Kurven untersuchen · Erklären & üben

y-Achsenabschnitt berechnen

Auf der y-Achse ist die x-Koordinate immer 0. Deshalb erhältst du ihren Schnittpunkt mit dem Graphen durch Einsetzen von 0 – sofern die Funktion dort definiert ist.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Wert und Punkt unterscheiden

Der y-Achsenabschnitt ist der Wert $\mathsf{b=f(0)}$ . Der zugehörige Schnittpunkt ist $\mathsf{S_y(0\mid b)}$ . Prüfe zuerst, ob $\mathsf{0\in D}$ gilt.

Für einen Schnittpunkt mit der x-Achse wäre dagegen $\mathsf{f(x)=0}$ zu lösen. Das ist eine andere Frage.

Gerade mit getrennt markierten Schnittpunkten zur y- und x-Achse.

So geht es am Beispiel

Bestimme den y-Achsenabschnitt von $\mathsf{f(x)=2x-3}$ .

\mathsf{f(0)=2\cdot0-3}

\mathsf{f(0)=-3}

Erklärung 02

Lineare und ganzrationale Funktionen

In $\mathsf{f(x)=mx+b}$ ist b direkt ablesbar. Die Steigung m verändert b nicht.

Bei einem Polynom in ausmultiplizierter Form bleibt beim Einsetzen von 0 nur das konstante Glied übrig. Bei Klammern setzt du zuerst ein und rechnest dann aus.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Schnittpunkt für $\mathsf{g(x)=-2(x-3)^2+5}$ .

\mathsf{g(0)=-2(0-3)^2+5}

\mathsf{g(0)=-2\cdot9+5}

\mathsf{g(0)=-13}

Erklärung 03

Brüche und Definitionslücken

Bei einer gebrochen rationalen Funktion darf der Nenner beim Einsetzen nicht 0 sein. Eine Lücke verschwindet nicht dadurch, dass sich der Term für andere x-Werte kürzen lässt.

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{f(x)=\frac{x+2}{x-1}}$ und $\mathsf{g(x)=\frac{x^2+x}{x}}$ .

\mathsf{f(0)=\frac2{-1}=-2}

Für g gilt $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{0\}}$ .

\mathsf{g(x)=x+1\quad(x\ne0)}

Erklärung 04

Exponential-, Logarithmus- und Wurzelfunktionen

Es gilt $\mathsf{e^0=1}$ . Daher ist für $\mathsf{f(x)=ae^{kx}+c}$ der Achsenabschnitt $\mathsf{a+c}$ .

Bei $\mathsf{\operatorname{\textsf{ln}}x}$ ist 0 nicht erlaubt. Bei $\mathsf{\operatorname{\textsf{ln}}(x+1)}$ ist 0 dagegen im Definitionsbereich und der Funktionswert ist $\mathsf{\operatorname{\textsf{ln}}1=0}$ .

Bei $\mathsf{\sqrt{x+4}}$ ist der Wert bei 0 gleich 2. Entscheidend ist immer der Definitionsbereich der konkreten Funktion.

Erklärung 05

Startwerte im Sachzusammenhang

Wenn die Eingabe eine seit dem Start vergangene Zeit ist, beschreibt $\mathsf{f(0)}$ den Anfangswert. Nenne seine Einheit. Bei einem Modell, das erst später gilt, darfst du nicht ohne Begründung bis 0 zurückgehen.

Tankfüllung mit Anfangsvolumen 12 Litern und Messpunkt nach vier Minuten.

So geht es am Beispiel

Ein Tank enthält anfangs Wasser und wird gleichmäßig gefüllt: $\mathsf{V(t)=12+3t}$ für $\mathsf{t\ge0}$ , t in Minuten, V in Litern. Deute den Achsenabschnitt.

