^2}=2\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Mittelwert $\mathsf{2\,\mathsf{cm}}$
2. Standardabweichung $\mathsf{2\,\mathsf{cm}}$
05
Aufgabe 5Standardabweichung · TransferTrage die Daten 1,3,5 cm als Punkte über der vorbereiteten Zahlengeraden ein. Beschrifte sie und markiere den Mittelwert mit einer gestrichelten senkrechten Linie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Punktdarstellung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Punktdarstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{\bar x=\frac{1+3+5}{3}=3\,\mathsf{cm}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die beiden äußeren Werte liegen gleich weit links und rechts der Mitte.
Ergebnis
1. PunktdarstellungPunkte 1,3,5; Mittelwertlinie bei 3.
06
Aufgabe 6Standardabweichung · TransferFür 3 Beobachtungen ist die Abweichungsquadratsumme 18 cm². Gesucht ist die korrigierte Stichprobenstandardabweichung. Berechne sie und nenne die passende Excel-Funktion.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrigierte Standardabweichung
Excel-Funktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{s=\sqrt{\frac{18}{3-1}}=3\,\mathsf{cm}}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für diese Konvention passt STABW.S; die deskriptive Variante wäre STABW.N.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Korrigierte Standardabweichung $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$
2. Excel-FunktionSTABW.S

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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