Kurven untersuchen · Erklären & üben

Symmetrie von Funktionen

Symmetrie verbindet Punkte des Graphen paarweise. Eine algebraische Prüfung zeigt, ob der gesamte Graph zur y-Achse oder zum Ursprung symmetrisch ist.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zuerst den Definitionsbereich prüfen

Für Symmetrie zur y-Achse oder zum Ursprung muss mit jedem erlaubten x auch −x erlaubt sein. Beispielsweise sind $\mathsf{\mathbb R}$ und $\mathsf{\mathbb R\setminus\{0\}}$ symmetrisch zu 0, aber $\mathsf{(0,\infty)}$ nicht.

Erst dann vergleichst du die Funktionswerte für x und −x. Einzelne passende Zahlenpaare reichen nicht als Nachweis für den ganzen Graphen.

Erklärung 02

Achsensymmetrie zur y-Achse

Gilt auf einem zu 0 symmetrischen Definitionsbereich für alle x die Gleichung $\mathsf{f(-x)=f(x)}$ , heißt die Funktion gerade. Zu $\mathsf{(x\mid y)}$ gehört dann $\mathsf{(-x\mid y)}$ .

Parabel mit einem gespiegelten Punktepaar.

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{f(x)=2x^4-3x^2+1}$ .

\mathsf{D=\mathbb R}

\mathsf{f(-x)=2(-x)^4-3(-x)^2+1}

\mathsf{f(-x)=2x^4-3x^2+1}

\mathsf{f(-x)=f(x)}

Erklärung 03

Punktsymmetrie zum Ursprung

Gilt stattdessen $\mathsf{f(-x)=-f(x)}$ für alle x, heißt die Funktion ungerade. Zu $\mathsf{(x\mid y)}$ gehört dann $\mathsf{(-x\mid-y)}$ .

Kubischer Graph mit gegenüberliegenden Punkten und dem Ursprung als Zentrum.

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{g(x)=x^3-2x}$ .

\mathsf{g(-x)=(-x)^3-2(-x)}

\mathsf{g(-x)=-x^3+2x}

\mathsf{-g(x)=-(x^3-2x)}

\mathsf{-g(x)=-x^3+2x}

Erklärung 04

Sonderfälle und sichere Grenzen

Für ein Polynom mit nur geraden Potenzen einschließlich eines konstanten Glieds gilt die erste Symmetrie. Nur ungerade Potenzen ohne konstantes Glied liefern die zweite.

Die Nullfunktion auf einem symmetrischen Definitionsbereich erfüllt beide Bedingungen. Eine konstante Nichtnullfunktion ist gerade, aber nicht ungerade.

Gemischte Terme erfüllen die beiden Bedingungen meist nicht. Das schließt eine Symmetrie zu einer verschobenen Achse oder einem anderen Punkt nicht aus.

Erklärung 05

Verschobene Achsen und Zentren

Für die Achse $\mathsf{x=a}$ müssen der Definitionsbereich bezüglich a symmetrisch und die Werte $\mathsf{f(a+h)=f(a-h)}$ für alle zulässigen h gleich sein.

Für das Zentrum $\mathsf{Z(a\mid b)}$ lautet die Bedingung $\mathsf{f(a+h)+f(a-h)=2b}$ . Auch hier müssen beide Stellen zum Definitionsbereich gehören.

So geht es am Beispiel

Zeige die Achsensymmetrie von $\mathsf{f(x)=(x-2)^2+1}$ und die Punktsymmetrie von $\mathsf{g(x)=(x-1)^3+2}$ .