\mathsf{V(0)=12+3\cdot0}

\mathsf{V(0)=12}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1y-Achsenabschnitt berechnen · EinstiegBestimme b und $\mathsf{S_y}$ für $\mathsf{f(x)=-4x+7}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=-4\cdot0+7=7}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{b=7}$ , $\mathsf{S_y(0\mid7)}$ .
02
Aufgabe 2y-Achsenabschnitt berechnen · EinstiegBestimme den Schnittpunkt für $\mathsf{f(x)=3x^4-2x^2-6}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=0-0-6=-6}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{S_y(0\mid-6)}$ .
03
Aufgabe 3y-Achsenabschnitt berechnen · StandardBerechne den Schnittpunkt für $\mathsf{g(x)=2(x+1)^2-5}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(0)=2\cdot1^2-5}$
  $\mathsf{g(0)=-3}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{S_y(0\mid-3)}$ .
04
Aufgabe 4y-Achsenabschnitt berechnen · StandardUntersuche $\mathsf{f(x)=\frac{2x-3}{x+2}}$ auf einen y-Achsenabschnitt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der Nenner ist bei 0 gleich 2.
  $\mathsf{f(0)=-3/2}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{b=-3/2}$ , $\mathsf{S_y(0\mid-3/2)}$ .
05
Aufgabe 5y-Achsenabschnitt berechnen · StandardHat $\mathsf{g(x)=\frac{x^2-2x}{x}}$ einen Schnittpunkt mit der y-Achse?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0\notin D}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{g(x)=x-2}$ gilt nur für $\mathsf{x\ne0}$ .
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisNein. Die gekürzte Darstellung erlaubt kein Einsetzen an der ursprünglichen Lücke.
06
Aufgabe 6y-Achsenabschnitt berechnen · StandardBestimme den Schnittpunkt für $\mathsf{f(x)=4e^{-2x}-1}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{f(0)=4e^0-1}$
  $\mathsf{f(0)=4-1=3}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{S_y(0\mid3)}$ .
07
Aufgabe 7y-Achsenabschnitt berechnen · StandardVergleiche die y-Achsenabschnitte von $\mathsf{f(x)=\operatorname{\textsf{ln}}x}$ und $\mathsf{g(x)=\operatorname{\textsf{ln}}(x+2)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Für f gilt $\mathsf{D=(0,\infty)}$ : 0 ist ausgeschlossen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Für g gilt $\mathsf{D=(-2,\infty)}$ .
  $\mathsf{g(0)=\operatorname{\textsf{ln}}2}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnisf: keiner. g: $\mathsf{b=\operatorname{\textsf{ln}}2}$ , $\mathsf{S_y(0\mid\operatorname{\textsf{ln}}2)}$ .
08
Aufgabe 8y-Achsenabschnitt berechnen · VertiefungEine Fahrt kostet $\mathsf{K(s)=4+2{,}5s}$ Euro für s Kilometer. Deute den y-Achsenabschnitt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{K(0)=4}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Strecke ist beim Start 0 Kilometer.
Ergebnis
1. Rechnung und ErgebnisDie Grundgebühr beträgt 4 Euro; Schnittpunkt $\mathsf{(0\mid4)}$ .
09
Aufgabe 9y-Achsenabschnitt berechnen · VertiefungDie Gerade $\mathsf{f(x)=3x+b}$ verläuft durch $\mathsf{P(2\mid11)}$ . Bestimme b und $\mathsf{S_y}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{11=3\cdot2+b}$
  $\mathsf{11=6+b}$
  $\mathsf{b=5}$
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{b=5}$ , $\mathsf{S_y(0\mid5)}$ .
10
Aufgabe 10y-Achsenabschnitt berechnen · VertiefungEin Graph enthält die Punkte $\mathsf{(0\mid-2)}$ und $\mathsf{(3\mid0)}$ . Welcher Punkt liefert den y-Achsenabschnitt?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechnung und Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Auf der y-Achse gilt x = 0.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Auf der x-Achse gilt y = 0.
Ergebnis
1. Rechnung und Ergebnis $\mathsf{S_y(0\mid-2)}$ und $\mathsf{b=-2}$ . Der andere Punkt ist ein Schnittpunkt mit der x-Achse.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe zuerst den Definitionsbereich.
Ich begründe meine Aussage durch Einsetzen oder einen Termvergleich.
Ich unterscheide Funktionswerte, Punkte und Symmetriebedingungen.

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