Teilbarkeit · Erklären & üben

Quersumme

Die Quersumme entsteht, wenn du die Ziffern einer nichtnegativen ganzen Zahl addierst. Ihre Stellenwerte zählen dabei nicht mit. Die Quersumme hilft besonders bei der Teilbarkeit durch 3 und 9.

Lernziele: Ziffernsummen sicher berechnen, Teilbarkeitsregeln passend anwenden und die alternierende Quersumme von der gewöhnlichen unterscheiden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ziffer für Ziffer addieren

Notiere jede Ziffer genau einmal, auch wenn sie mehrfach vorkommt. Eine Null erhöht die Summe nicht. Die gewöhnliche Quersumme ist ein einziges Addieren aller Ziffern; wiederholtes Quersummenbilden ist eine zusätzliche Handlung.

Schreibe die Ziffern in ihrer Reihenfolge auf.
Addiere sie.
Kontrolliere, dass keine Ziffer fehlt.

Die Quersumme addiert Ziffern, nicht Stellenwerte.

Vier Zifferkarten 3, 0, 8, 6 mit ihrer Summe 17.

So geht es am Beispiel

Berechne die Quersumme von 57.

Addiere die beiden Ziffern: $\mathsf{Q(57)=5+7=12}$

So geht es am Beispiel

Berechne die Quersumme von 204.

Addiere die drei Ziffern einschließlich der Null: $\mathsf{Q(204)=2+0+4=6}$

So geht es am Beispiel

Berechne die Quersumme von 3086.

Zuerst die ersten beiden Ziffern: $\mathsf{3+0=3}$

Die nächste Ziffer dazu: $\mathsf{3+8=11}$

Die letzte Ziffer dazu: $\mathsf{11+6=17}$

Erklärung 02

Teilbarkeit durch 3, 9 und 6

Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Entsprechend gilt die Regel für 9. Für 6 reicht die Quersumme allein nicht: Die Zahl muss durch 3 teilbar und zusätzlich gerade sein. Die Ziffernregel funktioniert, weil jede Zehnerpotenz beim Teilen durch 3 oder 9 denselben Rest wie 1 hat.

Berechne die Quersumme.
Prüfe sie auf Teilbarkeit durch 3 oder 9.
Für 6 prüfe zusätzlich die letzte Ziffer auf Geradheit.

Durch 6 teilbar bedeutet: durch 2 und durch 3 teilbar.

Zwei gleichzeitig notwendige Bedingungen für 378: gerade Endziffer und durch 3 teilbare Quersumme.

So geht es am Beispiel

Prüfe 378 auf Teilbarkeit durch 3, 9 und 6.

Die Quersumme ist $\mathsf{3+7+8=18}$

Für 3 gilt $\mathsf{18:3=6}$

Für 9 gilt $\mathsf{18:9=2}$

Die letzte Ziffer 8 ist gerade; zusammen mit dem 3-Test folgt Teilbarkeit durch 6.

So geht es am Beispiel

Warum ist 45 trotz Quersumme 9 nicht durch 6 teilbar?

Die Quersumme lautet $\mathsf{4+5=9}$

Sie ist durch 3 teilbar, aber die Endziffer 5 ist ungerade.

Erklärung 03

Vertiefung: abwechselnde Vorzeichen für 11

Für die alternierende Quersumme beginnen wir rechts bei der Einerziffer mit Plus. Nach links wechseln Minus und Plus. Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn das Ergebnis ein ganzzahliges Vielfaches von 11 ist. Dazu zählen 0 und negative Vielfache. Wer stattdessen links beginnt, erhält eventuell das entgegengesetzte Vorzeichen; das Teilbarkeitsurteil bleibt gleich.

Beginne ganz rechts mit Plus.
Wechsle bei jeder weiteren Ziffer das Vorzeichen.
Prüfe, ob das Ergebnis 0 oder ein positives beziehungsweise negatives Vielfaches von 11 ist.

Die gewöhnliche Quersumme prüft 3 und 9; die alternierende prüft 11.

Ziffern 2728 mit Vorzeichen von links minus, plus, minus, plus; Leserichtung der Rechnung von rechts.

So geht es am Beispiel

Prüfe 2728 mit der alternierenden Quersumme.

Von rechts beginnen: $\mathsf{8-2=6}$

Die nächste Ziffer erhält Plus: $\mathsf{6+7=13}$

Die letzte Ziffer erhält Minus: $\mathsf{13-2=11}$

11 ist ein Vielfaches von 11.

So geht es am Beispiel

Prüfe 121.

