Rechenwege · Erklären & üben

Trachtenberg Methode

Du lernst eine Rechenstrategie für die Multiplikation mit elf kennen. Sie ergänzt die üblichen Stellenwertverfahren und lässt sich mit ihnen kontrollieren.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ein Einstieg in ein größeres System

Das Trachtenberg-System umfasst mehrere Rechenverfahren. Hier lernst du nur eine Regel für die Multiplikation nichtnegativer ganzer Zahlen mit elf. Sie ist eine optionale Kopfrechenstrategie; zum Lernen notierst du die Ziffernschritte. Sichere Addition und Stellenwertverständnis bleiben die Grundlage.

Beginne mit der Regel für elf.
Notiere die Ziffernschritte zunächst vollständig.
Kontrolliere mit einer gewöhnlichen Rechnung.

Eine zusätzliche Strategie ersetzt das Stellenwertverständnis nicht.

Erklärung 02

Nachbarziffern von rechts nach links

Schreibe vor die ursprünglichen Ziffern eine Hilfsnull. Denke dir rechts hinter der letzten Ziffer ebenfalls eine Null als Nachbarn. Diese rechte Null ist nur eine Hilfe; du hängst sie nicht als neue Einerstelle an die Zahl an.

Beginne bei der ursprünglichen Einerziffer und arbeite nach links. Addiere jeweils die Ziffer und ihren rechten Nachbarn aus der ursprünglichen Zahl. Rechne einen eingehenden Übertrag dazu. Schreibe die Einerziffer der Summe an die aktuelle Ergebnisstelle und gib die Zehner als Übertrag nach links weiter. Bearbeite auch die führende Hilfsnull. Bleibt danach ein Übertrag, schreibe ihn ganz links dazu.

Ergänze eine führende Hilfsnull und einen gedachten rechten Nachbarn null.
Addiere von rechts nach links die ursprünglichen Nachbarziffern und den eingehenden Übertrag.
Schreibe pro Stelle eine Ergebnisziffer und behalte den neuen Übertrag.
Vergiss den letzten Übertrag nicht.

Die Nachbarziffer stammt aus der ursprünglichen Zahl, nicht aus dem entstehenden Ergebnis.

Die ursprünglichen Ziffern drei und zwei bleiben unverändert. Links steht eine Hilfsnull, rechts ein gedachter Nullnachbar. Die Schritte laufen von der ursprünglichen Einerziffer nach links.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{32\cdot11}$ mit Nachbarziffern.

Einer: $\mathsf{2+0=2}$ . Schreibe 2.

Zehner: $\mathsf{3+2=5}$ . Schreibe 5.

Hunderter: $\mathsf{0+3=3}$ . Schreibe 3.

Das Produkt lautet $\mathsf{32\cdot11=352}$ .

Zur Probe rechne $\mathsf{32\cdot10=320}$ .

Addiere $\mathsf{320+32=352}$ .

Erklärung 03

Überträge und Nullen beachten

Ist eine Ziffernsumme mindestens zehn, gehört ihre Zehnerziffer als Übertrag zur nächsten Stelle links. Auch eine Null im Inneren der Zahl hat einen rechten Nachbarn und wird verarbeitet.

Bei der letzten Hilfsnull kann noch eine Summe von zehn entstehen. Dann erhält die aktuelle Stelle die Ziffer null und eine zusätzliche Stelle links die Ziffer eins.

Notiere eingehende und ausgehende Überträge getrennt.
Überspringe keine ursprüngliche Null.
Prüfe ganz links, ob noch ein Übertrag übrig ist.

Ein Übertrag wird genau einmal an der nächsten Stelle mitgezählt.

Tabelle für neunhundertsiebenundachtzig mal elf. Von rechts ergeben sich die Ziffernsummen sieben, fünfzehn, achtzehn und zehn; ein letzter Übertrag ergänzt die führende eins. Produkt zehntausendachthundertsiebenundfünfzig.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{76\cdot11}$ mit einem Übertrag.

Einer: $\mathsf{6+0=6}$ . Schreibe 6.

Zehner: $\mathsf{7+6=13}$ . Schreibe 3 und übertrage 1.

Hunderter: $\mathsf{0+7+1=8}$ . Schreibe 8.

Das Produkt lautet $\mathsf{76\cdot11=836}$ .

Zur Probe rechne $\mathsf{76\cdot10=760}$ .

Addiere $\mathsf{760+76=836}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{909\cdot11}$ . Beachte die innere Null.

Einer: $\mathsf{9+0=9}$ . Schreibe 9.

