Terme · Erklären & üben

Terme vereinfachen Übungen

Hier übst du verschiedene Wege zum Vereinfachen: gleichartige Summanden, Produkte, Klammern, gemeinsame Faktoren und Brüche.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Gleichartige Summanden und Potenzen

Wir rechnen mit reellen Variablen. Gleichartige Summanden enthalten dieselben Variablen mit denselben Exponenten. Addiere ihre Zahlenfaktoren und behalte den Variablenteil. Bei einem Produkt gleicher Basen werden dagegen die Exponenten addiert. Das sind zwei verschiedene Regeln.

Unterscheide Addition und Multiplikation.
Vergleiche Variablen und Exponenten.
Fasse nur passende Teile zusammen.

$\mathsf{2x^2+3x^2=5x^2}$ , aber $\mathsf{x^2\cdot x^3=x^5}$ .

Nur gleichartige Summanden zusammenfassen. 4a² − 2a² = 2a². Beide Summanden haben den Variablenteil a².. 7a + 3a = 10a. Beide Summanden haben den Variablenteil a.. Ergebnis: 2a² + 10a; die beiden Arten bleiben getrennt.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{4a^2+7a-2a^2+3a}$ .

Die quadratischen Summanden ergeben $\mathsf{4a^2-2a^2=2a^2}$ .

Die linearen Summanden ergeben $\mathsf{7a+3a=10a}$ .

Beide Arten bleiben getrennt: $\mathsf{2a^2+10a}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{3x^2\cdot4x^3}$ .

Die Zahlenfaktoren ergeben $\mathsf{3\cdot4=12}$ .

Die gleichen Basen ergeben $\mathsf{x^2\cdot x^3=x^5}$ .

Verbinde beide Faktoren zu $\mathsf{12x^5}$ .

Erklärung 02

Klammern vollständig auflösen

Verteile einen Faktor auf jeden Summanden in der Klammer. Ein Minus vor einer Klammer ist der Faktor minus eins. Löse die Klammern auf und fasse erst danach gleichartige Summanden zusammen.

Multipliziere jeden Klammerteil.
Führe Vorzeichen ausdrücklich mit.
Sammle gleichartige Summanden.

$\mathsf{a(b+c)=ab+ac}$ und $\mathsf{-(b-c)=-b+c}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{3(2x-5)-(x-4)}$ .

Verteile den Faktor 3: $\mathsf{3(2x-5)=6x-15}$ .

Löse die Minusklammer: $\mathsf{-(x-4)=-x+4}$ .

Setze zusammen: $\mathsf{6x-15-x+4}$ .

Die Variablenterme ergeben $\mathsf{6x-x=5x}$ .

Die Zahlen ergeben $\mathsf{-15+4=-11}$ .

Erklärung 03

Gemeinsame Faktoren ausklammern

Ausklammern ist die umgekehrte Anwendung des Distributivgesetzes. Suche einen Faktor, der in jedem Summanden vorkommt. In der Klammer stehen die übrigen Faktoren. Prüfe durch erneutes Ausmultiplizieren.

Zerlege jeden Summanden als Produkt.
Ziehe den gemeinsamen Faktor vor die Klammer.
Erhalte das Zeichen zwischen den Restfaktoren.

$\mathsf{ab+ac=a(b+c)}$ .

Den gemeinsamen Faktor 6y herausheben. 12y² = 6y · 2y. Nach dem gemeinsamen Faktor bleibt 2y.. 18y = 6y · 3. Nach dem gemeinsamen Faktor bleibt 3.. 12y² − 18y = 6y · (2y − 3)

So geht es am Beispiel

Klammere in $\mathsf{12y^2-18y}$ den Faktor $\mathsf{6y}$ aus.

Zerlege $\mathsf{12y^2=6y\cdot2y}$ .

Zerlege $\mathsf{18y=6y\cdot3}$ .

Klammere aus: $\mathsf{6y(2y-3)}$ .

Die Probe ergibt $\mathsf{6y\cdot2y-6y\cdot3=12y^2-18y}$ .

Erklärung 04

Brüche mit Termen

Bei Brüchen gelten dieselben Rechenregeln wie bei Zahlenbrüchen. Nur gemeinsame Faktoren des gesamten Zählers und Nenners werden gekürzt. Steht eine Variable im Nenner, notiere zuerst die ausgeschlossenen Werte. Diese bleiben auch nach dem Kürzen ausgeschlossen. Das Thema Bruchterme vertieft Definitionsmengen und Hauptnenner.

Bestimme zuerst verbotene Nennerwerte.
Bilde gemeinsame Nenner oder gemeinsame Faktoren.
Erhalte die ursprünglichen Ausschlusswerte.

Kürzen verändert den Wert nur innerhalb der ursprünglichen Definitionsmenge nicht.

x Drittel plus x Sechstel wird zu zwei x Sechstel plus x Sechstel. Drei x Sechstel gekürzt durch drei ergibt x Halbe.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\frac{x}{3}+\frac{x}{6}}$ .

