Terme · Erklären & üben

Terme vereinfachen

Beim Vereinfachen wandelst du einen Term in einen gleichwertigen, übersichtlicheren Ausdruck um. Rechengesetze begründen dabei jeden Schritt; vorhandene Definitionsbedingungen bleiben erhalten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Wertgleich umformen

Ein vereinfachter Term soll für alle erlaubten Werte denselben Wert wie der Ausgangsterm haben. Ein sinnvoller Weg ist: Klammern bearbeiten, Produkte oder Quotienten vereinfachen und dann gleichartige Summanden zusammenfassen. Das ist eine Arbeitsstrategie; du darfst Rechengesetze auch in anderer sinnvoller Reihenfolge anwenden.

Notiere vorhandene Definitionsbedingungen.
Nutze passende Rechengesetze.
Fasse nur gleichartige Summanden zusammen.

Vereinfachen verändert die Darstellung, nicht den Wert auf der ursprünglichen Definitionsmenge.

Erklärung 02

Klammern vollständig auflösen

Vor einer Klammer wird ein Faktor mit jedem Summanden multipliziert. Ein Minus vor einer Klammer entspricht dem Faktor minus 1 und verändert beim Auflösen alle Vorzeichen in der Klammer. Plus vor einer Klammer verändert die Vorzeichen nicht.

Bestimme den Faktor vor der Klammer.
Multipliziere jeden Summanden mit ihm.
Fasse danach passende Summanden zusammen.

$\mathsf{a(b+c)=ab+ac}$

Der Faktor 3 wird auf beide Summanden x und 2 verteilt. Es entstehen 3x und 3 mal 2.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{3(x+2)-2x}$ .

Die Klammer wird verteilt: $\mathsf{3(x+2)-2x=3x+3\cdot2-2x}$

Das Zahlenprodukt ist $\mathsf{3\cdot2=6}$

Gleichartige Summanden zusammenstellen: $\mathsf{3x+6-2x=(3-2)x+6}$

Die Koeffizienten ergeben $\mathsf{3-2=1}$

Damit lautet der Term $\mathsf{x+6}$

Erklärung 03

Summen und Produkte von Potenzen

Bei einer Summe gleichartiger Potenzterme addierst du die Koeffizienten; die Potenz bleibt erhalten. Bei einem Produkt von Potenzen gleicher Basis werden dagegen die Exponenten addiert. Diese beiden Regeln dürfen nicht verwechselt werden. Wir verwenden hier nichtnegative ganzzahlige Exponenten.

Unterscheide Plus oder Minus von Multiplikation.
Bei Summen: Vergleiche die vollständigen Variablenteile.
Bei Produkten: Multipliziere Koeffizienten und addiere passende Exponenten.

Die Rechenart entscheidet, ob Koeffizienten oder Exponenten zusammengefasst werden.

Bei der Summe gleichartiger Quadratterme bleibt x Quadrat erhalten. Beim Produkt x mal x Quadrat entsteht die dritte Potenz von x.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{2x^2+5x^2-x^2}$ .

Die gleichen Variablenteile werden zusammengefasst: $\mathsf{2x^2+5x^2-x^2=(2+5-1)x^2}$

Die ersten Koeffizienten ergeben $\mathsf{2+5=7}$

Danach gilt $\mathsf{7-1=6}$

Der Term lautet $\mathsf{6x^2}$

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{(3x)(2x^2)}$ .

Die Zahlfaktoren ergeben $\mathsf{3\cdot2=6}$

Für die Variablen gilt $\mathsf{x\cdot x^2=x^{1+2}}$

Die Exponenten ergeben $\mathsf{1+2=3}$

Der gesamte Term lautet $\mathsf{6x^3}$

Erklärung 04

Quotienten und gleichartige Summanden

In einem Quotienten darfst du nur gemeinsame Faktoren kürzen. Werte, die den ursprünglichen Nenner null machen, bleiben auch nach dem Kürzen ausgeschlossen. Bei Summen vergleichst du Variablen und Potenzen: Ein a-Term ist nicht gleichartig zu einem b-Term oder einem a²-Term.

