Streuung · Erklären & üben

Varianz

Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung von der Mitte. Du unterscheidest dabei eine Modellverteilung, eine beschriebene Datenliste und eine korrigierte Schätzung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Warum Abweichungen quadrieren?

Die vorzeichenbehafteten Abweichungen vom Mittelwert summieren sich zu null. Durch Quadrieren fallen die Vorzeichen weg und größere Abweichungen erhalten stärkeres Gewicht. Für eine vollständige Liste verwenden wir hier den Nenner n. Die Einheit der Varianz ist das Quadrat der Dateneinheit.

Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.
Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

$\mathsf{v_n=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}$

Quadratische Abweichungen werden durch Abstände zur Mitte vorbereitet.

So geht es am Beispiel

Berechne die Varianz der vollständigen Liste 1,3,5 cm.

\mathsf{\bar x=3\,\mathsf{cm}}

\mathsf{v_n=\frac{(-2)^2+0^2+2^2}{3}=\frac83\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 02

Varianz einer Zufallsgröße

Im Wahrscheinlichkeitsmodell gewichtest du jede quadratische Abweichung mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeiten müssen nicht gleich groß sein. Beim eigenen Glücksrad entsprechen die Wahrscheinlichkeiten der Hälfte beziehungsweise zwei Vierteln eines fair gedrehten Kreises.

Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.
Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

$\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\sum_i p_i(x_i-\mu)^2}$

Eigenes Glücksradmodell mit Auszahlungen und Wahrscheinlichkeiten.

So geht es am Beispiel

Ein Glücksrad zahlt 0 Euro mit Wahrscheinlichkeit 1/2 sowie 2 und 6 Euro mit je 1/4. Berechne Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.

\mathsf{\mu=0\cdot\frac12+2\cdot\frac14+6\cdot\frac14=2\,\mathsf{Euro}}

\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=4\cdot\frac12+0\cdot\frac14+16\cdot\frac14=6\,\mathsf{Euro}^2}

\mathsf{\sigma=\sqrt6\,\mathsf{Euro}\approx2{,}449\,\mathsf{Euro}}

Erklärung 03

Einheiten und Schätzfragen

Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz und trägt wieder die ursprüngliche Einheit. Eine Varianz ist niemals negativ und wird bei konstanten Werten null. Addierst du zu jedem Wert dieselbe Zahl, ändern sich die Abstände zur neuen Mitte nicht. Soll aus einer zufälligen Stichprobe die Populationsvarianz geschätzt werden, verwendet die korrigierte Variante bei n≥2 den Nenner n−1. Dies wird im Thema Empirische Varianz ausführlich behandelt.

Benenne Datenart, Einheit und verwendete Konvention.
Rechne ohne vorzeitiges Runden und deute das Ergebnis.

$\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X+c)=\operatorname{\textsf{Var}}(X),\qquad\sigma=\sqrt{\operatorname{\textsf{Var}}(X)}}$

So geht es am Beispiel

Zu 1,3,5 werden jeweils 10 addiert. Wie ändert sich die deskriptive Varianz?

Die neuen Werte 11,13,15 haben Mittelwert 13. Ihre Abweichungen bleiben−2,0,2.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Varianz · EinstiegDie Daten lauten 7,7,7,7. Bestimme ihre deskriptive Varianz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Varianz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Mittelwert ist 7; alle Abweichungen sind null.
  $\mathsf{v_n=0}$
Ergebnis
1. Varianz $\mathsf{0}$
02
Aufgabe 2Varianz · EinstiegDer Mittelwert ist 4. Berechne die Abweichungsquadrate der Werte 1 und 6.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quadrat für1
Quadrat für6
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(1-4)^2=9}$
  $\mathsf{(6-4)^2=4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quadrat für1 $\mathsf{9}$
2. Quadrat für6 $\mathsf{4}$
03
Aufgabe 3Varianz · StandardBerechne die deskriptive Varianz der vollständigen Liste 3,3,9.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Varianz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\bar x=5}$
  $\mathsf{v_n=\frac{4+4+16}{3}=8}$
Ergebnis
1. Varianz $\mathsf{8}$
04
Aufgabe 4Varianz · StandardEin Modell liefert 0 Euro mit Wahrscheinlichkeit 3/4 und 4 Euro mit 1/4. Bestimme Mittelwert und Varianz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mittelwert
Varianz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\mu=1\,\mathsf{Euro}}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac34\cdot1+\frac14\cdot9=3\,\mathsf{Euro}^2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Mittelwert $\mathsf{1\,\mathsf{Euro}}$
2. Varianz $\mathsf{3\,\mathsf{Euro}^2}$
05
Aufgabe 5Varianz · TransferTrage 2,4,6 cm als Punkte ein und markiere ihre Mitte 4 cm. Zeichne für die äußeren Punkte waagerechte Strecken bis zur Mittelwertlinie, um die Abstände darzustellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Abstände in der Punktdarstellung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Abstände in der Punktdarstellung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Beide äußeren Werte liegen 2 cm von der Mitte entfernt; ihre Abweichungsquadrate sind jeweils 4 cm².
Ergebnis
1. Abstände in der PunktdarstellungPunkte 2,4,6; Mitte 4; beide äußeren Abstände 2.
06
Aufgabe 6Varianz · TransferEine Varianz beträgt 16 Sekunden². Jemand nennt 16 Sekunden als Standardabweichung. Korrigiere die Aussage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Richtige Standardabweichung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sigma=\sqrt{16}\,\mathsf s=4\,\mathsf s}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Nicht nur die Einheit, auch der Zahlenwert wird durch das Wurzelziehen geändert.
Ergebnis
1. Richtige Standardabweichung $\mathsf{4\,\mathsf s}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich lese Titel, Achsen, Einheiten und Legende.
Ich zeichne proportional zur angegebenen Skala.
Ich begründe Aussagen mit den dargestellten Daten.

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