Teilbarkeit · Erklären & üben

Teiler und Vielfache

Ein Teiler passt ohne Rest in eine Zahl. Ein Vielfaches entsteht durch Multiplikation. Wir beginnen mit positiven natürlichen Ausgangszahlen. Bei Vielfachen zählen wir die Null mit; wenn positive Vielfache gefragt sind, beginnen wir beim ersten Produkt größer als null.

Lernziele: Teiler vollständig finden, Vielfache bilden und gemeinsame Elemente zweier Mengen bestimmen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Teiler als Faktorpaare

Eine positive Zahl $\mathsf{d}$ ist Teiler von $\mathsf{n}$ , wenn $\mathsf{n=d\cdot k}$ mit einer ganzen Zahl $\mathsf{k}$ gilt. Hier suchen wir ausschließlich positive Teiler positiver Zahlen. Durch null wird nicht geteilt. Teiler treten in Faktorpaaren auf; bei einer Quadratzahl kann ein Paar aus zweimal derselben Zahl bestehen.

Beginne mit dem Paar 1 und der Zahl selbst.
Prüfe die nächsten möglichen kleinen Faktoren der Reihe nach.
Sobald der kleine Faktor größer als sein Partner würde, sind alle Paare gefunden.

Eine vollständige Teilermenge enthält jeden positiven Teiler genau einmal.

Drei Punktanordnungen mit je 18 Punkten: eine Reihe zu 18, zwei zu 9, drei zu 6.

So geht es am Beispiel

Finde alle positiven Teiler von 18.

Erstes Paar: $\mathsf{1\cdot18=18}$

Zweites Paar: $\mathsf{2\cdot9=18}$

Drittes Paar: $\mathsf{3\cdot6=18}$

Vier passt nicht, denn $\mathsf{18=4\cdot4+2}$

Ab fünf liegt der Partner unter fünf; damit ist kein neues Paar mit beiden Faktoren mindestens fünf möglich.

So geht es am Beispiel

Finde alle positiven Teiler von 25.

Das äußere Paar lautet $\mathsf{1\cdot25=25}$

2, 3 und 4 teilen 25 nicht ohne Rest.

Das mittlere Paar lautet $\mathsf{5\cdot5=25}$

Die 5 wird in der Menge nur einmal notiert.

Erklärung 02

Vielfache und die Null

Multipliziere eine positive Ausgangszahl mit 0, 1, 2, 3 und so weiter. So entsteht ihre Vielfachenmenge. Sie ist unendlich. Die Null ist in unserer Konvention ein Vielfaches jeder positiven Zahl. Die Ausgangszahl selbst ist immer ihr erstes positives Vielfaches.

Wähle die Ausgangszahl.
Multipliziere nacheinander mit den verlangten Faktoren.
Unterscheide alle nichtnegativen und nur positive Vielfache.

Teiler einer positiven Zahl sind endlich viele; positive Vielfache gibt es unendlich viele.

Zahlenleiste 0, 6, 12, 18, 24 mit vier gleich langen Sechsersprüngen.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Vielfachen von 6 bis einschließlich 24, mit null beginnend.

Faktor null: $\mathsf{6\cdot0=0}$

Faktor eins: $\mathsf{6\cdot1=6}$

Faktor zwei: $\mathsf{6\cdot2=12}$

Faktor drei: $\mathsf{6\cdot3=18}$

Faktor vier: $\mathsf{6\cdot4=24}$

Erklärung 03

Gemeinsame Elemente

Ein gemeinsamer Teiler teilt beide Zahlen. Ein gemeinsames Vielfaches gehört zu beiden Vielfachenmengen. Weiterlernen: ggT sucht den größten gemeinsamen positiven Teiler, kgV das kleinste gemeinsame positive Vielfache. Die vollständigen Verfahren stehen in den eigenen Themen. Teilbarkeitsregeln helfen beim schnellen Prüfen.

Schreibe die beiden Mengen oder begrenzten Listen getrennt auf.
Vergleiche die Einträge und übernimm nur gemeinsame Elemente.

