Berechnen von Wahrscheinlichkeiten · Erklären & üben

Satz von Bayes

Bayes dreht eine bedingte Frage um. Aus einem beobachteten Treffer schließt du auf seine mögliche Herkunft. Dabei zählt auch, wie häufig die Herkunft vor der Beobachtung war.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Frage umdrehen

P(E unter G) beschreibt den Trefferanteil innerhalb einer Gruppe. P(G unter E) beschreibt den Gruppenanteil innerhalb der Treffer. Beide benutzen denselben gemeinsamen Anteil, aber unterschiedliche Nenner. Für die Umkehrung muss E positive Wahrscheinlichkeit haben.

Benenne Gruppe G und Beobachtung E.
Markiere, welcher Anteil vorgegeben und welcher gesucht ist.

$\mathsf{P(G\mid E)=\frac{P(G)P(E\mid G)}{P(E)},\quad P(E)>0}$

Anteile zur Umkehrung der Paketfrage: gemeinsame Wahrscheinlichkeit 0,30 und K-Nenner 0,50.

So geht es am Beispiel

40 Prozent der Pakete kommen von X. Unter den X-Paketen sind 75 Prozent klein (K). Insgesamt sind 50 Prozent aller Pakete klein. Wie groß ist der X-Anteil unter den kleinen Paketen?

Berechne den gemeinsamen Anteil von X und K.

\mathsf{P(X\cap K)=0{,}4\cdot0{,}75=0{,}30}

Teile durch die positive Wahrscheinlichkeit für K.

\mathsf{P(X\mid K)=0{,}30/0{,}50=0{,}60}

Erklärung 02

Alle Wege zur Beobachtung berücksichtigen

Für die Gruppen G und nicht G berechnest du E insgesamt durch zwei gewichtete Beiträge. Beide Gruppen haben hier positive Wahrscheinlichkeiten. Ein hoher Trefferanteil innerhalb einer seltenen Gruppe macht diese Gruppe unter allen Treffern noch nicht automatisch häufig.

Berechne beide Pfadprodukte zur Beobachtung E.
Addiere sie zum Nenner.
Teile den gesuchten Pfadbeitrag durch diese Summe.

$\mathsf{P(G\mid E)=\frac{P(G)P(E\mid G)}{P(G)P(E\mid G)+P(\overline G)P(E\mid\overline G)}}$

Baum mit seltenem X-Anteil 0,1 und E-Wahrscheinlichkeiten 0,8 beziehungsweise 0,2.

So geht es am Beispiel

10 Prozent der Bauteile stammen von X, 90 Prozent von Y. Ein Prüfmerkmal E tritt bei 80 Prozent der X-Teile und 20 Prozent der Y-Teile auf. Bestimme X unter E.

Gemeinsamer Beitrag von X:

\mathsf{0{,}1\cdot0{,}8=0{,}08}

Gemeinsamer Beitrag von Y:

\mathsf{0{,}9\cdot0{,}2=0{,}18}

Gesamte Beobachtungswahrscheinlichkeit:

\mathsf{P(E)=0{,}08+0{,}18=0{,}26}

Umkehrung:

\mathsf{P(X\mid E)=\frac{0{,}08}{0{,}26}=\frac4{13}\approx30{,}77\,\%}

Erklärung 03

Warum die Formel gilt

Der gemeinsame Anteil kann in beiden Richtungen als Pfadprodukt geschrieben werden. Durch Teilen nach der gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeit erhältst du Bayes. Unabhängigkeit ist der Sonderfall, in dem die Beobachtung den Gruppenanteil nicht verändert.

Schreibe die Schnittwahrscheinlichkeit in beiden Richtungen.
Teile durch P(E), sofern diese Zahl positiv ist.

$\mathsf{P(G\cap E)=P(G)P(E\mid G)=P(E)P(G\mid E)}$

Vierfeldertafel mit 200 Teilen, darunter 16 X-Treffer und 36 andere Treffer.

So geht es am Beispiel

Bei 200 gleich wahrscheinlich ausgewählten Teilen stammen 20 von X. 16 X-Teile und 36 übrige Teile haben Merkmal E. Berechne den X-Anteil unter E.

Unter E gibt es insgesamt 16 plus 36 Teile.

\mathsf{H(E)=16+36=52}

Davon stammen 16 von X.

