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Tangenten und Näherungen · Erklären & üben

Tangente

Die Tangente beschreibt die Richtung eines Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle. Ihre Gleichung folgt aus dem Berührpunkt und der Ableitung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Punkt und Richtung gehören zusammen

Für eine an x₀ differenzierbare Funktion liegt der Berührpunkt bei P(x0∣f(x0))\mathsf{P(x_0\mid f(x_0))}. Die Tangentensteigung lautet mT=f′(x0)\mathsf{m_T=f^{\prime}(x_0)}.

Die Tangente ist nicht einfach eine Gerade, die den Graphen nur einmal trifft. Sie kann den Graphen an anderer Stelle schneiden oder am Berührpunkt durch ihn hindurchlaufen, etwa bei x³ am Ursprung. Entscheidend sind Punkt und lokale Steigung.

Erklärung 02

Von der Punktsteigungsform zur Geradengleichung

Mit y0=f(x0)\mathsf{y_0=f(x_0)} gilt t(x)=mT(x−x0)+y0\mathsf{t(x)=m_T(x-x_0)+y_0}. Diese Punktsteigungsform setzt den richtigen Punkt unmittelbar ein.

Für die Form t(x)=mTx+b\mathsf{t(x)=m_Tx+b} rechnest du b=y0−mTx0\mathsf{b=y_0-m_Tx_0}. Der y-Achsenabschnitt ist also nicht automatisch y₀.

So geht es am Beispiel

Berechne die Tangente an f(x)=x2+1\mathsf{f(x)=x^2+1} bei x₀ = 2.

f(2)=22+1=5\mathsf{f(2)=2^2+1=5} — Höhe berechnen.

f′(x)=2x\mathsf{f^{\prime}(x)=2x} — ableiten.

f′(2)=4\mathsf{f^{\prime}(2)=4} — Steigung bestimmen.

t(x)=4(x−2)+5\mathsf{t(x)=4(x-2)+5} — Punktsteigungsform.

t(x)=4x−8+5\mathsf{t(x)=4x-8+5} — ausmultiplizieren.

t(x)=4x−3\mathsf{t(x)=4x-3} — zusammenfassen.

Ergebnis

P(2∣5),t(x)=4x−3\mathsf{P(2\mid5),\quad t(x)=4x-3}

Erklärung 03

Eine waagerechte Tangente

Ist f′(x0)=0\mathsf{f^{\prime}(x_0)=0}, ist die Tangente waagerecht. Ihre Gleichung ist y=f(x0)\mathsf{y=f(x_0)}. Daraus allein folgt noch kein Hoch- oder Tiefpunkt.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Tangente an g(x)=x3+2\mathsf{g(x)=x^3+2} bei x₀ = 0.

g(0)=2\mathsf{g(0)=2} — Punkt.

g′(x)=3x2\mathsf{g^{\prime}(x)=3x^2} — Ableitung.

g′(0)=0\mathsf{g^{\prime}(0)=0} — Steigung.

t(x)=0(x−0)+2\mathsf{t(x)=0(x-0)+2} — einsetzen.

Ergebnis

t(x)=2\mathsf{t(x)=2}

Erklärung 04

Die Tangente zeichnen

Markiere den Berührpunkt. Nutze die Steigung für einen zweiten Geradenpunkt: Eine Schrittweite Δx erzeugt die Höhenänderung m·Δx. Zeichne die Gerade durch beide Punkte. Bei Bruchsteigungen wählst du eine passende größere Schrittweite.

Prüfe am Ende t(x0)=f(x0)\mathsf{t(x_0)=f(x_0)} und den Steigungswert. Eine passende Lage im Bild ersetzt diese Rechnung nicht.

