Verteilungen · Erklären & üben

Stetige Gleichverteilung

Bei einer stetigen Gleichverteilung sind gleich lange Teilintervalle innerhalb des möglichen Bereichs gleich wahrscheinlich. Wahrscheinlichkeiten entstehen aus Flächen, nicht aus einzelnen Dichtehöhen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein gleichmäßig verteiltes Intervall

Wir schreiben $\mathsf{X\sim U(a,b)}$ mit $\mathsf{a<b}$ . Das Modell setzt eine konstante Dichte zwischen den Grenzen voraus. Es bedeutet nicht, dass eine Beobachtung genau den Mittelwert annimmt. Für ein beliebiges einzelnes Ergebnis gilt $\mathsf{P(X=x)=0}$ . Eine Wartezeit ist nur dann gleichverteilt, wenn die Modellannahmen das begründen, etwa eine gleichmäßig zufällige Ankunft innerhalb eines festen Takts.

Lege Grenzen und Einheit fest.
Prüfe, ob eine konstante Dichte als Modell sinnvoll ist.

$\mathsf{P(u\le X\le v)=\frac{v-u}{b-a}\quad(a\le u\le v\le b)}$

Erklärung 02

Höhe mal Breite ergibt Wahrscheinlichkeit

Die Gesamtfläche unter der Dichte ist 1. Deshalb ist ihre Höhe der Kehrwert der Intervallbreite. Außerhalb des Bereichs ist die Dichte null. Bei Zeit in Minuten trägt die Dichte die Einheit pro Minute. Ein Dichtewert darf größer als 1 sein; erst die Fläche ist eine Wahrscheinlichkeit.

Bestimme die gesamte Intervallbreite.
Multipliziere Dichtehöhe und gesuchte Teilbreite.

$\mathsf{f(x)=\begin{cases}\frac1{b-a}&a\le x\le b\\0&\textsf{sonst}\end{cases}}$

Konstante Dichte U(2,8) mit schraffiertem Intervall3 bis5.

So geht es am Beispiel

Eine modellierte Wartezeit ist auf 2 bis 8 Minuten gleichverteilt. Wie wahrscheinlich sind 3 bis 5 Minuten?

\mathsf{f(x)=\frac1{8-2}=\frac16\,\mathsf{min}^{-1}\quad(2\le x\le8)}

\mathsf{P(3\le X\le5)=(5-3)\cdot\frac16=\frac13}

Erklärung 03

Die angesammelte Fläche ablesen

Die Verteilungsfunktion $\mathsf{F(x)=P(X\le x)}$ wächst im möglichen Bereich linear von 0 auf 1. Vor der unteren Grenze ist sie null, ab der oberen Grenze ist sie eins. Für Intervalle ziehst du den linken angesammelten Flächenwert vom rechten ab. Bei einer stetigen Verteilung verändern offene oder geschlossene Intervallränder die Wahrscheinlichkeit nicht.

Ordne x einem der drei Bereiche zu.
Berechne Intervalle als Differenz zweier CDF-Werte.

$\mathsf{F(x)=\begin{cases}0&x<a\\\frac{x-a}{b-a}&a\le x\le b\\1&x>b\end{cases}}$

Stückweise lineare CDF U(2,8), außerhalb konstant0 beziehungsweise1.

So geht es am Beispiel

Bestimme für $\mathsf{X\sim U(2,8)}$ die Werte bei 1, 5 und 9 Minuten.

\mathsf{F(1)=0}

\mathsf{F(5)=\frac{5-2}{8-2}=\frac12}

\mathsf{F(9)=1}

Erklärung 04

Mitte und Streuung

Der Erwartungswert liegt in der Mitte des Intervalls. Die Varianz hängt von dessen Breite ab und trägt die quadrierte Einheit. Die Standardabweichung ist die positive Wurzel der Varianz und hat wieder die ursprüngliche Einheit.

Berechne den Mittelpunkt.
Quadriere die Breite für die Varianz; verwechsle sie nicht mit der Standardabweichung.

$\mathsf{E(X)=\frac{a+b}{2},\qquad\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}}$

So geht es am Beispiel

Bestimme Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung für $\mathsf{X\sim U(2,8)}$ in Minuten.

