Berechnen von Wahrscheinlichkeiten · Erklären & üben

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Wissen über das eine die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert. Das ist eine rechnerische Eigenschaft des Modells und keine Aussage über Ursache und Wirkung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Produktprobe

Zwei Ereignisse sind genau dann unabhängig, wenn ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeit dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten entspricht. Diese Definition gilt auch für Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit null. Für die bedingte Schreibweise muss der jeweilige Nenner positiv sein.

Bestimme beide Randwahrscheinlichkeiten und die Schnittwahrscheinlichkeit.
Vergleiche das Produkt der Ränder mit der Schnittwahrscheinlichkeit.

$\mathsf{P(A\cap B)=P(A)P(B)}$

Sechs Würfelzahlen mit Zugehörigkeit zu A, B und ihrer Schnittmenge; Schnitt genau 2 und 4.

So geht es am Beispiel

Ein fairer Würfel wird geworfen. A bedeutet „gerade Zahl“, B bedeutet „höchstens 4“. Prüfe Unabhängigkeit.

A enthält 2,4,6 und B enthält 1,2,3,4.

\mathsf{P(A)=3/6=1/2,\quad P(B)=4/6=2/3}

Die Schnittmenge enthält 2 und 4.

\mathsf{P(A\cap B)=2/6=1/3}

Vergleiche das Produkt.

\mathsf{P(A)P(B)=(1/2)(2/3)=1/3}

Erklärung 02

Die Bedingung verändert nichts

Bei unabhängigen Ereignissen stehen im Baum für A dieselben Zweigwahrscheinlichkeiten nach B und nach nicht B, sofern beide Bedingungen positive Wahrscheinlichkeit haben. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich dagegen oft die Zusammensetzung.

Vergleiche Zweige für dasselbe Ereignis unter verschiedenen Bedingungen.
Prüfe, ob eine Entnahme die weiteren Anteile verändert.

$\mathsf{P(A\mid B)=P(A)\quad\textsf{bei }P(B)>0}$

Abhängiger Zweigbaum für zwei Züge aus 2 roten und 2 blauen Kugeln ohne Zurücklegen.

So geht es am Beispiel

In einem Beutel liegen 2 rote und 2 blaue Kugeln. Zweimal wird ohne Zurücklegen gezogen. Sind „erste Kugel rot“ und „zweite Kugel rot“ unabhängig?

Vor einer Beobachtung ist jeder Zug wegen Symmetrie mit Wahrscheinlichkeit ein Halb rot.

\mathsf{P(R_2)=1/2}

Nach einer roten ersten Kugel bleibt eine rote unter drei Kugeln.

\mathsf{P(R_2\mid R_1)=1/3}

Die Bedingung verändert die Wahrscheinlichkeit.

Erklärung 03

Disjunktheit und Kausalität

Disjunkte Ereignisse können nicht gemeinsam eintreten. Haben beide positive Wahrscheinlichkeit, sind sie deshalb abhängig. Unabhängigkeit bedeutet hingegen eine passende gemeinsame Wahrscheinlichkeit. Ein statistischer Zusammenhang beweist für sich allein keine Ursache-Wirkungs-Beziehung.

Prüfe zuerst, ob die Ereignisse überhaupt gemeinsam auftreten können.
Vergleiche trotzdem mit dem Produkt; unterscheide die Rechnung von einer Kausalerklärung.

$\mathsf{A\cap B=\varnothing\ \Longrightarrow\ P(A\cap B)=0}$

Disjunkte Einzelereignisse 1 und 2; gemeinsame Wahrscheinlichkeit null, Produkt 1/36.

So geht es am Beispiel

Beim fairen Würfel bedeutet A „eine 1“, B „eine 2“. Prüfe Unabhängigkeit.

Die Schnittmenge ist leer.

\mathsf{P(A\cap B)=0}

Beide Einzelwahrscheinlichkeiten sind ein Sechstel.