Kürze gemeinsame Faktoren in Produkten.
Behalte ursprüngliche Ausschlüsse bei.
Ordne gleichartige Summanden und fasse deren Koeffizienten zusammen.

Ein weggefallener Nenner hebt die ursprüngliche Definitionsbedingung nicht auf.

Der Quotient aus 12x Quadrat und 3x vereinfacht sich zu 4x. Der Wert x gleich null bleibt ausgeschlossen.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\frac{12x^2}{3x}}$ mit seiner ursprünglichen Bedingung.

Der ursprüngliche Nenner verlangt $\mathsf{x\ne0}$

Die Zahlfaktoren ergeben $\mathsf{12:3=4}$

Bei nichtnull x gilt $\mathsf{\frac{x^2}{x}=x}$

Damit folgt $\mathsf{\frac{12x^2}{3x}=4x}$

Die ursprüngliche Bedingung $\mathsf{x\ne0}$ bleibt bestehen

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{7a-2b+3a+5b}$ .

Gleichartige Summanden ordnen: $\mathsf{7a-2b+3a+5b=(7+3)a+(-2+5)b}$

Der Koeffizient von a ist $\mathsf{7+3=10}$

Der Koeffizient von b ist $\mathsf{-2+5=3}$

Erklärung 05

Was eine Einsetzprobe zeigt

Eine Probe kann einen Fehler sichtbar machen: Verschiedene Ergebnisse für einen erlaubten Wert widerlegen die Gleichwertigkeit. Gleiche Ergebnisse bei einem einzelnen Wert beweisen sie jedoch nicht. Dafür brauchst du gültige Rechengesetze.

Weiterlernen: Beim Vereinfachen von Gleichungen kannst du Terme auf beiden Seiten ordnen. Das Lösen einer Gleichung verlangt darüber hinaus zulässige Umformungen der ganzen Gleichung.

Setze denselben erlaubten Wert in beide Terme ein.
Vergleiche die beiden Ergebnisse.
Begründe eine allgemeine Identität weiterhin mit Rechengesetzen.

Eine passende Probe ist eine Kontrolle, kein allgemeiner Beweis.

Die Terme x Quadrat und x stimmen bei null überein. Bei 2 ergeben sie verschiedene Werte: 4 und 2.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{-(x-4)}$ und kontrolliere bei $\mathsf{x=2}$ .