\mathsf{E(X)=5\,\mathsf{min}}

\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac{6^2}{12}=3\,\mathsf{min}^2}

\mathsf{\sigma=\sqrt3\,\mathsf{min}\approx1{,}732\,\mathsf{min}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Stetige Gleichverteilung · EinstiegEine Zeit X ist auf 4 bis 12 Minuten gleichverteilt. Bestimme die konstante Dichtehöhe im Intervall.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dichtehöhe pro Minute
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=\frac1{12-4}=\frac18=0{,}125\,\mathsf{min}^{-1}}$
Ergebnis
1. Dichtehöhe pro Minute $\mathsf{\frac18\,\mathsf{min}^{-1}}$
02
Aufgabe 2Stetige Gleichverteilung · EinstiegFür dieselbe Verteilung $\mathsf{X\sim U(4,12)}$ : Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine Zeit zwischen 6 und 10 Minuten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Intervallwahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P(6\le X\le10)=\frac{10-6}{12-4}=\frac12}$
Ergebnis
1. Intervallwahrscheinlichkeit $\mathsf{0{,}5}$
03
Aufgabe 3Stetige Gleichverteilung · StandardBestimme für $\mathsf{X\sim U(4,12)}$ die Verteilungsfunktion an den Stellen 3, 7 und 13 Minuten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
F(3)
F(7)
F(13)
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(3)=0}$
  $\mathsf{F(7)=\frac{7-4}{8}=\frac38}$
  $\mathsf{F(13)=1}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. F(3) $\mathsf{0}$
2. F(7) $\mathsf{\frac38=0{,}375}$
3. F(13) $\mathsf{1}$
04
Aufgabe 4Stetige Gleichverteilung · StandardBerechne Erwartungswert und Varianz von $\mathsf{X\sim U(4,12)}$ ; die Zeit wird in Minuten gemessen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erwartungswert in Minuten
Varianz exakt in Quadratminuten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{E(X)=\frac{4+12}{2}=8\,\mathsf{min}}$
  $\mathsf{\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\frac{8^2}{12}=\frac{16}{3}\,\mathsf{min}^2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erwartungswert in Minuten $\mathsf{8\,\mathsf{min}}$
2. Varianz exakt in Quadratminuten $\mathsf{\frac{16}{3}\,\mathsf{min}^2}$
05
Aufgabe 5Stetige Gleichverteilung · TransferZeichne in die vorbereiteten Achsen die Dichte von $\mathsf{U(4,12)}$ ein. Kennzeichne die Höhe und schraffiere die Fläche für Zeiten von 6 bis 10 Minuten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dichte und Schraffur
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Dichte und Schraffur
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zwischen 4 und 12 ist die Höhe konstant ein Achtel; davor und danach ist die Dichte null. Die Schraffur liegt zwischen 6 und 10 unter der Dichte.
  $\mathsf{A=(10-6)\cdot\frac18=\frac12}$
Ergebnis
1. Dichte und SchraffurRechteckhöhe 0,125 auf [4;12], schraffiert zwischen 6 und 10.
06
Aufgabe 6Stetige Gleichverteilung · TransferFür $\mathsf{X\sim U(4,12)}$ : Bestimme $\mathsf{P(X=7)}$ und vergleiche die Wahrscheinlichkeiten der Intervalle von 4 bis 6 und von 9 bis 11 Minuten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Punktwahrscheinlichkeit
Erstes Intervall
Zweites Intervall
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein einzelner Zeitpunkt hat keine Intervallbreite und damit Fläche null.
  $\mathsf{P(X=7)=0}$
  $\mathsf{P(4\le X\le6)=P(9\le X\le11)=\frac28=\frac14}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Punktwahrscheinlichkeit $\mathsf{0}$
2. Erstes Intervall $\mathsf{\frac14}$
3. Zweites Intervall $\mathsf{\frac14}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich benenne Modell, Parameter und Einheiten.
Ich bestimme Wahrscheinlichkeiten als Flächen oder CDF-Differenzen.
Ich unterscheide Dichtehöhe, Punktwahrscheinlichkeit und Intervallwahrscheinlichkeit.

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