Beschrifteter Graph von x² mit Tangente bei x = 1 und zwei eingezeichneten Geradenpunkten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Tangente · EinstiegBerechne die Tangente an f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2} bei x₀ = 1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(1)=1\mathsf{f(1)=1}
      f′(x)=2x\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}
      mT=2\mathsf{m_T=2}
      t(x)=2(x−1)+1\mathsf{t(x)=2(x-1)+1}
      t(x)=2x−1\mathsf{t(x)=2x-1}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisP(1∣1),t(x)=2x−1\mathsf{P(1\mid1),\quad t(x)=2x-1}
  2. Aufgabe 2Tangente · EinstiegBerechne die Tangente an f(x)=x2+3\mathsf{f(x)=x^2+3} bei x₀ = −1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(−1)=4\mathsf{f(-1)=4}
      f′(x)=2x\mathsf{f^{\prime}(x)=2x}
      mT=−2\mathsf{m_T=-2}
      t(x)=−2(x+1)+4\mathsf{t(x)=-2(x+1)+4}
      t(x)=−2x+2\mathsf{t(x)=-2x+2}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisP(−1∣4),t(x)=−2x+2\mathsf{P(-1\mid4),\quad t(x)=-2x+2}
  3. Aufgabe 3Tangente · StandardBestimme die Tangente an f(x)=x3\mathsf{f(x)=x^3} bei x₀ = 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(2)=8\mathsf{f(2)=8}
      f′(x)=3x2\mathsf{f^{\prime}(x)=3x^2}
      mT=12\mathsf{m_T=12}
      t(x)=12(x−2)+8\mathsf{t(x)=12(x-2)+8}
      t(x)=12x−16\mathsf{t(x)=12x-16}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnist(x)=12x−16\mathsf{t(x)=12x-16}
  4. Aufgabe 4Tangente · StandardBestimme die Tangente an f(x)=−x2+4x\mathsf{f(x)=-x^2+4x} bei x₀ = 2.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(2)=4\mathsf{f(2)=4}
      f′(x)=−2x+4\mathsf{f^{\prime}(x)=-2x+4}
      mT=0\mathsf{m_T=0}
      t(x)=4\mathsf{t(x)=4}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisWaagerechte Tangente y = 4.
  5. Aufgabe 5Tangente · StandardEin Graph enthält P(−2 | 3). Dort beträgt die Ableitung 1/2. Bestimme die Tangente.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      t(x)=12(x+2)+3\mathsf{t(x)=\frac12(x+2)+3}
      t(x)=12x+1+3\mathsf{t(x)=\frac12x+1+3}
      t(x)=12x+4\mathsf{t(x)=\frac12x+4}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnist(x)=12x+4\mathsf{t(x)=\frac12x+4}
  6. Aufgabe 6Tangente · StandardKorrigiere: Für P(2 | 5) und m = 4 wird t(x) = 4x + 5 angegeben.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      t(2)=13\mathsf{t(2)=13} — falsche Gerade trifft P nicht.

      b=5−4⋅2\mathsf{b=5-4\cdot2}
      b=−3\mathsf{b=-3}
      t(x)=4x−3\mathsf{t(x)=4x-3}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDie Höhe des Berührpunkts wurde mit dem y-Achsenabschnitt verwechselt.
  7. Aufgabe 7Tangente · StandardAn welchen Stellen besitzt f(x)=x2−2x\mathsf{f(x)=x^2-2x} die Tangentensteigung 4? Bestimme die Tangente.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f′(x)=2x−2\mathsf{f^{\prime}(x)=2x-2}
      2x−2=4\mathsf{2x-2=4}
      x=3\mathsf{x=3}
      f(3)=3\mathsf{f(3)=3}
      t(x)=4(x−3)+3\mathsf{t(x)=4(x-3)+3}
      t(x)=4x−9\mathsf{t(x)=4x-9}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisP(3∣3),t(x)=4x−9\mathsf{P(3\mid3),\quad t(x)=4x-9}
  8. Aufgabe 8Tangente · VertiefungWarum ist y = 0 eine Tangente an x³ bei 0, obwohl der Graph die Gerade dort durchquert?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(0)=0\mathsf{f(0)=0}
      f′(0)=0\mathsf{f^{\prime}(0)=0}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Gerade besitzt denselben Punkt und dieselbe Steigung; ein Durchqueren schließt eine Tangente nicht aus.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDie Tangentendefinition verlangt keine ausschließliche Berührung ohne Durchqueren.
  9. Aufgabe 9Tangente · VertiefungBerechne und zeichne die Tangente an den vorgegebenen Graphen f(x)=x2\mathsf{f(x)=x^2} bei x₀ = 1.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Leeres Koordinatengitter zum Ergänzen der gesuchten Geraden; der vorgegebene Graph f(x) = x² bleibt sichtbar.

    Rechnung und Ergebnis

    Leeres Koordinatengitter zum Ergänzen der gesuchten Geraden; der vorgegebene Graph f(x) = x² bleibt sichtbar.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      P(1∣1)\mathsf{P(1\mid1)}
      f′(1)=2\mathsf{f^{\prime}(1)=2}
      t(x)=2(x−1)+1\mathsf{t(x)=2(x-1)+1}
      t(x)=2x−1\mathsf{t(x)=2x-1}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Zum Zeichnen: zweiter Geradenpunkt Q(2 | 3).

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnist(x)=2x−1\mathsf{t(x)=2x-1}

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich berechne Punkt und Steigung getrennt.
  • Ich bestimme den Achsenabschnitt aus der Punktsteigungsform.
  • Ich erkenne auch waagerechte Tangenten.

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