Mittelwerte und Lage · Erklären & üben

Statistik Mathe

Hier bereitest du kleine Datensätze auf: sortieren, Häufigkeiten zählen, den Median bestimmen und Klassen eindeutig bilden. Der Median wird auch Zentralwert genannt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Mitte einer geordneten Liste

Sortiere die Zahlen aufsteigend. Bei ungerader Anzahl steht der Median an der mittleren Position. Bei gerader Anzahl ist er für zahlenmäßige Messwerte der Mittelwert der beiden mittleren Werte.

Der Median reagiert auf einen weit entfernten Randwert oft weniger stark als der Mittelwert. Bei geordneten Kategorien bleibt die Ranglage sinnvoll; Kategorien darf man nicht wie Zahlen mitteln.

Sortiere alle Werte einschließlich Wiederholungen.
Bestimme die mittlere Position oder das mittlere Paar.

$\mathsf{\widetilde x=x_{((n+1)/2)}\textsf{ bei ungeradem }n}$

Bei vier Werten werden die beiden mittleren Werte3 und7 gemittelt; Median5.

Fünf sortierte Werte, Median an Position3 gleich3.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Mediane von 9,1,7,3,2 und von 9,1,7,3.

Sortiert lauten die Listen 1,2,3,7,9 und 1,3,7,9.

\mathsf{\widetilde x_1=3}

\mathsf{\widetilde x_2=\frac{3+7}{2}=5}

Erklärung 02

Median, Modus und Mittelwert unterscheiden

Minimum und Maximum sind die kleinsten und größten beobachteten Werte. Der Modus ist ein am häufigsten vorkommender Wert. Mittelwert, Median und Modus müssen nicht übereinstimmen.

Das Arithmetische Mittel behandelt Summe und Gewichtung genauer. Ein Boxplot ergänzt den Median durch Quartile und eine festgelegte Randwertkonvention; er gehört zum Anschlussthema Boxplot.

Lies den Modus aus Häufigkeiten ab.
Vergleiche die Kennzahlen mit den Einzelwerten.

$\mathsf{\bar x=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}}$

So geht es am Beispiel

Vergleiche Mittelwert, Median und Modus der Daten 1,2,2,3,12.

\mathsf{\bar x=\frac{20}{5}=4}

\mathsf{\widetilde x=2}

Der Wert 2 kommt zweimal und damit am häufigsten vor.

Erklärung 03

Häufigkeiten und Klassen

Bei vielen Messwerten können Klassen die Übersicht erleichtern. Ihre Grenzen müssen lückenlos und überschneidungsfrei festgelegt werden, etwa links einschließlich und rechts ausschließlich. Aus klassierten Häufigkeiten allein kennt man die exakten Einzelwerte nicht mehr.

Ein Balkendiagramm eignet sich für Kategorien; beim Histogramm stehen zusammenhängende Klassen für Intervalle. Für ungleiche Klassenbreiten muss die Fläche statt bloßer Balkenhöhe die Häufigkeit abbilden.

Lege Klassen vor dem Zählen fest.
Prüfe Grenzwerte besonders sorgfältig.

$\mathsf{h_i=\frac{H_i}{n}}$

So geht es am Beispiel

Ordne die Werte 1,2,4,5,7,8 in die Klassen 0 bis unter 4,4 bis unter 8 und 8 bis unter 12 ein.

1 und 2 liegen in der ersten Klasse;4,5,7 in der zweiten;8 in der dritten.

Erklärung 04

Von der Beschreibung zum Test

Mathematische Statistik modelliert Zufall und prüft Aussagen unter Voraussetzungen. Ein Hypothesentest entscheidet anhand einer festgelegten Regel über eine Nullhypothese.

Fehler erster Art bedeutet: eine wahre Nullhypothese wird verworfen. Fehler zweiter Art bedeutet: eine falsche Nullhypothese wird nicht verworfen. Nichtverwerfen ist kein Beweis ihrer Wahrheit. Konkrete Testrechnungen und ihre Voraussetzungen gehören zu Hypothesentests.