\mathsf{P(X\mid E)=\frac{16}{52}=\frac4{13}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Satz von Bayes · basisBei $\mathsf{P(G)=0{,}3}$ , $\mathsf{P(E\mid G)=0{,}8}$ und $\mathsf{P(E)=0{,}4}$ ist G unter E gesucht. Berechne zuerst den gemeinsamen Anteil und dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gemeinsamer Anteil
G unter E
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Gemeinsamer Anteil:
  $\mathsf{P(G\cap E)=0{,}3\cdot0{,}8=0{,}24}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Teile durch E insgesamt.
  $\mathsf{P(G\mid E)=0{,}24/0{,}4=0{,}6}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gemeinsamer Anteil $\mathsf{0{,}24}$
2. G unter E $\mathsf{0{,}6}$
02
Aufgabe 2Satz von Bayes · basis25 Prozent der Waren stammen von X, 75 Prozent von Y. Ein Merkmal E tritt bei X mit Wahrscheinlichkeit 0,6 und bei Y mit 0,2 auf. Berechne E insgesamt und X unter E.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
E insgesamt
X unter E
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  X-Beitrag:
  $\mathsf{0{,}25\cdot0{,}6=0{,}15}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Y-Beitrag:
  $\mathsf{0{,}75\cdot0{,}2=0{,}15}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Gesamt:
  $\mathsf{P(E)=0{,}15+0{,}15=0{,}30}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Umkehrung:
  $\mathsf{P(X\mid E)=0{,}15/0{,}30=0{,}5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. E insgesamt $\mathsf{0{,}30}$
2. X unter E $\mathsf{0{,}5}$
03
Aufgabe 3Satz von Bayes · sichernVon 300 Teilen stammen 60 von X. 42 dieser X-Teile und 48 der übrigen Teile tragen Merkmal E. Bestimme X unter E.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gesuchte Wahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Nenner umfasst alle E-Teile.
  $\mathsf{42+48=90}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Zähler umfasst X und E.
  $\mathsf{P(X\mid E)=42/90=7/15}$
Ergebnis
1. Gesuchte Wahrscheinlichkeit $\mathsf{P(X\mid E)=7/15\approx46{,}67\,\%}$
04
Aufgabe 4Satz von Bayes · anwendenErgänze den Baum: G hat Anteil 0,2. E tritt innerhalb von G mit Wahrscheinlichkeit 0,75 auf, außerhalb mit 0,25. Ergänze alle Zweigwerte. Berechne anschließend G unter E.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zeichnung
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Zeichnung
G unter E
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gegenanteil: 0,8. Gegenereigniszweige: 0,25 unter G und 0,75 unter nicht G.
  $\mathsf{P(G\cap E)=0{,}2\cdot0{,}75=0{,}15}$
  $\mathsf{P(E)=0{,}15+0{,}8\cdot0{,}25=0{,}35}$
  $\mathsf{P(G\mid E)=0{,}15/0{,}35=3/7}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. ZeichnungSiehe die exakt passende geschützte Musterzeichnung.
2. G unter E $\mathsf{3/7\approx42{,}86\,\%}$
05
Aufgabe 5Satz von Bayes · vertiefenNur 1 Prozent der Teile stammt von X. Merkmal E tritt bei 90 Prozent der X-Teile und 10 Prozent der übrigen Teile auf. Jemand schließt aus E auf 90 Prozent Wahrscheinlichkeit für X. Berechne den richtigen Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Richtiger Wert
Fehler
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  X-Beitrag:
  $\mathsf{0{,}01\cdot0{,}9=0{,}009}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beitrag der übrigen Teile:
  $\mathsf{0{,}99\cdot0{,}1=0{,}099}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Gesamt:
  $\mathsf{P(E)=0{,}108}$
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  Umkehrung:
  $\mathsf{P(X\mid E)=0{,}009/0{,}108=1/12}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Richtiger Wert $\mathsf{1/12\approx8{,}33\,\%}$
2. FehlerDie 90 Prozent gelten für E unter X. Die umgekehrte Frage muss den seltenen Ausgangsanteil von X berücksichtigen.
06
Aufgabe 6Satz von Bayes · transferEs gilt $\mathsf{P(G)=0{,}4}$ und $\mathsf{P(E\mid G)=P(E\mid\overline G)=0{,}3}$ . Berechne G unter E und deute das Ergebnis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
G unter E
Deutung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  E insgesamt:
  $\mathsf{P(E)=0{,}4\cdot0{,}3+0{,}6\cdot0{,}3=0{,}3}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Umkehrung:
  $\mathsf{P(G\mid E)=\frac{0{,}4\cdot0{,}3}{0{,}3}=0{,}4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. G unter E $\mathsf{0{,}4}$
2. DeutungDie Beobachtung E verändert den Anteil von G nicht; die Ereignisse sind unabhängig.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide P(E unter G) von P(G unter E).
Ich berücksichtige die Ausgangsanteile der Gruppen.
Ich berechne den Nenner mit der totalen Wahrscheinlichkeit.

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