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Mittelwerte und Lage · Erklären & üben

Stichprobe

Eine Stichprobe soll zur Fragestellung und zur Grundgesamtheit passen. Auswahlverfahren und Messqualität entscheiden, was du aus ihren Daten sinnvoll beschreiben kannst.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Grundgesamtheit und Stichprobe

Die Grundgesamtheit umfasst alle Einheiten, auf die sich eine Frage bezieht. Die Stichprobe umfasst die tatsächlich untersuchten Einheiten. Eine vollständige Auswahlliste hilft, niemanden systematisch auszuschließen.

Eine größere Stichprobe verkleinert nicht automatisch systematische Verzerrungen. Nichterreichbarkeit, freiwillige Teilnahme und unpassende Fragen können Ergebnisse verschieben.

  1. Definiere die Zielgruppe.

  2. Dokumentiere, wer ausgewählt wurde und wer tatsächlich geantwortet hat.

Ausgewählt ist nicht dasselbe wie befragt oder beantwortet.

So geht es am Beispiel

Eine Schule hat 480 Schüler. Aus einer vollständigen Liste werden 40 ausgelost;36 antworten. Benenne Grundgesamtheit und realisierte Stichprobe.

Die Frage bezieht sich auf alle 480. Die tatsächlichen Daten stammen von 36 Antwortenden.

Ergebnis

Grundgesamtheit 480; ausgelost 40; realisierte Stichprobe 36.

Erklärung 02

Zufall, Quote und Gelegenheit

Bei einer einfachen Zufallsstichprobe fester Größe sind alle Teilmengen dieser Größe gleich wahrscheinlich. Eine vollständige Liste und eine echte Zufallsauswahl ohne Wiederholung setzen das um.

Eine Quotenstichprobe erfüllt vorgegebene Gruppenanzahlen, wählt Personen innerhalb der Gruppen aber nicht zwingend zufällig. Eine Gelegenheitsstichprobe erfasst leicht erreichbare Personen.

Teile die Grundgesamtheit in Gruppen und lose innerhalb jeder Gruppe unabhängig eine feste Anzahl aus: Das ist eine geschichtete Zufallsstichprobe. Die Gruppenanteile können proportional übernommen werden; Zufallsauswahl ist der entscheidende Unterschied zur bloßen Quote.

Wenn proportionale Zielzahlen nicht ganzzahlig sind, muss vorab eine Rundungsregel festgelegt werden, die den gesamten Stichprobenumfang erhält.

  1. Bestimme die Auswahlregel innerhalb jeder Gruppe.

  2. Kontrolliere, ob jede Zielperson überhaupt erreichbar ist.

ni=nNiN\mathsf{n_i=n\frac{N_i}{N}}

Drei Auswahlregeln; eine Quote allein macht die Auswahl nicht zufällig.

So geht es am Beispiel

Eine Schule hat 300 jüngere und 200 ältere Schüler. Eine proportionale geschichtete Zufallsstichprobe soll 50 Personen enthalten. Wie viele werden je Gruppe ausgelost?

n1=50⋅300500=30\mathsf{n_1=50\cdot\frac{300}{500}=30}
n2=50⋅200500=20\mathsf{n_2=50\cdot\frac{200}{500}=20}

Ergebnis

30 jüngere und 20 ältere; innerhalb beider Gruppen zufällig auswählen.

Erklärung 03

Messqualität einer Schulumfrage

Objektivität bedeutet hier, dass die Ergebnisse möglichst unabhängig von der erhebenden Person entstehen. Gleiche Fragen und Zeiten unterstützen die Durchführungsobjektivität, feste Auswertungsregeln die Auswertungsobjektivität und ein vorab festgelegter Deutungsmaßstab die Interpretationsobjektivität.

Reliabilität beschreibt Zuverlässigkeit bzw. Wiederholbarkeit unter vergleichbaren, stabilen Bedingungen. Eine unveränderte Messsituation sollte bei Wiederholung ähnliche Werte liefern.

Validität fragt, ob die Messung für den beabsichtigten Schluss geeignet ist. Wer Schulweglänge wissen will, misst mit der Frage nach der Schuhgröße am Thema vorbei. Eine zuverlässig falsche Messung wird durch Wiederholung nicht gültig.

  1. Prüfe gleiche Erhebungs- und Auswertungsregeln.

  2. Prüfe Wiederholbarkeit bei unverändertem Merkmal.

  3. Prüfe die Passung zur konkreten Fragestellung.

Gleiche Regeln, stabile Messung und passende Messung sind verschiedene Anforderungen.

Gleiche Regeln, Wiederholbarkeit und Passung sind verschiedene Anforderungen.

So geht es am Beispiel

Eine Umfrage soll Schulwegzeiten messen. Alle erhalten dieselbe Frage nach Minuten vom Verlassen der Wohnung bis zum Schultor. Warum sind feste Start- und Endpunkte hilfreich?

Sie vereinheitlichen Durchführung und Auswertung.

Eine wiederholte Messung desselben stabilen Weges prüft die Wiederholbarkeit.

Die Minuten des tatsächlichen Weges passen zur Frage; Schuhgröße täte das nicht.

Ergebnis

Objektivität, Reliabilität und Validität müssen getrennt beurteilt werden.

Erklärung 04

Was dieser Einstieg nicht berechnet

Eine induktive Auswertung braucht weitere Voraussetzungen für die Verallgemeinerung und die Unsicherheit. Das Thema Deskriptive Statistik beschreibt zunächst die erhobenen Daten.

