Polynome · Erklären & üben

Steckbriefaufgaben

Bei einer Steckbriefaufgabe suchst du eine Funktion aus gegebenen Eigenschaften. Übersetze jede Information in eine Gleichung, löse das entstehende System und prüfe die verlangten Eigenschaften am Ergebnis.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Bedingungen in Mathematik übersetzen

Ein Punkt $\mathsf{(u\mid v)}$ auf dem Graphen bedeutet $\mathsf{f(u)=v}$ . Eine Nullstelle r bedeutet $\mathsf{f(r)=0}$ . Die Steigung m an der Stelle u bedeutet $\mathsf{f^{\prime}(u)=m}$ .

Für einen Extrempunkt bei u ist $\mathsf{f^{\prime}(u)=0}$ notwendig. Die Art des Punktes muss danach nachgewiesen werden, zum Beispiel mit $\mathsf{f^{\prime\prime}(u)>0}$ für einen Tiefpunkt.

Bei einer Wendestelle einer glatten Funktion ist $\mathsf{f^{\prime\prime}(u)=0}$ eine Kandidatenbedingung. Prüfe zusätzlich einen Krümmungswechsel; die Gleichung allein genügt nicht.

Übersetzung typischer Steckbriefbedingungen in Gleichungen.

Erklärung 02

Ansatz und unabhängige Informationen

Ein Polynom höchstens zweiten Grades hat den Ansatz $\mathsf{f(x)=ax^2+bx+c}$ , also drei unbekannte Koeffizienten. Für höchstens dritten Grad verwendest du $\mathsf{ax^3+bx^2+cx+d}$ .

Du brauchst genügend unabhängige Bedingungen. Drei hingeschriebene Gleichungen bestimmen nicht automatisch drei Koeffizienten, wenn eine Bedingung nur eine andere wiederholt.

Ist ausdrücklich der genaue Grad verlangt, muss der höchste Koeffizient am Ende ungleich 0 sein.

Vier Arbeitsschritte der Funktionsrekonstruktion.

So geht es am Beispiel

Bestimme eine quadratische Funktion durch $\mathsf{A(0\mid1)}$ , $\mathsf{B(1\mid2)}$ und $\mathsf{C(2\mid5)}$ .

\mathsf{f(x)=ax^2+bx+c}

\mathsf{f(0)=1\Rightarrow c=1}

\mathsf{f(1)=2\Rightarrow a+b+c=2}

\mathsf{f(2)=5\Rightarrow4a+2b+c=5}

\mathsf{a+b=1}

\mathsf{4a+2b=4}

Zweite Gleichung minus zweimal erste: $\mathsf{2a=2}$ .

\mathsf{a=1}

\mathsf{b=0}

\mathsf{f(x)=x^2+1}

\mathsf{f(0)=1,\quad f(1)=2,\quad f(2)=5}

Erklärung 03

Punkt und Extremstelle kombinieren

Leite den allgemeinen Ansatz ab, bevor du Werte einsetzt. So entstehen Gleichungen in denselben Koeffizienten.

So geht es am Beispiel

Eine Parabel hat den Tiefpunkt $\mathsf{T(1\mid-2)}$ und enthält $\mathsf{P(3\mid6)}$ .

\mathsf{f(x)=ax^2+bx+c}

\mathsf{f^{\prime}(x)=2ax+b}

\mathsf{f(1)=-2\Rightarrow a+b+c=-2}

\mathsf{f^{\prime}(1)=0\Rightarrow2a+b=0}

\mathsf{f(3)=6\Rightarrow9a+3b+c=6}

\mathsf{b=-2a}

\mathsf{c=a-2}

\mathsf{9a-6a+a-2=6}

\mathsf{4a=8}

\mathsf{a=2,\quad b=-4,\quad c=0}

\mathsf{f(x)=2x^2-4x}

\mathsf{f^{\prime\prime}(1)=4>0}

Erklärung 04

Symmetrie verkürzt den Ansatz

Bei Achsensymmetrie zur y-Achse bleiben in einem Polynom nur gerade Potenzen einschließlich der Konstante. Ein passender Ansatz bis Grad 4 ist $\mathsf{ax^4+bx^2+c}$ .

Bei Punktsymmetrie zum Ursprung bleiben nur ungerade Potenzen, zum Beispiel $\mathsf{ax^3+bx}$ . Eine verschobene Symmetrieachse darf nicht ohne Anpassung genauso behandelt werden.

So geht es am Beispiel

Eine zum Ursprung punktsymmetrische kubische Funktion erfüllt $\mathsf{f(1)=2}$ und $\mathsf{f^{\prime}(1)=0}$ .

\mathsf{f(x)=ax^3+bx}

\mathsf{f^{\prime}(x)=3ax^2+b}

\mathsf{a+b=2}

\mathsf{3a+b=0}

Subtraktion: $\mathsf{2a=-2}$ .

\mathsf{a=-1,\quad b=3}

\mathsf{f(x)=-x^3+3x}

\mathsf{f(1)=2,\quad f^{\prime}(1)=0}

Erklärung 05

Wendebedingung vollständig prüfen

Nach dem Lösen werden alle Originalbedingungen kontrolliert. Dazu gehören Lage und Art von Extrem- oder Wendepunkten, nicht nur die verwendeten Gleichungen.

So geht es am Beispiel

Gesucht ist eine kubische Funktion mit $\mathsf{W(0\mid1)}$ , Steigung −2 bei 0 und Punkt $\mathsf{P(1\mid0)}$ .