Formuliere zuerst, welche Aussage die Nullhypothese ist.
Trenne den tatsächlichen Zustand von der Testentscheidung.

Deskriptive Kennzahlen allein ersetzen keinen Hypothesentest.

So geht es am Beispiel

Ein Test prüft die Nullhypothese „Die Münze ist fair“. Tatsächlich ist sie fair, der Test verwirft sie trotzdem. Welcher Fehler liegt vor?

Eine wahre Nullhypothese wurde verworfen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Statistik Mathe · EinstiegBestimme den Median von 8,2,4,1,6.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Median
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Sortiert:1,2,4,6,8. Der dritte Wert steht in der Mitte.
Ergebnis
1. Median $\mathsf{4}$
02
Aufgabe 2Statistik Mathe · EinstiegBestimme den Median von 9,3,1,7.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Median
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Sortiert:1,3,7,9. Die mittleren Werte sind 3 und 7.
  $\mathsf{\widetilde x=\frac{3+7}{2}=5}$
Ergebnis
1. Median $\mathsf{5}$
03
Aufgabe 3Statistik Mathe · AnwendenSortiere 9,4,1,8,2,6 in die Vorlage. Markiere die beiden mittleren Werte und berechne den Median.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Sortierte Liste mit Markierung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Sortierte Liste mit Markierung
Median
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Sortiert:1,2,4,6,8,9; mittlere Werte 4 und 6.
  $\mathsf{\widetilde x=\frac{4+6}{2}=5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Sortierte Liste mit Markierung1,2,4,6,8,9;4 und 6 markiert.
2. Median $\mathsf{5}$
04
Aufgabe 4Statistik Mathe · AnwendenFür 1,2,2,3,7: Bestimme Mittelwert, Median und Modus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mittelwert
Median
Modus
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\bar x=\frac{15}{5}=3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der mittlere Wert 2 ist zugleich der häufigste.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Mittelwert $\mathsf{3}$
2. Median $\mathsf{2}$
3. Modus $\mathsf{2}$
05
Aufgabe 5Statistik Mathe · TransferOrdne 0,3,4,7,8,11 in die Klassen 0 bis unter 4,4 bis unter 8,8 bis unter 12. Gib je Klasse die absolute Häufigkeit an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Klasse 0 bis unter 4
Klasse 4 bis unter 8
Klasse 8 bis unter 12
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Grenzwerte 4 und 8 gehören jeweils in die rechts beginnende Klasse.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Jede Klasse enthält zwei Beobachtungen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Klasse 0 bis unter 4 $\mathsf{2}$
2. Klasse 4 bis unter 8 $\mathsf{2}$
3. Klasse 8 bis unter 12 $\mathsf{2}$
06
Aufgabe 6Statistik Mathe · TransferBei den Daten 1,2,3,4,5 wird nur der letzte Wert durch 50 ersetzt. Berechne danach Median und Mittelwert und erkläre den Unterschied.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Neuer Median
Neuer Mittelwert
Unterschied
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\widetilde x=3}$
  $\mathsf{\bar x=\frac{1+2+3+4+50}{5}=12}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die mittlere Position bleibt gleich, die Summe wächst stark.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Neuer Median $\mathsf{3}$
2. Neuer Mittelwert $\mathsf{12}$
3. UnterschiedDer Median bleibt 3; der Mittelwert steigt wegen des großen Randwerts.
07
Aufgabe 7Statistik Mathe · TransferEin Test verwirft eine falsche Nullhypothese nicht. Benenne den Fehler und erkläre, weshalb das Ergebnis die Nullhypothese nicht beweist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlerart
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der tatsächliche Zustand widerspricht der Nullhypothese, wurde aber nicht erkannt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. FehlerartFehler zweiter Art.
2. BegründungNichtverwerfen kann trotz falscher Nullhypothese auftreten; daher ist es kein Wahrheitsbeweis.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich bestimme den Median für gerade und ungerade Datenumfänge.
Ich unterscheide Mittelwert, Median und Modus und ordne Klassengrenzen eindeutig zu.

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