Pyramiden · Erklären & üben

Tetraeder - Volumen und Oberfläche

Ein Tetraeder ist eine dreiseitige Pyramide mit vier Dreiecksflächen. Die folgenden Spezialformeln gelten für das regelmäßige Tetraeder: Alle sechs Kanten haben dieselbe Länge a.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Regelmäßig oder allgemein?

Jedes Tetraeder besitzt vier Flächen, sechs Kanten und vier Ecken. Beim regelmäßigen Tetraeder sind die Flächen kongruente gleichseitige Dreiecke. Bei einem allgemeinen Tetraeder sind die Kanten nicht zwingend gleich lang; dann reichen die hier angegebenen Formeln mit nur einer Kantenlänge nicht aus.

Prüfe die Voraussetzung gleicher Kanten.

$\mathsf{O=\sqrt3\,a^2,\quad V=\frac{\sqrt2}{12}a^3}$ für das regelmäßige Tetraeder.

Schrägbild eines regelmäßigen Tetraeders mit Grunddreieck ABC, Spitze S und senkrechter Höhe SO.

Gültiges Tetraedernetz aus einem mittleren gleichseitigen Dreieck und drei angrenzenden kongruenten Dreiecken.

Erklärung 02

Oberfläche und Volumen berechnen

Die Oberfläche wächst mit a², das Volumen mit a³. Lass Wurzeln zunächst exakt stehen und runde erst bei Bedarf am Ende.

a in einer einheitlichen Längeneinheit einsetzen.

O erhält eine Quadrat-, V eine Kubikeinheit.

So geht es am Beispiel

Ein regelmäßiges Tetraeder hat Kantenlänge 6cm. Berechne O und V exakt.

\mathsf{O=\sqrt3\cdot6^2=36\sqrt3\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{V=\frac{\sqrt2}{12}\cdot6^3=18\sqrt2\,\mathsf{cm}^3}

Erklärung 03

Die Formeln mit Pythagoras herleiten

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist $\mathsf{t=\frac{\sqrt3}{2}a}$ . Deshalb hat eine Dreiecksfläche den Inhalt $\mathsf{G=\frac{\sqrt3}{4}a^2}$ . Vier gleiche Flächen ergeben die Oberfläche. Der Schwerpunkt O des Grunddreiecks teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1. Sein Abstand zu einer Grundecke ist daher $\mathsf{\frac23t=a/\sqrt3}$ . Die Körperhöhe und dieser Abstand bilden mit einer Seitenkante a ein rechtwinkliges Dreieck.

Zuerst Dreieckshöhe und Grundfläche bestimmen.
Dann die senkrechte Körperhöhe berechnen.
Zum Schluss V = Gh/3 einsetzen.

$\mathsf{h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt6}{3}a}$

So geht es am Beispiel

Leite die Volumenformel aus G und h her.

\mathsf{V=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{4}a^2\cdot\frac{\sqrt6}{3}a}

\mathsf{V=\frac{\sqrt{18}}{36}a^3=\frac{\sqrt2}{12}a^3}

Erklärung 04

Allgemeines Tetraeder als Pyramide

Für ein allgemeines Tetraeder gilt weiterhin $\mathsf{V=\frac13Gh}$ , sofern G und die dazu senkrechte Körperhöhe bekannt sind. Die Oberfläche ist die Summe seiner vier möglicherweise verschiedenen Dreiecksflächen.

Weiterlernen: Volumen Pyramide und allgemeine Dreiecksflächen.

Die regelmäßige Form ist ein Sonderfall, keine Definition aller Tetraeder.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Tetraeder - Volumen und Oberfläche · AnwendenWie viele Dreiecksflächen besitzt ein Tetraeder?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächenzahl
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Eine dreieckige Grundfläche und drei seitliche Dreiecke.
Ergebnis
1. Flächenzahl4
02
Aufgabe 2Tetraeder - Volumen und Oberfläche · AnwendenRegelmäßiges Tetraeder: a = 4 cm. Berechne O exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Oberfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{O=\sqrt3\cdot4^2=16\sqrt3\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnis
1. Oberfläche $\mathsf{16\sqrt3\,\mathsf{cm}^2}$
03
Aufgabe 3Tetraeder - Volumen und Oberfläche · AnwendenRegelmäßiges Tetraeder: a = 4 cm. Berechne V exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=\frac{\sqrt2}{12}\cdot64=\frac{16\sqrt2}{3}\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen $\mathsf{\frac{16\sqrt2}{3}\,\mathsf{cm}^3}$
04
Aufgabe 4Tetraeder - Volumen und Oberfläche · AnwendenRegelmäßiges Tetraeder: a = 3 cm. Berechne die Körperhöhe exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Körperhöhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{h=\frac{\sqrt6}{3}\cdot3=\sqrt6\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Körperhöhe $\mathsf{\sqrt6\,\mathsf{cm}}$
05
Aufgabe 5Tetraeder - Volumen und Oberfläche · AnwendenErgänze unter dem mittleren Dreieck G ein weiteres kongruentes gleichseitiges Dreieck. Die Vorlage ist skaliert; übernimm ihre Kantenlänge.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vollständiges Netz
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Vollständiges Netz
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Nutze die untere Kante von G als gemeinsame Seite.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Konstruiere auf der freien Seite mit gleicher Zirkelöffnung die dritte Ecke.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Verbinde sie mit den beiden Endpunkten der gemeinsamen Kante.
Ergebnis
1. Vollständiges NetzEin viertes kongruentes gleichseitiges Dreieck schließt sich unter G an.
06
Aufgabe 6Tetraeder - Volumen und Oberfläche · AnwendenEin Tetraeder hat verschieden lange Kanten. Eine davon misst 5cm. Darfst du allein daraus $\mathsf{V=\sqrt2\cdot5^3/12}$ berechnen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Spezialformel setzt sechs gleich lange Kanten voraus.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Eine einzelne Kantenlänge bestimmt ein allgemeines Tetraeder nicht.
Ergebnis
1. EntscheidungNein. Es fehlen die Regelmäßigkeit und ausreichende weitere Maße.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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