Das Minus wird als Faktor geschrieben: $\mathsf{-(x-4)=(-1)(x-4)}$

Distributiv anwenden: $\mathsf{(-1)(x-4)=(-1)x+(-1)(-4)}$

Das Zahlenprodukt ergibt $\mathsf{(-1)(-4)=4}$

Damit gilt allgemein $\mathsf{-(x-4)=-x+4}$

Für die linke Probe zuerst $\mathsf{2-4=-2}$

Das äußere Minus liefert $\mathsf{-(-2)=2}$

Rechts ergibt sich $\mathsf{-2+4=2}$

Die Probe passt. Die allgemeine Umformung wurde durch das Distributivgesetz begründet.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Terme vereinfachen · BasisVereinfache $\mathsf{4x+3x-2x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Koeffizienten lassen sich bündeln: $\mathsf{4x+3x-2x=(4+3-2)x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zuerst gilt $\mathsf{4+3=7}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Danach gilt $\mathsf{7-2=5}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{5x}$
02
Aufgabe 2Terme vereinfachen · BasisVereinfache $\mathsf{5(a+2)-3a}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Distributiv auflösen: $\mathsf{5(a+2)-3a=5a+5\cdot2-3a}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Produkt ist $\mathsf{5\cdot2=10}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Gleichartige Summanden bündeln: $\mathsf{5a+10-3a=(5-3)a+10}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der Koeffizient ist $\mathsf{5-3=2}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{2a+10}$
03
Aufgabe 3Terme vereinfachen · BasisVereinfache $\mathsf{8-(2x-3)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Minus verändert beide Vorzeichen: $\mathsf{8-(2x-3)=8-2x+3}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Zahlen ergeben $\mathsf{8+3=11}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{11-2x}$
04
Aufgabe 4Terme vereinfachen · ÜbungVereinfache $\mathsf{3x^2+4x^2-2x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Quadratterme sind gleichartig: $\mathsf{3x^2+4x^2-2x=(3+4)x^2-2x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Koeffizienten ergeben $\mathsf{3+4=7}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der lineare Term minus 2x ist nicht gleichartig zu den Quadrattermen.
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{7x^2-2x}$
05
Aufgabe 5Terme vereinfachen · ÜbungVereinfache $\mathsf{(2a^2)(3a)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Zahlfaktoren ergeben $\mathsf{2\cdot3=6}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Variablenfaktoren ergeben $\mathsf{a^2\cdot a=a^{2+1}}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Exponenten ergeben $\mathsf{2+1=3}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{6a^3}$
06
Aufgabe 6Terme vereinfachen · ÜbungVereinfache $\mathsf{\frac{15x^2}{5x}}$ . Nenne auch die Bedingung aus dem ursprünglichen Nenner.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Definitionsbedingung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Nenner verlangt $\mathsf{x\ne0}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Zahlfaktoren ergeben $\mathsf{15:5=3}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für nichtnull x gilt $\mathsf{\frac{x^2}{x}=x}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Die ursprüngliche Einschränkung bleibt nach dem Kürzen bestehen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{3x}$
2. Definitionsbedingung $\mathsf{x\ne0}$
07
Aufgabe 7Terme vereinfachen · TransferVereinfache $\mathsf{6a+2b-4a+5b}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gleichartige Summanden bündeln: $\mathsf{6a+2b-4a+5b=(6-4)a+(2+5)b}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der erste Koeffizient ist $\mathsf{6-4=2}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der zweite Koeffizient ist $\mathsf{2+5=7}$
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{2a+7b}$
08
Aufgabe 8Terme vereinfachen · TransferJemand schreibt $\mathsf{2x^2+3x^2=5x^4}$ . Ist diese Umformung allgemein richtig? Gib den richtigen vereinfachten Term an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtiger Term
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei der Addition werden die Koeffizienten addiert: $\mathsf{2+3=5}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der gemeinsame Variablenteil x² bleibt unverändert. Exponenten addiert man beim Multiplizieren entsprechender Potenzen, nicht beim Addieren.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Richtiger Term $\mathsf{5x^2}$
3. BegründungDie Summanden haben beide den Variablenteil x². Nur ihre Koeffizienten werden addiert.
09
Aufgabe 9Terme vereinfachen · TransferVereinfache $\mathsf{2(x+3)-x}$ . Berechne für $\mathsf{x=-2}$ den ursprünglichen und den vereinfachten Term. Beweist diese eine Probe die allgemeine Gleichwertigkeit? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Ursprünglicher Termwert bei x gleich minus 2
Vereinfachter Termwert bei x gleich minus 2
Beweist eine einzelne Probe die Identität?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Distributiv auflösen: $\mathsf{2(x+3)-x=2x+6-x}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zusammenfassen ergibt $\mathsf{2x+6-x=x+6}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für den ursprünglichen Term zuerst die Klammer: $\mathsf{-2+3=1}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Dann multiplizieren: $\mathsf{2\cdot1=2}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Anschließend subtrahieren: $\mathsf{2-(-2)=4}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Der vereinfachte Term ergibt $\mathsf{-2+6=4}$
7. Schritt 7 · Erklärung
  Die allgemeine Gleichwertigkeit folgt aus den Rechengesetzen, nicht aus dieser einzelnen passenden Probe.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vereinfachter Term $\mathsf{x+6}$
2. Ursprünglicher Termwert bei x gleich minus 24
3. Vereinfachter Termwert bei x gleich minus 24
4. Beweist eine einzelne Probe die Identität?Nein.
5. BegründungEine einzelne Übereinstimmung zeigt nur diesen Wert. Die gültigen Umformungen begründen die Gleichwertigkeit für alle erlaubten Werte.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich löse Klammern mit allen Summanden auf.
Ich unterscheide Summen und Produkte von Potenzen.
Ich behalte Definitionsbedingungen beim Kürzen bei.
Ich kenne die Grenze einer Einsetzprobe.

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