Eigenschaften von Funktionen · Erklären & üben

Stetigkeit

Stetigkeit verbindet drei Fragen: Ist der Funktionswert an der Stelle definiert? Welchem Wert nähert sich die Funktion? Stimmen Annäherung und Funktionswert überein?

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Grenzwert muss zum Funktionswert passen

An einer inneren Stelle a ihres Definitionsbereichs heißt f stetig, wenn der Grenzwert für x gegen a gleich f(a) ist. Beide einseitigen Grenzwerte müssen also denselben Wert f(a) liefern.

Am Rand eines Definitionsbereichs wird die Annäherung nur innerhalb dieses Bereichs betrachtet. So ist √x bei 0 rechtsseitig stetig.

Ist f(a) nicht definiert, sprechen wir von einer Definitionslücke. Eine stetige Ergänzung ist nur möglich, wenn ein passender endlicher Grenzwert existiert.

$\mathsf{\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}$

So geht es am Beispiel

Untersuche f(x)=x²+1 bei a=2.

$\mathsf{f(2)=5}$ — Funktionswert.

$\mathsf{\lim_{x\to2}(x^2+1)=5}$ — Polynomgrenzwert.

Grenzwert und Funktionswert stimmen überein.

Erklärung 02

Lücke und falscher Einzelwert

Bei (x²−1)/(x−1) ist x=1 ausgeschlossen. Für alle anderen x ist der Term gleich x+1. Der Grenzwert bei 1 ist daher 2.

Die Lücke lässt sich mit dem Wert 2 stetig schließen. Wird stattdessen der Wert 0 festgelegt, ist die ergänzte Funktion bei 1 unstetig.

Gerade mit offenem Punkt bei (1|2) und tatsächlichem Einzelwert (1|0), exakt skaliert.

So geht es am Beispiel

Sei g(x)=x+1 für x≠1 und g(1)=0. Prüfe Stetigkeit.

$\mathsf{\lim_{x\to1}g(x)=2}$ — Werte neben 1.

$\mathsf{g(1)=0}$ — Einzelwert.

$\mathsf{2\ne0}$ — Vergleich.

Erklärung 03

Sprung, Pol und Knick unterscheiden

Bei einem Sprung sind die beiden einseitigen endlichen Grenzwerte verschieden. Kein einzelner Wert an der Stelle kann diesen Unterschied beseitigen.

An einer Polstelle wächst der Betrag der Funktion bei Annäherung von mindestens einer Seite unbegrenzt. Eine endliche stetige Ergänzung ist nicht möglich.

Ein Knick muss dagegen keine Unstetigkeit sein: |x| ist bei 0 stetig, aber nicht differenzierbar. Differenzierbarkeit an einer inneren Stelle setzt Stetigkeit voraus; die Umkehrung gilt nicht.

So geht es am Beispiel

Für s(x)=−1 bei x<0 und s(x)=1 bei x≥0: Prüfe bei 0.

$\mathsf{\lim_{x\to0^-}s(x)=-1}$ — links.

$\mathsf{\lim_{x\to0^+}s(x)=1}$ — rechts.

$\mathsf{-1\ne1}$ — Sprung.

Erklärung 04

Rechenregeln und genaue Bedeutung

Polynome sind überall stetig. Summen und Produkte stetiger Funktionen sind stetig. Ein Quotient ist dort stetig, wo sein Nenner nicht null ist. Verkettungen passen, wenn die beteiligten Funktionen an den erforderlichen Stellen stetig sind.

Genau bedeutet Stetigkeit: Für jede gewünschte Fehlertoleranz ε>0 gibt es einen zulässigen Eingabeabstand δ>0, sodass |x−a|<δ die Ungleichung |f(x)−f(a)|<ε garantiert. Dabei bleibt x im Definitionsbereich.

Wir verwenden diese Aussage hier nur an einem einfachen linearen Beispiel. Eine kleine Wertetabelle allein ist kein Beweis für beliebige Toleranzen.