Eine begrenzte Vielfachenliste enthält nicht alle gemeinsamen Vielfachen.

Vergleich begrenzter Vielfachenlisten von 6 und 8, gemeinsamer Wert 24.

So geht es am Beispiel

Vergleiche 6 und 8: gemeinsame Teiler und gemeinsame positive Vielfache bis 30.

Teiler von 6: $\mathsf{T(6)=\{1,2,3,6\}}$

Teiler von 8: $\mathsf{T(8)=\{1,2,4,8\}}$

In beiden Teilermengen stehen 1 und 2.

Positive Vielfache von 6 bis 30 sind 6, 12, 18, 24, 30.

Positive Vielfache von 8 bis 30 sind 8, 16, 24.

Erklärung 04

Nachschlagen und selbst fortsetzen

Die Übersicht zeigt für jede Ausgangszahl von 1 bis 20 die ersten drei positiven Vielfachen. Danach kannst du immer die Ausgangszahl addieren. Häufige Teilermengen findest du daneben als Vergleich. Prüfe bei einer Teilermenge sowohl die Teilbarkeit als auch die Vollständigkeit.

Ausgangszahlen 1 bis 10: erste drei positive Vielfache.

Ausgangszahl	1. Vielfaches	2. Vielfaches	3. Vielfaches
1	1	2	3
2	2	4	6
3	3	6	9
4	4	8	12
5	5	10	15
6	6	12	18
7	7	14	21
8	8	16	24
9	9	18	27
10	10	20	30

Ausgangszahlen 11 bis 20: erste drei positive Vielfache.

Ausgangszahl	1. Vielfaches	2. Vielfaches	3. Vielfaches
11	11	22	33
12	12	24	36
13	13	26	39
14	14	28	42
15	15	30	45
16	16	32	48
17	17	34	51
18	18	36	54
19	19	38	57
20	20	40	60

Zahl	Positive Teiler
12	1, 2, 3, 4, 6, 12
18	1, 2, 3, 6, 9, 18
24	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
30	1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Eine Vielfachenliste wächst um die Ausgangszahl.
Eine Teilermenge wird mit Faktorpaaren kontrolliert.