Erweitere den ersten Summanden: $\mathsf{\frac{x}{3}=\frac{2x}{6}}$ .

Addiere $\mathsf{\frac{2x}{6}+\frac{x}{6}=\frac{3x}{6}}$ .

Kürze den gemeinsamen Zahlenfaktor 3: $\mathsf{\frac{3x}{6}=\frac{x}{2}}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{\frac{6x}{9x}}$ und nenne die Definitionsmenge.

Der ursprüngliche Nenner ist nur für $\mathsf{x e0}$ ungleich null.

Zerlege den Zähler: $\mathsf{6x=3x\cdot2}$ .

Zerlege den Nenner: $\mathsf{9x=3x\cdot3}$ .

Kürze den gemeinsamen Faktor $\mathsf{3x}$ : $\mathsf{\frac{6x}{9x}=\frac23}$ .

Der zuvor ausgeschlossene Wert null bleibt ausgeschlossen.

Erklärung 05

Binomische Formen erkennen

Die binomischen Formeln fassen das vollständige Ausmultiplizieren zusammen. Beim Quadrat einer Summe oder Differenz entstehen auch gemischte Teilprodukte. Das Quadrat einer Klammer darf deshalb nicht nur auf die einzelnen Summanden verteilt werden.

Erkenne die passende binomische Form.
Beachte das Vorzeichen des gemischten Terms.
Bei Unsicherheit vollständig ausmultiplizieren.

$\mathsf{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$ , $\mathsf{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$ , $\mathsf{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$ .

Quadrat mit Seitenlänge sieben, jeweils in drei und vier unterteilt. Vier Flächen neun, zwölf, zwölf und sechzehn ergeben neunundvierzig. Beide gemischten Teilflächen sind enthalten.

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{(z+4)^2}$ .

Schreibe $\mathsf{(z+4)(z+4)}$ .

Verteile: $\mathsf{z(z+4)+4(z+4)}$ .

Erstes Produkt: $\mathsf{z^2+4z}$ .

Zweites Produkt: $\mathsf{4z+16}$ .

Fasse zusammen: $\mathsf{z^2+4z+4z+16=z^2+8z+16}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{(t-3)^2}$ .

Schreibe $\mathsf{(t-3)(t-3)}$ .

Verteile: $\mathsf{t(t-3)-3(t-3)}$ .

Erstes Produkt: $\mathsf{t^2-3t}$ .

Zweites verteiltes Produkt: $\mathsf{-3t+9}$ .

Fasse zusammen: $\mathsf{t^2-3t-3t+9=t^2-6t+9}$ .

So geht es am Beispiel

Vereinfache $\mathsf{(u+5)(u-5)}$ .

Verteile: $\mathsf{u(u-5)+5(u-5)}$ .

Erstes Produkt: $\mathsf{u^2-5u}$ .

Zweites Produkt: $\mathsf{5u-25}$ .

Die gemischten Terme heben sich auf: $\mathsf{-5u+5u=0}$ .

Erklärung 06

Gemischte Übungen und Einsetzprobe

Wähle bei jedem Term die passende Reihenfolge der Umformungen. Eine Einsetzprobe kann einen Fehler widerlegen, beweist aber keine Gleichheit für alle Werte. Eine allgemeine Gleichheit begründest du mit gültigen Rechengesetzen. Terme aufstellen erklärt zuvor, wie ein passender Ausdruck aus einer sprachlichen Beziehung entsteht.

Löse Klammern auf.
Fasse gleichartige Teile zusammen.
Benutze Einsetzproben nur als zusätzliche Fehlerhilfe.

Eine passende Probe an einem Wert ist noch kein allgemeiner Beweis.

So geht es am Beispiel

Jemand behauptet $\mathsf{(x+1)^2=x^2+1}$ . Die Probe mit $\mathsf{x=0}$ passt. Reicht das?

Bei null ergibt die linke Seite $\mathsf{(0+1)^2=1}$ .

Die rechte Seite ist $\mathsf{0^2+1=1}$ .

Bei eins ergibt die linke Seite $\mathsf{(1+1)^2=4}$ .

Die rechte Seite ist $\mathsf{1^2+1=2}$ .