Von rechts: $\mathsf{1-2=-1}$

Die nächste Ziffer addieren: $\mathsf{-1+1=0}$

Null ist ein Vielfaches von 11, denn $\mathsf{11\cdot0=0}$

Erklärung 04

Grenzen des Verfahrens

Eine kleine Quersumme bedeutet nicht automatisch eine kleine Ausgangszahl. Die Quersumme allein erkennt auch nicht jede Primzahl. Weiterlernen: Primzahlen untersucht Zahlen mit genau zwei positiven Teilern.

Frage zuerst, für welchen Teiler die Regel gilt.
Prüfe eine Vermutung mit einem Gegenbeispiel.

Eine passende Regel beantwortet eine bestimmte Frage, nicht jede Frage über die Zahl.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Quersumme · BasisBerechne die Quersumme von 68.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quersumme
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Addiere die Ziffern: $\mathsf{6+8=14}$
Ergebnis
1. Quersumme14
02
Aufgabe 2Quersumme · BasisBerechne die Quersumme von 507.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quersumme
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Null zählt mit, erhöht aber nicht: $\mathsf{5+0+7=12}$
Ergebnis
1. Quersumme12
03
Aufgabe 3Quersumme · BasisBerechne die Quersumme von 4098.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quersumme
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste beiden Ziffern: $\mathsf{4+0=4}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nächste Ziffer: $\mathsf{4+9=13}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Letzte Ziffer: $\mathsf{13+8=21}$
Ergebnis
1. Quersumme21
04
Aufgabe 4Quersumme · BasisPrüfe 714 auf Teilbarkeit durch 3 und durch 9. Nenne die Quersumme und beide Urteile.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quersumme
Durch 3
Durch 9
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Quersumme: $\mathsf{7+1+4=12}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  12 ist durch 3 teilbar: $\mathsf{12:3=4}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  12 ist nicht durch 9 teilbar.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quersumme12
2. Durch 3Ja
3. Durch 9Nein
05
Aufgabe 5Quersumme · AufbauPrüfe 513 und 516 auf Teilbarkeit durch 6. Begründe beide Antworten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
513: Urteil
513: Begründung
516: Urteil
516: Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Für 513 ist die Quersumme $\mathsf{5+1+3=9}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  513 ist aber ungerade und daher nicht durch 6 teilbar.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für 516 ist die Quersumme $\mathsf{5+1+6=12}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  516 ist gerade und die Quersumme durch 3 teilbar.
Ergebnisse & Teilantworten
1. 513: UrteilNein
2. 513: BegründungDurch 3 teilbar, aber ungerade.
3. 516: UrteilJa
4. 516: BegründungGerade und durch 3 teilbar.
06
Aufgabe 6Quersumme · AufbauErsetze das Kästchen in 4□2 durch eine Ziffer, sodass die Zahl durch 9 teilbar ist. Gib die Ziffer und die entstandene Zahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ziffer
Zahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die festen Ziffern ergeben $\mathsf{4+2=6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Quersumme kann zwischen 6 und 15 liegen; darin ist nur 9 ein Vielfaches von 9.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Fehlende Ziffer: $\mathsf{9-6=3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ziffer3
2. Zahl432
07
Aufgabe 7Quersumme · VertiefungPrüfe 352 mit der alternierenden Quersumme auf Teilbarkeit durch 11. Beginne rechts mit Plus.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Alternierende Quersumme
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste beiden Ziffern von rechts: $\mathsf{2-5=-3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Dritte Ziffer dazu: $\mathsf{-3+3=0}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Null ist ein Vielfaches von 11.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Alternierende Quersumme0
2. Urteil352 ist durch 11 teilbar.
08
Aufgabe 8Quersumme · VertiefungBerechne die alternierende Quersumme von 2090 von rechts mit Plus. Ist die Zahl durch 11 teilbar?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Alternierende Quersumme
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Von rechts: $\mathsf{0-9=-9}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nächste Ziffer addieren: $\mathsf{-9+0=-9}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Letzte Ziffer abziehen: $\mathsf{-9-2=-11}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Auch −11 ist ein ganzzahliges Vielfaches von 11.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Alternierende Quersumme−11
2. UrteilJa, 2090 ist durch 11 teilbar.
09
Aufgabe 9Quersumme · TransferNora behauptet: „Gleiche Quersumme bedeutet gleiche Zahl.“ Widerlege das mit 24 und 42.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Quersumme von 24
Quersumme von 42
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Für 24 gilt $\mathsf{2+4=6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Für 42 gilt $\mathsf{4+2=6}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  24 und 42 sind trotzdem verschiedene Zahlen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Quersumme von 246
2. Quersumme von 426
3. BegründungDie Quersumme ist bei beiden 6, aber die Stellenwerte und die Zahlenwerte sind verschieden.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich addiere Ziffern vollständig.
Ich prüfe bei Teilbarkeit durch 6 zusätzlich die Geradheit.
Ich unterscheide gewöhnliche und alternierende Quersumme.

AT Academy · Version 2026-10-21