So geht es am Beispiel

Zeige die Stetigkeit von f(x)=2x+1 bei a mit dem Toleranzgedanken.

$\mathsf{|f(x)-f(a)|=|2x-2a|}$ — Differenz.

$\mathsf{|f(x)-f(a)|=2|x-a|}$ — Faktor herausziehen.

Wähle $\mathsf{\delta=\varepsilon/2}$ .

$\mathsf{|x-a|<\delta\Rightarrow2|x-a|<\varepsilon}$ — gewünschte Genauigkeit.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Stetigkeit · GrundlagenPrüfe f(x)=3x−2 bei x=1 auf Stetigkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(1)=1}$ — Wert.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{x\to1}(3x-2)=1}$ — Grenzwert.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisStetig bei 1.
02
Aufgabe 2Stetigkeit · GrundlagenBestimme die stetige Ergänzung von (x²−4)/(x−2) bei 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{x^2-4=(x-2)(x+2)}$ — faktorisieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(x)=x+2}$ für x≠2 — kürzen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{x\to2}f(x)=4}$ — Grenzwert.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisErgänzter Wert muss 4 sein.
03
Aufgabe 3Stetigkeit · Grundlagenf(x)=x² für x≠0 und f(0)=1. Prüfe bei 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{x\to0}f(x)=0}$ — Nachbarwerte.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=1}$ — Einzelwert.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisUnstetig bei 0.
04
Aufgabe 4Stetigkeit · Anwendenf(x)=x+1 für x<0 und f(x)=2x+c für x≥0. Bestimme c für Stetigkeit bei 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Linker Grenzwert ist 1.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Rechter Grenzwert und f(0) sind c.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{c=1}$ — Gleichheit.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnisc=1.
05
Aufgabe 5Stetigkeit · AnwendenKann 1/x bei 0 durch einen endlichen Wert stetig ergänzt werden?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Links wachsen die Werte unbegrenzt negativ.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Rechts wachsen sie unbegrenzt positiv.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Ein endlicher Grenzwert fehlt.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisNein; Polstelle.
06
Aufgabe 6Stetigkeit · AnwendenErkläre: |x| ist bei 0 stetig, aber nicht differenzierbar.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\lim_{x\to0}|x|=0=f(0)}$ — stetig.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Links beträgt die Steigung −1, rechts +1.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisGrenzwerte der Funktion stimmen, Steigungen nicht.
07
Aufgabe 7Stetigkeit · AnwendenWo ist f(x)=1/(x−3) stetig?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Nenner x−3 ist nur bei 3 null.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Ein Quotient stetiger Funktionen ist bei nichtverschwindendem Nenner stetig.
Ergebnis
1. Rechenweg und ErgebnisAn allen reellen Stellen außer 3; bei 3 ist f nicht definiert.
08
Aufgabe 8Stetigkeit · VertiefenFür f(x)=4x soll der Ausgangsfehler kleiner als 0,02 sein. Welche Eingabetoleranz δ genügt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenweg und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{|f(x)-f(a)|=4|x-a|}$ — Differenz.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\delta=0{,}02/4=0{,}005}$ — wählen.
Ergebnis
1. Rechenweg und Ergebnis|x−a|<0,005 garantiert den verlangten Fehler.
09
Aufgabe 9Stetigkeit · VertiefenZeichne f(x)=x+1 für x≠1 und ergänze den Wert bei 1 so, dass die Funktion stetig wird. Kennzeichne den ergänzten Punkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Antwort und Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Grenzwert ist 2.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Ergänzung muss deshalb f(1)=2 sein.
Ergebnis
1. Antwort und BegründungAusgefüllter Punkt (1|2), durchgehende Gerade.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich beachte Definitionsbereich und Grenzwertrichtung.
Ich trenne exakte Aussagen und Modellschätzungen.
Ich beschrifte Punkte, Achsen und Einheiten.

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