Polynome · Erklären & üben

Trassierung

In schulischen Trassierungsaufgaben verbindest du vorgegebene Kurvenstücke durch ein Polynom. Die Anschlussbedingungen legen fest, ob der Übergang ohne Sprung, ohne Knick oder zusätzlich mit stetiger Krümmung verläuft. Die Beispiele sind mathematische Modelle, keine reale Verkehrs- oder Sicherheitsplanung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Drei Anschlussstufen auseinanderhalten

Am Übergang x = s zwischen zwei Funktionen p und q bedeutet stetig: $\mathsf{p(s)=q(s)}$ . Die Graphen treffen sich ohne Sprung.

Für einen knickfreien Anschluss müssen zusätzlich die Steigungen übereinstimmen: $\mathsf{p^{\prime}(s)=q^{\prime}(s)}$ .

Für einen in Schulaufgaben als krümmungsruckfrei bezeichneten Anschluss wird außerdem $\mathsf{p^{\prime\prime}(s)=q^{\prime\prime}(s)}$ gefordert. Damit sind bei bereits gleicher Steigung die Krümmungen stetig angepasst.

Die geometrische Krümmung eines Graphen hängt von erster und zweiter Ableitung ab. Gleiche zweite Ableitungen allein reichen ohne passenden Wert und passende Steigung nicht. Dieser Anschluss ist keine Aussage über den zeitlichen Ruck eines tatsächlich bewegten Fahrzeugs.

Gestufte Anschlussbedingungen für Werte und Ableitungen.

Erklärung 02

Knickfrei zwischen zwei waagerechten Stücken

Links von 0 sei die Höhe 0, rechts von 1 die Höhe 1 konstant. Dazwischen soll ein Polynom p die vier Anschlussbedingungen erfüllen. Ein kubischer Ansatz hat vier Koeffizienten.

So geht es am Beispiel

Bestimme p auf [0,1] mit $\mathsf{p(0)=0}$ , $\mathsf{p^{\prime}(0)=0}$ , $\mathsf{p(1)=1}$ , $\mathsf{p^{\prime}(1)=0}$ .

\mathsf{p(x)=ax^3+bx^2+cx+d}

\mathsf{p^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c}

\mathsf{d=0,\quad c=0}

\mathsf{a+b=1}

\mathsf{3a+2b=0}

Die zweite Gleichung minus zweimal die erste ergibt $\mathsf{a=-2}$ .

\mathsf{b=3}

\mathsf{p(x)=-2x^3+3x^2}

\mathsf{p(0)=0,\quad p(1)=1}

\mathsf{p^{\prime}(x)=6x-6x^2}

\mathsf{p^{\prime}(0)=p^{\prime}(1)=0}

Erklärung 03

Zweite Ableitung ebenfalls anpassen

Für sechs unabhängige Randbedingungen bietet ein Polynom höchstens fünften Grades sechs Koeffizienten. Zu den vier Bedingungen kommen $\mathsf{p^{\prime\prime}(0)=0}$ und $\mathsf{p^{\prime\prime}(1)=0}$ hinzu.

Vergleich kubischer und quintischer Übergänge zwischen Höhe 0 und Höhe 1.

So geht es am Beispiel

Bestimme einen Übergang von Höhe 0 auf Höhe 1 auf [0,1], der an beiden Enden auch die zweite Ableitung 0 besitzt.

\mathsf{p(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f}

\mathsf{p(0)=0\Rightarrow f=0}

\mathsf{p^{\prime}(0)=0\Rightarrow e=0}

\mathsf{p^{\prime\prime}(0)=0\Rightarrow2d=0}

\mathsf{a+b+c=1}

\mathsf{5a+4b+3c=0}

\mathsf{20a+12b+6c=0}

Zweite Gleichung minus dreimal erste: $\mathsf{2a+b=-3}$ .

Dritte Gleichung minus sechsmal erste: $\mathsf{14a+6b=-6}$ .

Letzte Gleichung minus sechsmal $\mathsf{2a+b=-3}$ : $\mathsf{2a=12}$ .

\mathsf{a=6}

\mathsf{b=-15}

\mathsf{c=10}

\mathsf{p(x)=6x^5-15x^4+10x^3}

\mathsf{p^{\prime}(x)=30x^2(x-1)^2}

\mathsf{p^{\prime\prime}(x)=60x(x-1)(2x-1)}

Erklärung 04

Anschluss an eine schräge Gerade

Die Randsteigung muss aus der vorgegebenen Geraden stammen. Ein waagerechter Anschluss ist nur dann richtig, wenn deren Steigung 0 ist.

So geht es am Beispiel

Links von 0 verläuft y = 0, rechts von 1 die Gerade y = x. Finde einen knickfreien kubischen Übergang.

\mathsf{p(0)=0,\quad p^{\prime}(0)=0}

\mathsf{p(1)=1,\quad p^{\prime}(1)=1}

\mathsf{p(x)=ax^3+bx^2}

\mathsf{a+b=1}

\mathsf{3a+2b=1}

Subtraktion der doppelten ersten Gleichung: $\mathsf{a=-1}$ .

\mathsf{b=2}

\mathsf{p(x)=-x^3+2x^2}

$\mathsf{p(1)=1}$ , $\mathsf{p^{\prime}(1)=-3+4=1}$ .

Erklärung 05

Modell und Ergebnis vollständig angeben

Notiere das Übergangsintervall und die Außenfunktionen. Das Verbindungspolynom wird nur auf diesem Intervall verwendet.

