Symmetrie · Erklären & üben

Symmetrieachse

Eine Symmetrieachse ist eine Gerade, an der du eine Figur spiegeln kannst, ohne ihre Lage als Ganzes zu verändern. Du kannst sie gedanklich als Faltlinie verwenden: Beide Figurenteile müssen vollständig zusammenpassen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Mittelsenkrechte als Kriterium

Zu jedem Punkt außerhalb der Achse gehört ein Spiegelpunkt auf der anderen Seite. Die Achse halbiert deren Verbindungsstrecke senkrecht. Ein geeignetes Punktepaar liefert deshalb einen Achsenkandidaten. Erst wenn alle Punkte der Figur passend gespiegelt werden, ist diese Gerade wirklich eine Symmetrieachse.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{a\perp PP\prime,\qquad PM=MP\prime}$

So geht es am Beispiel

$\mathsf{P(1|2)}$ und $\mathsf{P\prime(7|2)}$ sollen Spiegelpunkte sein. Bestimme die mögliche Achse.

$\mathsf{M(4|2)}$ ist der Mittelpunkt von $\mathsf{PP\prime}$ .

Die Verbindung ist waagerecht; ihre Mittelsenkrechte ist die senkrechte Gerade durch M.

Erklärung 02

Eine, mehrere oder unendlich viele Achsen

Ein gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck hat eine Achse. Ein Rechteck, das kein Quadrat ist, hat zwei; ein gleichseitiges Dreieck drei; ein Quadrat vier. Beim Kreis ist jede Gerade durch den Mittelpunkt eine Spiegelachse. Er besitzt also unendlich viele. Die Anzahl hängt von den tatsächlichen Eigenschaften der Figur ab, nicht von ihrer Lage auf dem Papier.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{\textsf{Quadrat: }4\textsf{ Symmetrieachsen}}$

So geht es am Beispiel

Welche Achsen besitzt ein Quadrat?

Zwei Geraden verbinden die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten.

Die beiden Diagonalen vertauschen ebenfalls die passenden Ecken und Seiten.

Erklärung 03

Achsen begründet einzeichnen

Finde passende Punktepaare oder erkennbare Mittelpunkte. Zeichne die Gerade durch die nötigen Punkte über die Figur hinaus. Prüfe danach die Spiegelung, statt nur gleiche Teilflächen zu vergleichen. Beim gleichschenkligen Dreieck verläuft die Achse durch die Spitze und den Mittelpunkt der Basis; sie steht senkrecht auf der Basis.

Bestimme die vorgegebene Achse oder das Zentrum.
Prüfe die Zuordnung mit gleichen Abständen oder passenden Koordinaten.

$\mathsf{\textsf{gleiche Teilflächen}\ \not\Rightarrow\ \textsf{Spiegelachse}}$

So geht es am Beispiel

Ein gleichschenkliges Dreieck hat $\mathsf{A(1|1)}$ , $\mathsf{B(7|1)}$ , $\mathsf{C(4|5)}$ . Bestimme seine Achse.

Der Basismittelpunkt ist $\mathsf{M(4|1)}$ .

Die Gerade durch M und C ist senkrecht zur Basis und vertauscht A und B.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Symmetrieachse · basis $\mathsf{P(2|1)}$ und $\mathsf{P\prime(8|1)}$ sind Spiegelpunkte. Bestimme die Spiegelachse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Achse
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{M(5|1)}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Verbindungsstrecke ist waagerecht, daher ist ihre Mittelsenkrechte senkrecht.
Ergebnis
1. Achse $\mathsf{x=5}$
02
Aufgabe 2Symmetrieachse · standardWie viele Symmetrieachsen besitzt ein Rechteck, das kein Quadrat ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Nur die beiden Mittellinien bilden die ganze Figur auf sich ab.
Ergebnis
1. Anzahl $\mathsf{2}$
03
Aufgabe 3Symmetrieachse · standardWie viele Symmetrieachsen besitzt ein gleichseitiges Dreieck? Beschreibe ihre Lage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl
Lage
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Jede Achse führt von einer Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anzahl $\mathsf{3}$
2. LageJe eine Gerade durch eine Ecke und die gegenüberliegende Seitenmitte.
04
Aufgabe 4Symmetrieachse · standardDas Rasterquadrat hat $\mathsf{A(2|1)}$ , $\mathsf{B(6|1)}$ , $\mathsf{C(6|5)}$ und $\mathsf{D(2|5)}$ . Zeichne alle Symmetrieachsen ein. Verlängere die Achsen etwas über den Rand hinaus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vier Achsen
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Vier Achsen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Mittellinien sind $\mathsf{x=4}$ und $\mathsf{y=3}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ergänze beide Diagonalengeraden AC und BD.
Ergebnis
1. Vier Achsen $\mathsf{x=4}$ , $\mathsf{y=3}$ sowie die Geraden durch $\mathsf{A,C}$ und durch $\mathsf{B,D}$ .
05
Aufgabe 5Symmetrieachse · standardWarum ist jede Gerade durch den Mittelpunkt eines Kreises eine Symmetrieachse?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Eine Spiegelung an einer solchen Geraden lässt den Mittelpunkt fest.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Sie erhält den Abstand zum Mittelpunkt, also den Radius. Jeder Kreispunkt wird wieder auf einen Kreispunkt abgebildet.
Ergebnis
1. BegründungMittelpunkt und Radius bleiben erhalten; der Kreis wird auf sich abgebildet.
06
Aufgabe 6Symmetrieachse · transferEine Diagonale halbiert die Fläche eines Parallelogramms. Ist sie deshalb immer eine Symmetrieachse? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beurteilung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Gleiche Flächen garantieren keine spiegelbildlichen Ränder.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Bei einem Parallelogramm mit ungleichen benachbarten Seiten müsste die Diagonalspiegelung verschieden lange Seiten aufeinander abbilden.
Ergebnis
1. BeurteilungNein. Flächenhalbierung allein reicht nicht aus.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide eine Abbildung von einer Symmetrie der Figur.
Ich kann das jeweilige Verfahren an einer eigenen Zeichnung erklären.
Ich prüfe Voraussetzungen und begründe mein Ergebnis.

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