Normalverteilung

Erklärung 01

Zwei Parameter, eine klare Schreibweise

1. 1

   Lies Erwartungswert und Varianz ab.

2. 2

   Ziehe die Wurzel der Varianz, bevor du standardisierst.

$\mathsf{E(X)=\mu,\qquad\operatorname{\textsf{Var}}(X)=\sigma^2}$

Erklärung 02

Die Glocke und ihre Flächen

1. 1

   Ordne die Mitte und die Streuung zu.

2. 2

   Lies Wahrscheinlichkeiten als Flächen unter der Kurve.

$\mathsf{f(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}$

Erklärung 03

Auf die Standardnormalverteilung zurückführen

1. 1

   Standardisiere die Grenze mit der Standardabweichung.

2. 2

   Verwende die linke Fläche, deren Ergänzung oder eine Differenz.

$\mathsf{F_X(x)=\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),\qquad\Phi(-z)=1-\Phi(z)}$

Erklärung 04

Begrenzter Anschluss: Binomialwerte annähern

1. 1

   Prüfe das Binomialmodell und die Streuung.

2. 2

   Ersetze eine inklusive untere Grenze durch minus 0,5 und eine inklusive obere durch plus 0,5.

3. 3

   Standardisiere erst die korrigierten Grenzen; kennzeichne das Ergebnis als Näherung.

$\mathsf{P(a\le K\le b)\approx\Phi\!\left(\frac{b+0{,}5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-0{,}5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)}$

1. 01
   Aufgabe 1Normalverteilung · EinstiegEine Masse in Gramm folgt im Modell $\mathsf{X\sim N(100,225)}$. Gib Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung mit passenden Einheiten an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Erwartungswert

   Varianz

   Standardabweichung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{\mu=100\,\mathsf g}$$

      $$\mathsf{\sigma^2=225\,\mathsf g^2}$$

      $$\mathsf{\sigma=\sqrt{225}=15\,\mathsf g}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Erwartungswert
      $\mathsf{100\,\mathsf g}$
   2. Varianz
      $\mathsf{225\,\mathsf g^2}$
   3. Standardabweichung
      $\mathsf{15\,\mathsf g}$
2. 02
   Aufgabe 2Normalverteilung · EinstiegFür $\mathsf{X\sim N(100,225)}$: Berechne $\mathsf{P(X\le115)}$ mit der Tabelle.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Standardisierte Grenze

   Wahrscheinlichkeit ungefähr
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{z=\frac{115-100}{15}=1}$$

      $$\mathsf{P(X\le115)=\Phi(1)\approx0{,}8413}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Standardisierte Grenze
      $\mathsf{z=1}$
   2. Wahrscheinlichkeit ungefähr
      $\mathsf{0{,}8413}$
3. 03
   Aufgabe 3Normalverteilung · StandardBerechne im selben Modell $\mathsf{P(85\le X\le115)}$.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Intervallwahrscheinlichkeit ungefähr
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{z_1=-1,\quad z_2=1}$$

      $$\mathsf{P(85\le X\le115)=2\Phi(1)-1\approx0{,}6826}$$

   Ergebnis

   1. Intervallwahrscheinlichkeit ungefähr
      $\mathsf{0{,}6826}$
4. 04
   Aufgabe 4Normalverteilung · StandardBerechne für $\mathsf{X\sim N(100,225)}$ die Wahrscheinlichkeit für mehr als 130 g.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Rechter Rand ungefähr
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{z=\frac{130-100}{15}=2}$$

      $$\mathsf{P(X>130)=1-\Phi(2)\approx0{,}0228}$$

   Ergebnis

   1. Rechter Rand ungefähr
      $\mathsf{0{,}0228}$
5. 05
   Aufgabe 5Normalverteilung · TransferSkizziere in die Achsen die Dichte von $\mathsf{N(100,225)}$. Markiere die Mitte und schraffiere den Bereich von 85 bis 115 g. Die maximale Höhe beträgt ungefähr 0,0266 pro Gramm.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Glocke und Schraffur

   

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   Beschreibung: Glocke und Schraffur
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Die Glocke ist symmetrisch um 100 g, ihr Maximum liegt dort. Die Grenzen 85 und 115 liegen jeweils eine Standardabweichung von der Mitte entfernt.

      $$\mathsf{P(85\le X\le115)\approx0{,}6826}$$

   Ergebnis

   1. Glocke und Schraffur
      Symmetrische Glocke um 100, Schraffur 85–115, Höhe etwa 0,0266.
6. 06
   Aufgabe 6Normalverteilung · TransferFür $\mathsf{K\sim B(100;0{,}5)}$: Prüfe die Streuungsorientierung und nähere $\mathsf{P(K\le54)}$ mit Stetigkeitskorrektur an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Korrigierte obere Grenze

   Standardisierte Grenze

   Näherungswahrscheinlichkeit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      $$\mathsf{\mu=50,\qquad\sigma=5>3}$$

      $$\mathsf{z=\frac{54{,}5-50}{5}=0{,}9}$$

      $$\mathsf{P(K\le54)\approx\Phi(0{,}9)\approx0{,}8159}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Korrigierte obere Grenze
      $\mathsf{54{,}5}$
   2. Standardisierte Grenze
      $\mathsf{0{,}9}$
   3. Näherungswahrscheinlichkeit
      $\mathsf{0{,}8159}$
7. 07
   Aufgabe 7Normalverteilung · TransferEin Normalmodell soll Körpermassen beschreiben. Erkläre eine Modellgrenze und bestimme im stetigen Modell die Wahrscheinlichkeit für genau 100 g.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Modellgrenze

   Punktwahrscheinlichkeit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Eine Normalverteilung erlaubt auch negative Werte. Für Körpermassen ist das unrealistisch; ein Einsatz verlangt, dass dieser Modellanteil im betrachteten Kontext vernachlässigbar ist.

      $$\mathsf{P(X=100)=0}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Eine gerundete Messanzeige 100 g kann dagegen ein kleines Intervall repräsentieren und positive Wahrscheinlichkeit haben.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Modellgrenze
      Normalmodell hat auch negative Werte; Eignung im Kontext prüfen.
   2. Punktwahrscheinlichkeit
      $\mathsf{0}$