Die verschiedenen Werte bei eins widerlegen die allgemeine Behauptung.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Terme vereinfachen Übungen · 1Vereinfache $\mathsf{5x^2+3x-2x^2+8x}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Quadratische Summanden: $\mathsf{5x^2-2x^2=3x^2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Lineare Summanden: $\mathsf{3x+8x=11x}$ .
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{3x^2+11x}$
02
Aufgabe 2Terme vereinfachen Übungen · 1Vereinfache $\mathsf{2a^3\cdot5a^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zahlenfaktoren: $\mathsf{2\cdot5=10}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Potenzen gleicher Basis: $\mathsf{a^3\cdot a^2=a^5}$ .
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{10a^5}$
03
Aufgabe 3Terme vereinfachen Übungen · 2Vereinfache $\mathsf{4(3x-2)-2(x+5)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste Klammer: $\mathsf{4(3x-2)=12x-8}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweite Klammer mit Vorzeichen: $\mathsf{-2(x+5)=-2x-10}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Variablenterme: $\mathsf{12x-2x=10x}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Zahlen: $\mathsf{-8-10=-18}$ .
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{10x-18}$
04
Aufgabe 4Terme vereinfachen Übungen · 2Klammere in $\mathsf{15b^2+20b}$ den Faktor $\mathsf{5b}$ aus. Notiere die Probe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausgeklammerter Term
Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zerlege $\mathsf{15b^2=5b\cdot3b}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zerlege $\mathsf{20b=5b\cdot4}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Fasse zusammen: $\mathsf{5b(3b+4)}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Prüfe $\mathsf{5b\cdot3b+5b\cdot4=15b^2+20b}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ausgeklammerter Term $\mathsf{5b(3b+4)}$
2. Probe $\mathsf{5b\cdot3b+5b\cdot4=15b^2+20b}$
05
Aufgabe 5Terme vereinfachen Übungen · 2Vereinfache $\mathsf{\frac{2y}{5}+\frac{y}{10}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac{2y}{5}=\frac{4y}{10}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{\frac{4y}{10}+\frac{y}{10}=\frac{5y}{10}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Kürze $\mathsf{\frac{5y}{10}=\frac y2}$ .
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{\frac y2}$
06
Aufgabe 6Terme vereinfachen Übungen · 2Vereinfache $\mathsf{\frac{8t}{12t}}$ . Nenne zuerst den ausgeschlossenen Wert und anschließend die ursprüngliche Definitionsmenge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ausgeschlossener Wert
Vereinfachter Term
Ursprüngliche Definitionsmenge
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Nenner $\mathsf{12t}$ wird bei $\mathsf{t=0}$ null.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zerlege $\mathsf{8t=4t\cdot2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zerlege $\mathsf{12t=4t\cdot3}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Kürze den für $\mathsf{t\ne0}$ zulässigen Faktor $\mathsf{4t}$ : $\mathsf{\frac{8t}{12t}=\frac23}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Der Ausschluss bleibt bestehen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ausgeschlossener Wert $\mathsf{t=0}$
2. Vereinfachter Term $\mathsf{\frac23}$
3. Ursprüngliche Definitionsmenge $\mathsf{D=\mathbb R\setminus\{0\}}$
07
Aufgabe 7Terme vereinfachen Übungen · 3Vereinfache $\mathsf{(x+3)^2}$ und $\mathsf{(x-4)^2}$ jeweils vollständig.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster vereinfachter Term
Zweiter vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste binomische Formel: $\mathsf{(x+3)^2=x^2+2\cdot x\cdot3+3^2}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das ergibt $\mathsf{x^2+6x+9}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweite binomische Formel: $\mathsf{(x-4)^2=x^2-2\cdot x\cdot4+4^2}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Das ergibt $\mathsf{x^2-8x+16}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster vereinfachter Term $\mathsf{x^2+6x+9}$
2. Zweiter vereinfachter Term $\mathsf{x^2-8x+16}$
08
Aufgabe 8Terme vereinfachen Übungen · 3Vereinfache $\mathsf{(q+6)(q-6)+2q^2}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vereinfachter Term
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die dritte binomische Formel ergibt $\mathsf{(q+6)(q-6)=q^2-36}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Fasse die quadratischen Summanden zusammen: $\mathsf{q^2+2q^2=3q^2}$ .
Ergebnis
1. Vereinfachter Term $\mathsf{3q^2-36}$
09
Aufgabe 9Terme vereinfachen Übungen · 3Für $\mathsf{(x+2)^2=x^2+4}$ stimmt die Probe mit $\mathsf{x=0}$ . Berechne beide Seiten für $\mathsf{x=1}$ . Ist die Behauptung allgemein richtig? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Linker Wert bei eins
Rechter Wert bei eins
Allgemein richtig?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Links bei eins: $\mathsf{(1+2)^2=9}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rechts bei eins: $\mathsf{1^2+4=5}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die verschiedenen Werte bilden ein Gegenbeispiel.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Linker Wert bei eins9
2. Rechter Wert bei eins5
3. Allgemein richtig?Nein
4. BegründungEine passende Probe bei null genügt nicht. Bei eins liefern die Terme verschiedene Werte.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Summen und Produkte von Potenzen.
Ich löse jede Klammer vollständig auf.
Ich kürze nur Faktoren und behalte Ausschlusswerte.
Ich kann eine falsche Behauptung mit einem Gegenbeispiel widerlegen.

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