\mathsf{f(x)=ax^3+bx^2+cx+d}

\mathsf{f(0)=1\Rightarrow d=1}

\mathsf{f^{\prime}(0)=-2\Rightarrow c=-2}

\mathsf{f^{\prime\prime}(0)=0\Rightarrow2b=0}

\mathsf{f(1)=0\Rightarrow a+b+c+d=0}

\mathsf{a-2+1=0\Rightarrow a=1}

\mathsf{f(x)=x^3-2x+1}

$\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x}$ wechselt bei 0 das Vorzeichen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Steckbriefaufgaben · EinstiegÜbersetze: P(2|5) liegt auf f; bei x = 2 beträgt die Steigung −1; bei x = 0 liegt eine mögliche Wendestelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(2)=5}$
  $\mathsf{f^{\prime}(2)=-1}$
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(0)=0}$
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und ProbeDie dritte Gleichung allein beweist noch keinen Wendepunkt.
02
Aufgabe 2Steckbriefaufgaben · EinstiegBestimme die Parabel durch $\mathsf{(0\mid2),(1\mid3),(2\mid6)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=ax^2+bx+c}$
  $\mathsf{c=2}$
  $\mathsf{a+b=1}$
  $\mathsf{4a+2b=4}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Zweite reduzierte Gleichung minus zweimal erste: $\mathsf{2a=2}$ .
  $\mathsf{a=1,\quad b=0}$
  $\mathsf{f(0)=2,\ f(1)=3,\ f(2)=6}$
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und Probe $\mathsf{f(x)=x^2+2}$ .
03
Aufgabe 3Steckbriefaufgaben · StandardBestimme eine quadratische Funktion mit $\mathsf{f(0)=3}$ , $\mathsf{f^{\prime}(0)=-2}$ und $\mathsf{f(2)=3}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=3}$
  $\mathsf{b=-2}$
  $\mathsf{4a+2b+c=3}$
  $\mathsf{4a-4+3=3}$
  $\mathsf{a=1}$
  $\mathsf{f(2)=4-4+3=3}$
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und Probe $\mathsf{f(x)=x^2-2x+3}$ ; $\mathsf{f(0)=3}$ und $\mathsf{f^{\prime}(0)=-2}$ .
04
Aufgabe 4Steckbriefaufgaben · StandardBestimme die quadratische Funktion mit Hochpunkt H(1|4) und f(0)=3.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=3}$
  $\mathsf{a+b+c=4\Rightarrow a+b=1}$
  $\mathsf{2a+b=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: $\mathsf{a=-1}$ .
  $\mathsf{b=2}$
  $\mathsf{f(1)=-1+2+3=4}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime}(1)=0}$ , $\mathsf{f^{\prime\prime}(1)=-2<0}$ .
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und Probe $\mathsf{f(x)=-x^2+2x+3}$ ; H ist ein Hochpunkt.
05
Aufgabe 5Steckbriefaufgaben · StandardEine y-achsensymmetrische Funktion höchstens zweiten Grades erfüllt f(0)=1 und f(2)=9. Bestimme sie.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=ax^2+c}$
  $\mathsf{c=1}$
  $\mathsf{4a+1=9}$
  $\mathsf{a=2}$
  $\mathsf{f(2)=8+1=9}$
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und Probe $\mathsf{f(x)=2x^2+1}$ .
06
Aufgabe 6Steckbriefaufgaben · StandardBestimme die zum Ursprung punktsymmetrische kubische Funktion mit f(1)=1 und f(2)=14.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=ax^3+bx}$
  $\mathsf{a+b=1}$
  $\mathsf{8a+2b=14}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Zweite Gleichung minus zweimal erste: $\mathsf{6a=12}$ .
  $\mathsf{a=2,\quad b=-1}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(1)=1}$ , $\mathsf{f(2)=16-2=14}$ .
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und Probe $\mathsf{f(x)=2x^3-x}$ .
07
Aufgabe 7Steckbriefaufgaben · StandardReichen die Angaben f(0)=2, y-Achsenabschnitt 2 und f(1)=3 für eine eindeutige Parabel?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die ersten zwei Angaben bedeuten dieselbe Gleichung c = 2.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Es bleibt $\mathsf{a+b=1}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Zum Beispiel passen $\mathsf{x^2+2}$ und $\mathsf{2x^2-x+2}$ .
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und ProbeNein. Es liegen nur zwei unabhängige Bedingungen für drei Koeffizienten vor.
08
Aufgabe 8Steckbriefaufgaben · VertiefungBestimme eine kubische Funktion mit W(0|2), waagerechter Tangente dort und f(1)=3. Prüfe die Wendestelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=ax^3+bx^2+cx+d}$
  $\mathsf{d=2}$
  $\mathsf{c=0}$
  $\mathsf{2b=0\Rightarrow b=0}$
  $\mathsf{a+2=3\Rightarrow a=1}$
  $\mathsf{f(x)=x^3+2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f^{\prime\prime}(x)=6x}$ wechselt bei 0 das Vorzeichen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=2}$ , $\mathsf{f^{\prime}(0)=0}$ , $\mathsf{f(1)=3}$ .
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und Probe $\mathsf{f(x)=x^3+2}$ erfüllt alle Bedingungen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich übersetze Angaben in Bedingungen an Funktion und Ableitungen.
Ich löse das Gleichungssystem und beachte unabhängige Bedingungen.
Ich prüfe Lage, Punktart und alle verlangten Anschlussstufen.

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