Prüfe an jeder Grenze getrennt Wert, erste Ableitung und gegebenenfalls zweite Ableitung. Mehr Bedingungen benötigen genügend unabhängige Koeffizienten; zusätzliche Bedingungen können sonst widersprüchlich sein.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Trassierung · EinstiegZwei Kurven haben bei s dieselben Werte, aber Steigungen 2 und −1. Beschreibe den Anschluss.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Funktionswerte stimmen überein.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Steigungen stimmen nicht überein.
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und ProbeStetig, aber nicht knickfrei.
02
Aufgabe 2Trassierung · EinstiegZwei Kurven haben gleichen Wert und gleiche Steigung bei s, aber zweite Ableitungen 0 und 4. Welche Anschlussstufe ist erfüllt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Wert und erste Ableitung passen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die zweite Ableitung springt.
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und ProbeKnickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei im hier verwendeten schulischen Sinn.
03
Aufgabe 3Trassierung · StandardBestimme den kubischen Anschluss von Höhe 0 bei x = 0 zu Höhe 2 bei x = 1, jeweils waagerecht.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p(x)=ax^3+bx^2+cx+d}$
  $\mathsf{d=c=0}$
  $\mathsf{a+b=2}$
  $\mathsf{3a+2b=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion von zweimal der ersten Gleichung: $\mathsf{a=-4}$ .
  $\mathsf{b=6}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p(0)=0}$ , $\mathsf{p(1)=2}$ .
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p^{\prime}(x)=-12x^2+12x}$ ist an beiden Enden 0.
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und Probe $\mathsf{p(x)=-4x^3+6x^2}$ auf [0,1].
04
Aufgabe 4Trassierung · StandardBestimme den kubischen Anschluss von Höhe 0 bei x = 0 zu Höhe 1 bei x = 2, jeweils waagerecht.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p(x)=ax^3+bx^2}$
  $\mathsf{8a+4b=1}$
  $\mathsf{12a+4b=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion: $\mathsf{4a=-1}$ .
  $\mathsf{a=-1/4}$
  $\mathsf{b=3/4}$
  $\mathsf{p(2)=-2+3=1}$
  $\mathsf{p^{\prime}(2)=-3+3=0}$
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und Probe $\mathsf{p(x)=-x^3/4+3x^2/4}$ auf [0,2]; bei 0 sind Wert und Steigung 0.
05
Aufgabe 5Trassierung · StandardPrüfe, ob $\mathsf{p(x)=-2x^3+3x^2}$ die konstanten Außenstücke bei 0 und 1 auch mit passender zweiter Ableitung verbindet.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p^{\prime\prime}(x)=-12x+6}$
  $\mathsf{p^{\prime\prime}(0)=6}$
  $\mathsf{p^{\prime\prime}(1)=-6}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Außenstücke haben zweite Ableitung 0.
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und ProbeNein. Der Anschluss ist nur knickfrei.
06
Aufgabe 6Trassierung · StandardNutze $\mathsf{s(x)=6x^5-15x^4+10x^3}$ für einen Übergang von Höhe 2 auf Höhe 5 auf [0,1]. Beide Außenstücke sind konstant.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p(x)=2+3s(x)}$
  $\mathsf{p(0)=2}$
  $\mathsf{p(1)=5}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p^{\prime}=3s^{\prime}}$ und $\mathsf{p^{\prime\prime}=3s^{\prime\prime}}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Ableitungen sind an 0 und 1 null.
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und Probe $\mathsf{p(x)=18x^5-45x^4+30x^3+2}$ erfüllt alle sechs Anschlussbedingungen.
07
Aufgabe 7Trassierung · StandardBestimme einen kubischen Übergang zwischen y = x für x ≤ 0 und y = 2 für x ≥ 1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p(0)=0}$ , $\mathsf{p^{\prime}(0)=1}$ , $\mathsf{p(1)=2}$ , $\mathsf{p^{\prime}(1)=0}$ .
  $\mathsf{p(x)=ax^3+bx^2+x}$
  $\mathsf{a+b=1}$
  $\mathsf{3a+2b=-1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Subtraktion von zweimal der ersten Gleichung: $\mathsf{a=-3}$ .
  $\mathsf{b=4}$
  $\mathsf{p(1)=-3+4+1=2}$
  $\mathsf{p^{\prime}(1)=-9+8+1=0}$
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und Probe $\mathsf{p(x)=-3x^3+4x^2+x}$ auf [0,1]; bei 0 stimmen Wert 0 und Steigung 1.
08
Aufgabe 8Trassierung · VertiefungKann eine quadratische Funktion p gleichzeitig $\mathsf{p(0)=0}$ , $\mathsf{p^{\prime}(0)=0}$ , $\mathsf{p(1)=1}$ und $\mathsf{p^{\prime}(1)=0}$ erfüllen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Bedingungen, Rechnung und Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{p(x)=ax^2+bx+c}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=0}$ , $\mathsf{b=0}$ .
  $\mathsf{p(1)=1\Rightarrow a=1}$
  $\mathsf{p^{\prime}(1)=2a=2\ne0}$
Ergebnis
1. Bedingungen, Rechnung und ProbeNein. Für diese vier Vorgaben reicht ein quadratischer Ansatz nicht; die Bedingungen widersprechen sich.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich übersetze Angaben in Bedingungen an Funktion und Ableitungen.
Ich löse das Gleichungssystem und beachte unabhängige Bedingungen.
Ich prüfe Lage, Punktart und alle verlangten Anschlussstufen.

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