Hier bleiben Gütekriterien auf gleiche Bedingungen, Wiederholbarkeit und Passung beschränkt. Detaillierte Validitätsarten, qualitative Forschungsmethodik und Nebengütekriterien sind weiterführende Methodenthemen.

Cohens Kappa, Cronbachs Alpha, Split-half, Paralleltests und psychometrische Testtheorie werden hier nicht berechnet. Auch eine einzelne Wiederholungsmessung ersetzt keine solche weiterführende Prüfung.

  1. Formuliere nur Aussagen, die Auswahl und Messung tatsächlich tragen.

Eine Stichprobenbeschreibung ist noch kein Nachweis von Repräsentativität.

So geht es am Beispiel

Ein Messgerät zeigt unter stabilen Bedingungen stets exakt 2 Minuten zu viel. Ist es damit zuverlässig und für genaue Wegzeitmessung unverzerrt?

Die Werte können gut wiederholbar sein. Der konstante Fehler bleibt aber bei jeder Wiederholung bestehen.

Ergebnis

Wiederholbar, aber systematisch zu hoch; Reliabilität garantiert keine passende unverzerrte Messung.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Stichprobe · EinstiegAus 900 Schülern werden 60 ausgelost. Nur 54 beantworten den Fragebogen. Nenne die Größen von Grundgesamtheit, ausgeloster Auswahl und realisierter Stichprobe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die drei Zahlen beziehen sich auf verschiedene Stufen der Erhebung.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Grundgesamtheit900\mathsf{900}
    2. Ausgeloste Auswahl60\mathsf{60}
    3. Realisierte Stichprobe54\mathsf{54}
  2. Aufgabe 2Stichprobe · EinstiegEine Befragung erfasst die ersten 20 Personen, die freiwillig am Infostand stehen bleiben. Welches Auswahlverfahren ist das, und welches Problem kann entstehen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Erreichbarkeit und freiwilliges Interesse bestimmen die Teilnahme.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. VerfahrenGelegenheitsstichprobe mit freiwilliger Teilnahme.
    2. Mögliche VerzerrungInteressierte oder gerade verfügbare Personen können überrepräsentiert sein.
  3. Aufgabe 3Stichprobe · AnwendenAus den acht Personen-IDs werden ohne Wiederholung die IDs 7,1,4 ausgelost. Kreise genau diese Personen in der Vorlage ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Ausgewählte Personen

    Acht beschriftete Personen-IDs; vorgegebene zufällige Ziehliste7,1,4; Markierungen fehlen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Eine ID gehört unabhängig von ihrer Position in der Ziehliste genau einmal zur Stichprobe.

    Ergebnis

    1. Ausgewählte PersonenIDs 1,4,7 eingekreist.
  4. Aufgabe 4Stichprobe · AnwendenEine Grundgesamtheit besteht aus 120 Personen der Gruppe A und 80 der Gruppe B. Für eine proportionale geschichtete Zufallsstichprobe von 30 Personen: Bestimme die beiden Gruppengrößen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      nA=30⋅120200=18\mathsf{n_A=30\cdot\frac{120}{200}=18}
      nB=30⋅80200=12\mathsf{n_B=30\cdot\frac{80}{200}=12}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Innerhalb jeder Gruppe wird zufällig ausgewählt.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Personen aus A18\mathsf{18}
    2. Personen aus B12\mathsf{12}
  5. Aufgabe 5Stichprobe · TransferZwei Befrager erklären dieselbe Frage unterschiedlich und runden Antworten nach eigenen Regeln. Welches Gütekriterium ist besonders betroffen? Nenne eine konkrete Verbesserung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Durchführung und Auswertung hängen von der befragenden Person ab.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. KriteriumObjektivität.
    2. VerbesserungIdentischer Fragetext, gemeinsame Erklärung und vorab festgelegte Rundungsregel.
  6. Aufgabe 6Stichprobe · TransferDie körperliche Größe wird unter gleichen Bedingungen fünfmal gemessen. Das Gerät zeigt jedes Mal denselben Wert, aber stets 10 cm zu viel. Was sagt dies über Wiederholbarkeit und Eignung zur genauen Größenmessung?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Konstanz unterstützt die Wiederholbarkeit, beseitigt den systematischen Fehler jedoch nicht.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. WiederholbarkeitUnter diesen Bedingungen gut wiederholbar.
    2. EignungFür genaue Größenmessung ohne Korrektur ungeeignet; Wiederholbarkeit allein genügt nicht.
  7. Aufgabe 7Stichprobe · TransferEine Quotenbefragung verlangt 10 jüngere und 10 ältere Personen. Die Befrager wählen dafür Freunde. Ist dies bereits eine geschichtete Zufallsstichprobe? Begründe und verbessere das Verfahren.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Gruppenzahlen sind vorgegeben, aber innerhalb der Gruppen entscheidet Freundschaft statt Zufall.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. BeurteilungNein; Quote ohne zufällige Auswahl innerhalb der Gruppen.
    2. ZufallsverfahrenVollständige Listen beider Gruppen verwenden und je 10 Personen zufällig ohne Wiederholung auslosen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich unterscheide Grundgesamtheit, Auswahl und realisierte Stichprobe.
  • Ich prüfe Auswahlregel sowie Objektivität, Wiederholbarkeit und Passung der Erhebung.

AT Academy · Version 2026-10-21

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