Pyramiden · Erklären & üben

Pyramidenstumpf

Ein Pyramidenstumpf entsteht, wenn du eine Pyramide durch eine zur Grundfläche parallele Ebene abschneidest und die Spitze entfernst. Die beiden Grundflächen sind parallel und ähnlich.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Was wird abgeschnitten?

Die Schnittfläche muss parallel zur ursprünglichen Grundfläche sein. Dann ist die abgeschnittene Spitze eine kleinere, ähnliche Pyramide. Die Mantelflächen des Stumpfs sind Trapeze. h ist der senkrechte Abstand der beiden Grundebenen; eine schräge Kante ist nicht h.

Prüfe den parallelen Schnitt und ähnliche Grundflächen.

Eine beliebig schräg abgeschnittene Pyramide erfüllt diese Voraussetzungen nicht.

Quadratischer Pyramidenstumpf mit unterer Grundkante a, oberer Kante b und senkrechter Höhe h.

Erklärung 02

Die Volumenformel

Für den parallelen Pyramidenstumpf heißen die Flächeninhalte unten G₁ und oben G₂. Das geometrische Mittel der beiden Flächen steht als Wurzelterm in der Formel. Dabei wird die größere Grundfläche nicht einfach mit der kleineren gemittelt.

G₁ und G₂ in derselben Flächeneinheit berechnen.
Die Wurzel aus G₁G₂ hat wieder eine Flächeneinheit.

$\mathsf{V=\frac h3\left(G_1+G_2+\sqrt{G_1G_2}\right)}$

So geht es am Beispiel

Quadratischer Stumpf: untere Kante 8cm, obere Kante 4cm, senkrechte Höhe 6cm.

\mathsf{G_1=64\,\mathsf{cm}^2,\quad G_2=16\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{\sqrt{G_1G_2}=\sqrt{64\cdot16}=32\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{V=\frac63(64+16+32)=224\,\mathsf{cm}^3}

Erklärung 03

Große Pyramide minus kleine Pyramide

Die Ähnlichkeit liefert einen zweiten Rechenweg. Im Beispiel ist das Verhältnis der Grundkanten ein Halb; daher ist auch die abgeschnittene Pyramidenhöhe halb so groß wie die ursprüngliche Höhe. Zusammen mit der Stumpfhöhe findest du beide Höhen. Bei einem regelmäßigen quadratischen Stumpf lassen sich auch die Seitenflächen als Trapeze berechnen.

Volumen: große Pyramide minus abgeschnittene Spitze.
Für Oberfläche zählt neben dem Mantel jede der beiden Grundflächen.

Die senkrechte Stumpfhöhe und die Trapezhöhe des Mantels sind verschieden.

Erklärender Mittelschnitt mit paralleler Schnittlinie, voller Höhe H, abgeschnittener Höhe H 0 und Stumpfhöhe h.

So geht es am Beispiel

Berechne das Volumen des Stumpfs 8cm/4cm/6cm durch Subtraktion.

\mathsf{H_0=\frac12H,\quad H-H_0=6\,\mathsf{cm}}

\mathsf{H=12\,\mathsf{cm},\quad H_0=6\,\mathsf{cm}}

\mathsf{V=\frac13\cdot64\cdot12-\frac13\cdot16\cdot6=256-32=224\,\mathsf{cm}^3}

So geht es am Beispiel

Derselbe Stumpf ist regelmäßig und quadratisch. Berechne seine gesamte Oberfläche.

\mathsf{s=\sqrt{6^2+((8-4)/2)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\,\mathsf{cm}}

\mathsf{M=4\cdot\frac{8+4}{2}\cdot2\sqrt{10}=48\sqrt{10}\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{O=(64+16+48\sqrt{10})\,\mathsf{cm}^2}

Erklärung 04

Anschluss zum Kegelstumpf

Der Kegelstumpf entsteht durch einen parallelen Schnitt eines Kegels. Seine Grundflächen sind Kreise statt Vielecke. Die analoge Volumenformel verwendet deren Flächeninhalte; seine Mantelfläche wird jedoch anders berechnet.

Weiterlernen: Kegelstumpf im entsprechenden Körperblock.

Die Grundflächenform muss zur gewählten Flächenformel passen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Pyramidenstumpf · AnwendenWelche Lage muss die Schnittebene zur Grundfläche haben, damit die hier verwendete Stumpfformel anwendbar ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Voraussetzung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Ein paralleler Schnitt erzeugt ähnliche Grundflächen.
Ergebnis
1. VoraussetzungDie Schnittebene muss parallel zur Grundfläche liegen.
02
Aufgabe 2Pyramidenstumpf · AnwendenEin quadratischer Pyramidenstumpf hat untere Kante 6cm und obere Kante 2cm. Berechne beide Grundflächen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Untere Grundfläche
Obere Grundfläche
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{G_1=6^2=36\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{G_2=2^2=4\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Untere Grundfläche36 cm²
2. Obere Grundfläche4 cm²
03
Aufgabe 3Pyramidenstumpf · AnwendenQuadratischer Stumpf: untere Kante 6cm, obere Kante 2cm, senkrechte Höhe 3cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\sqrt{G_1G_2}=\sqrt{36\cdot4}=12\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{V=\frac33(36+4+12)=52\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen52 cm³
04
Aufgabe 4Pyramidenstumpf · AnwendenEine große Pyramide hat Volumen 180cm³. Die durch parallelen Schnitt entfernte kleine Pyramide hat in allen Längen den Faktor ein Drittel gegenüber der großen. Bestimme das Stumpfvolumen exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Stumpfvolumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V_{\mathsf{klein}}=180\cdot(1/3)^3=\frac{20}{3}\,\mathsf{cm}^3}$
  $\mathsf{V_{\mathsf{Stumpf}}=180-\frac{20}{3}=\frac{520}{3}\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Stumpfvolumen $\mathsf{\frac{520}{3}\,\mathsf{cm}^3}$
05
Aufgabe 5Pyramidenstumpf · AnwendenO und P liegen auf derselben Senkrechten zu den beiden parallelen Grundebenen. Zeichne in der Vorlage die Stumpfhöhe h ein. Die im Körper liegende Strecke wird gestrichelt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Stumpfhöhe
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Stumpfhöhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verbinde O mit P.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Beschrifte die Strecke als h; eine schräge Mantelkante ist keine Körperhöhe.
Ergebnis
1. StumpfhöheGestrichelte Strecke OP mit Beschriftung h.
06
Aufgabe 6Pyramidenstumpf · AnwendenEine Pyramide wird schräg statt parallel zur Grundfläche abgeschnitten. Darfst du ungeprüft die hier behandelte Stumpfformel einsetzen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Entscheidung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die ähnlichen parallelen Grundflächen sind Voraussetzung der Formel.
Ergebnis
1. EntscheidungNein. Bei einem schrägen Schnitt fehlen im Allgemeinen diese Voraussetzungen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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