\mathsf{P(A)P(B)=1/36}

Null ist ungleich ein Sechsunddreißigstel.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Stochastische Unabhängigkeit · basisEs gilt $\mathsf{P(A)=0{,}5}$ , $\mathsf{P(B)=0{,}4}$ und $\mathsf{P(A\cap B)=0{,}2}$ . Prüfe Unabhängigkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Produktprobe:
  $\mathsf{0{,}5\cdot0{,}4=0{,}2}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Das Produkt stimmt mit der Schnittwahrscheinlichkeit überein.
Ergebnis
1. UrteilA und B sind unabhängig.
02
Aufgabe 2Stochastische Unabhängigkeit · basisEs gilt $\mathsf{P(A)=0{,}3}$ , $\mathsf{P(B)=0{,}6}$ und $\mathsf{P(A\cap B)=0{,}24}$ . Prüfe Unabhängigkeit und berechne A unter B.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
A unter B
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Produktprobe:
  $\mathsf{0{,}3\cdot0{,}6=0{,}18\ne0{,}24}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die positive Bedingung erlaubt die Division.
  $\mathsf{P(A\mid B)=0{,}24/0{,}6=0{,}4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilDie Ereignisse sind abhängig.
2. A unter B $\mathsf{0{,}4}$
03
Aufgabe 3Stochastische Unabhängigkeit · sichernEin fairer Würfel wird geworfen. A bedeutet „gerade“, B bedeutet „größer als 3“. Prüfe Unabhängigkeit durch Auflisten der Schnittmenge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schnittmenge
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  A enthält 2,4,6; B enthält 4,5,6; gemeinsam sind 4 und 6.
  $\mathsf{P(A\cap B)=2/6=1/3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Randwahrscheinlichkeiten sind beide ein Halb.
  $\mathsf{P(A)P(B)=1/4\ne1/3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Schnittmenge $\mathsf{\{4,6\}}$
2. UrteilA und B sind abhängig.
04
Aufgabe 4Stochastische Unabhängigkeit · anwendenA und B sind unabhängig. Es gilt $\mathsf{P(B)=0{,}4}$ und $\mathsf{P(A)=0{,}3}$ . Ergänze alle sechs Zweigwerte im Baum und berechne die gemeinsame Wahrscheinlichkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Zeichnung
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste Gegenwahrscheinlichkeit: 0,6.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Wegen Unabhängigkeit steht für A unter beiden Bedingungen 0,3, für nicht A jeweils 0,7.
  $\mathsf{P(A\cap B)=0{,}4\cdot0{,}3=0{,}12}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. ZeichnungSiehe die exakt passende geschützte Musterzeichnung.
2. Gemeinsame Wahrscheinlichkeit $\mathsf{0{,}12}$
05
Aufgabe 5Stochastische Unabhängigkeit · vertiefenA und B sind disjunkt und haben Wahrscheinlichkeiten 0,2 und 0,5. Können sie unabhängig sein? Begründe rechnerisch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Disjunktheit bedeutet gemeinsame Wahrscheinlichkeit null.
  $\mathsf{P(A\cap B)=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Das Produkt ist positiv.
  $\mathsf{P(A)P(B)=0{,}2\cdot0{,}5=0{,}1}$
Ergebnis
1. UrteilNein. Die Schnittwahrscheinlichkeit 0 ist ungleich dem Produkt 0,1.
06
Aufgabe 6Stochastische Unabhängigkeit · transferEs gilt $\mathsf{P(A)=0}$ und $\mathsf{P(B)=0{,}7}$ . Prüfe Unabhängigkeit mit der Produktdefinition. Darf man dafür B unter A als Quotienten berechnen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Unabhängigkeit
B unter A
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Schnittmenge ist Teil von A und hat deshalb ebenfalls Wahrscheinlichkeit null.
  $\mathsf{P(A\cap B)=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Das Produkt ist ebenfalls null.
  $\mathsf{P(A)P(B)=0\cdot0{,}7=0}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Die Bedingung A hätte Wahrscheinlichkeit null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UnabhängigkeitJa, die Produktdefinition ist erfüllt.
2. B unter ADer Quotient ist wegen $\mathsf{P(A)=0}$ nicht definiert.
07
Aufgabe 7Stochastische Unabhängigkeit · transferIn einer Befragung hängen Fahrradfahren und die Mitgliedschaft in einem Sportverein statistisch zusammen. Jemand schließt daraus, dass Fahrradfahren die Vereinsmitgliedschaft verursacht. Beurteile diesen Schluss.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beurteilung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein statistischer Zusammenhang zeigt unterschiedliche bedingte Anteile.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Er erklärt nicht von selbst die Ursache; etwa Sportinteresse könnte beide Merkmale beeinflussen.
Ergebnis
1. BeurteilungDer Kausalschluss ist nicht begründet. Statistische Abhängigkeit allein beweist keine Ursache-Wirkungs-Beziehung.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe Unabhängigkeit mit der Produktformel.
Ich unterscheide unabhängige von disjunkten Ereignissen.
Ich erkenne unveränderte Zweigwahrscheinlichkeiten im Baum und trenne Statistik von Kausalität.

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