Eine kurze Liste von Vielfachen endet als Darstellung, nicht als Zahlenfolge.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Teiler und Vielfache · BasisIst 4 ein Teiler von 28? Gib eine passende Multiplikation an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Multiplikation
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Suche den zweiten Faktor: $\mathsf{4\cdot7=28}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Multiplikation $\mathsf{4\cdot7=28}$
2. UrteilJa, 4 ist ein Teiler von 28.
02
Aufgabe 2Teiler und Vielfache · BasisIst 5 ein Teiler von 32? Begründe mit einer Division mit Rest.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Division mit Rest
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Sechs Fünfer ergeben $\mathsf{5\cdot6=30}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der Rest beträgt $\mathsf{32-30=2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Damit gilt $\mathsf{32=5\cdot6+2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Division mit Rest $\mathsf{32=5\cdot6+2}$
2. UrteilNein
03
Aufgabe 3Teiler und Vielfache · BasisNenne alle positiven Teiler von 20. Notiere zuerst die Faktorpaare.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktorpaare
Teilermenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Äußeres Paar: $\mathsf{1\cdot20=20}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nächstes Paar: $\mathsf{2\cdot10=20}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  3 teilt 20 nicht ohne Rest.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Weiteres Paar: $\mathsf{4\cdot5=20}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Danach würden sich die Paare nur umkehren.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktorpaare1 und 20; 2 und 10; 4 und 5
2. Teilermenge $\mathsf{\{1,2,4,5,10,20\}}$
04
Aufgabe 4Teiler und Vielfache · BasisNenne die ersten fünf positiven Vielfachen von 7.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fünf Vielfache
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erstes: $\mathsf{7\cdot1=7}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweites: $\mathsf{7\cdot2=14}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Drittes: $\mathsf{7\cdot3=21}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Viertes: $\mathsf{7\cdot4=28}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Fünftes: $\mathsf{7\cdot5=35}$
Ergebnis
1. Fünf Vielfache7, 14, 21, 28, 35
05
Aufgabe 5Teiler und Vielfache · AufbauBestimme alle positiven Teiler von 36. Achte auf doppelte Einträge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Teilermenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Paar: $\mathsf{1\cdot36=36}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Paar: $\mathsf{2\cdot18=36}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Paar: $\mathsf{3\cdot12=36}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Paar: $\mathsf{4\cdot9=36}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  5 teilt 36 nicht.
6. Schritt 6 · Erklärung
  Mittleres Paar: $\mathsf{6\cdot6=36}$
7. Schritt 7 · Erklärung
  Die 6 erscheint in der Menge nur einmal.
Ergebnis
1. Teilermenge $\mathsf{\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}}$
06
Aufgabe 6Teiler und Vielfache · AufbauFinde alle gemeinsamen positiven Teiler von 12 und 18.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gemeinsame Teiler
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste Menge: $\mathsf{T(12)=\{1,2,3,4,6,12\}}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweite Menge: $\mathsf{T(18)=\{1,2,3,6,9,18\}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Vergleiche beide Listen.
Ergebnis
1. Gemeinsame Teiler1, 2, 3, 6
07
Aufgabe 7Teiler und Vielfache · AufbauFinde die gemeinsamen positiven Vielfachen von 4 und 6 bis einschließlich 30.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gemeinsame Vielfache
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, 30.
3. Schritt 3 · Erklärung
  In beiden Listen stehen 12 und 24.
Ergebnis
1. Gemeinsame Vielfache12 und 24
08
Aufgabe 8Teiler und Vielfache · TransferMila sagt: „Null ist kein Vielfaches von 9, denn man darf nicht durch null teilen.“ Korrigiere die Begründung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Korrektur
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ein Vielfaches wird durch Multiplikation gebildet: $\mathsf{9\cdot0=0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Dabei wird nicht durch null geteilt.
Ergebnis
1. KorrekturNull ist ein Vielfaches von 9, weil 9 mal 0 gleich 0 ist. Das hat nichts mit einer Division durch null zu tun.
09
Aufgabe 9Teiler und Vielfache · Transfer24 Karten sollen restlos auf gleich große Gruppen verteilt werden. Erlaubt sind 3, 5 oder 8 Karten je Gruppe. Prüfe jede Möglichkeit und nenne gegebenenfalls die Zahl der Gruppen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
3 Karten: restlos möglich?
3 Karten: Anzahl der Gruppen
5 Karten: restlos möglich?
8 Karten: restlos möglich?
8 Karten: Anzahl der Gruppen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei drei Karten: $\mathsf{24:3=8}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei fünf Karten: $\mathsf{24=5\cdot4+4}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei acht Karten: $\mathsf{24:8=3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. 3 Karten: restlos möglich?Ja
2. 3 Karten: Anzahl der Gruppen8
3. 5 Karten: restlos möglich?Nein
4. 8 Karten: restlos möglich?Ja
5. 8 Karten: Anzahl der Gruppen3

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich finde vollständige positive Teilermengen.
Ich unterscheide Teiler von Vielfachen.
Ich beachte, ob null oder nur positive Vielfache gemeint sind.

AT Academy · Version 2026-10-21

Ausgangszahl	1. Vielfaches	2. Vielfaches	3. Vielfaches
11	11	22	33
12	12	24	36
13	13	26	39
14	14	28	42
15	15	30	45
16	16	32	48
17	17	34	51
18	18	36	54
19	19	38	57
20	20	40	60

Ausgangszahl	1. Vielfaches	2. Vielfaches	3. Vielfaches
11	11	22	33
12	12	24	36
13	13	26	39
14	14	28	42
15	15	30	45
16	16	32	48
17	17	34	51
18	18	36	54
19	19	38	57
20	20	40	60

Ausgangszahl	1. Vielfaches	2. Vielfaches	3. Vielfaches
11	11	22	33
12	12	24	36
13	13	26	39
14	14	28	42
15	15	30	45
16	16	32	48
17	17	34	51
18	18	36	54
19	19	38	57
20	20	40	60