\mathsf{f(2+h)=h^2+1}

\mathsf{f(2-h)=(-h)^2+1=h^2+1}

\mathsf{g(1+h)=h^3+2}

\mathsf{g(1-h)=-h^3+2}

\mathsf{g(1+h)+g(1-h)=4}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Symmetrie von Funktionen · EinstiegPrüfe $\mathsf{f(x)=x^2+4}$ auf die beiden Standardsymmetrien.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-x)=(-x)^2+4=x^2+4=f(x)}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=4\ne0}$ schließt Ursprungssymmetrie aus.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisAchsensymmetrisch zur y-Achse, nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
02
Aufgabe 2Symmetrie von Funktionen · EinstiegPrüfe $\mathsf{f(x)=3x^5-x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-x)=-3x^5+x}$
  $\mathsf{-f(x)=-3x^5+x}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisUrsprungssymmetrisch, nicht y-achsensymmetrisch.
03
Aufgabe 3Symmetrie von Funktionen · StandardPrüfe $\mathsf{f(x)=x^2+x}$ . Nutze einen Gegenvergleich für jede Bedingung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(1)=2}$
  $\mathsf{f(-1)=0}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0\ne2}$ und $\mathsf{0\ne-2}$ .
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisWeder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.
04
Aufgabe 4Symmetrie von Funktionen · StandardPrüfe $\mathsf{f(x)=1/x}$ einschließlich des Definitionsbereichs.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{0\}}$ ist symmetrisch zu 0.
  $\mathsf{f(-x)=1/(-x)=-1/x=-f(x)}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisPunktsymmetrisch zum Ursprung.
05
Aufgabe 5Symmetrie von Funktionen · StandardPrüfe $\mathsf{f(x)=x^2}$ mit dem eingeschränkten Definitionsbereich $\mathsf{D=[0,\infty)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  1 ist erlaubt, −1 nicht.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Der Definitionsbereich ist nicht symmetrisch zu 0.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisKeine der beiden Standardsymmetrien des eingeschränkten Graphen.
06
Aufgabe 6Symmetrie von Funktionen · StandardOrdne $\mathsf{f(x)=0}$ und $\mathsf{g(x)=5}$ auf $\mathsf{\mathbb R}$ ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-x)=0=f(x)=-f(x)}$
  $\mathsf{g(-x)=5=g(x)}$
  $\mathsf{-g(x)=-5\ne5}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnisf erfüllt beide Symmetrien; g nur die y-Achsensymmetrie.
07
Aufgabe 7Symmetrie von Funktionen · StandardPrüfe $\mathsf{f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-4}}$ einschließlich des Definitionsbereichs.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{-2,2\}}$ ist symmetrisch.
  $\mathsf{f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-4}}$
  $\mathsf{f(-x)=f(x)}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisAchsensymmetrisch zur y-Achse.
08
Aufgabe 8Symmetrie von Funktionen · VertiefungZeige die Symmetrie von $\mathsf{f(x)=(x+3)^2-2}$ zu einer verschobenen Achse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-3+h)=h^2-2}$
  $\mathsf{f(-3-h)=h^2-2}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisSymmetrieachse $\mathsf{x=-3}$ .
09
Aufgabe 9Symmetrie von Funktionen · VertiefungZeige die Punktsymmetrie von $\mathsf{f(x)=(x-2)^3-4}$ zu einem passenden Zentrum.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(2+h)=h^3-4}$
  $\mathsf{f(2-h)=-h^3-4}$
  $\mathsf{f(2+h)+f(2-h)=-8=2\cdot(-4)}$
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisZentrum $\mathsf{Z(2\mid-4)}$ .
10
Aufgabe 10Symmetrie von Funktionen · VertiefungFür $\mathsf{f(x)=ax^3+bx^2+c}$ auf $\mathsf{\mathbb R}$ : Welche Parameterbedingungen liefern y-Achsensymmetrie, welche Ursprungssymmetrie?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-x)=-ax^3+bx^2+c}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-x)=f(x)}$ verlangt $\mathsf{a=0}$ .
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(-x)=-f(x)}$ verlangt $\mathsf{b=0}$ und $\mathsf{c=0}$ .
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnisy-Achse: $\mathsf{a=0}$ . Ursprung: $\mathsf{b=c=0}$ . Alle Parameter 0: beide.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe zuerst den Definitionsbereich.
Ich begründe meine Aussage durch Einsetzen oder einen Termvergleich.
Ich unterscheide Funktionswerte, Punkte und Symmetriebedingungen.

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