Zehner: $\mathsf{0+9=9}$ . Schreibe 9.

Hunderter: $\mathsf{9+0=9}$ . Schreibe 9.

Tausender: $\mathsf{0+9=9}$ . Schreibe 9.

Das Produkt lautet $\mathsf{909\cdot11=9999}$ .

Zur Probe rechne $\mathsf{909\cdot10=9090}$ .

Addiere $\mathsf{9090+909=9999}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{987\cdot11}$ . Beachte auch den letzten Übertrag.

Einer: $\mathsf{7+0=7}$ . Schreibe 7.

Zehner: $\mathsf{8+7=15}$ . Schreibe 5 und übertrage 1.

Hunderter: $\mathsf{9+8+1=18}$ . Schreibe 8 und übertrage 1.

Tausender: $\mathsf{0+9+1=10}$ . Schreibe 0 und übertrage 1.

Der letzte Übertrag bildet eine zusätzliche führende 1.

Das Produkt lautet $\mathsf{987\cdot11=10857}$ .

Zur Probe rechne $\mathsf{987\cdot10=9870}$ .

Addiere $\mathsf{9870+987=10857}$ .

Erklärung 04

Warum die Regel funktioniert

Elf besteht aus zehn und eins. Deshalb gilt $\mathsf{n\cdot11=n\cdot10+n}$ . Beim Addieren der beiden Teilprodukte stehen in jeder Spalte zwei benachbarte ursprüngliche Ziffern. Das erklärt die Nachbarsummen und die Überträge.

Die Probe mit zehnmal der Zahl plus der Zahl funktioniert unabhängig davon, ob du die Nachbarregel schon sicher beherrschst.

Multipliziere die ursprüngliche Zahl mit zehn.
Addiere einmal die ursprüngliche Zahl.
Vergleiche mit dem Ergebnis der Nachbarregel.

$\mathsf{n\cdot11=n\cdot10+n}$

Stellenwertgitter mit den Teilprodukten zweitausendeinhundertvierzig und zweihundertvierzehn; ihre Summe ist zweitausenddreihundertvierundfünfzig.

So geht es am Beispiel

Begründe und prüfe $\mathsf{214\cdot11}$ .

Einer: $\mathsf{4+0=4}$ . Schreibe 4.

Zehner: $\mathsf{1+4=5}$ . Schreibe 5.

Hunderter: $\mathsf{2+1=3}$ . Schreibe 3.

Tausender: $\mathsf{0+2=2}$ . Schreibe 2.

Das Produkt lautet $\mathsf{214\cdot11=2354}$ .

Zur Probe rechne $\mathsf{214\cdot10=2140}$ .

Addiere $\mathsf{2140+214=2354}$ .

Erklärung 05

Herkunft und Grenzen

Das System ist nach Jakow Trachtenberg benannt. Das Vorwort der englischen Buchausgabe von Ann Cutler und Rudolph McShane aus dem Jahr 1960 berichtet, dass er seine Rechenverfahren während nationalsozialistischer Haft entwickelte.

Die hier geübte Elferregel ist ein kleiner Ausschnitt. Für andere Multiplikatoren gelten andere Regeln. Das Thema Kopfrechnen zeigt weitere Möglichkeiten, passende Rechenwege auszuwählen.

Unterscheide die Elferregel vom gesamten System.
Wähle eine Strategie, deren Schritte du erklären und prüfen kannst.

Diese Elferregel wird nicht unverändert auf andere Multiplikatoren übertragen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Trachtenberg Methode · 1Berechne $\mathsf{23\cdot11}$ . Notiere die drei Ziffernsummen von rechts nach links und das Produkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ziffernsumme an der Einerstelle
Ziffernsumme an der Zehnerstelle
Ziffernsumme an der Hunderterstelle
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Einer: $\mathsf{3+0=3}$ . Schreibe 3.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zehner: $\mathsf{2+3=5}$ . Schreibe 5.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Hunderter: $\mathsf{0+2=2}$ . Schreibe 2.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Das Produkt lautet $\mathsf{23\cdot11=253}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Zur Probe rechne $\mathsf{23\cdot10=230}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{230+23=253}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ziffernsumme an der Einerstelle3
2. Ziffernsumme an der Zehnerstelle5
3. Ziffernsumme an der Hunderterstelle2
4. Produkt253
02
Aufgabe 2Trachtenberg Methode · 1Berechne $\mathsf{41\cdot11}$ . Notiere die drei Ziffernsummen von rechts nach links und das Produkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ziffernsumme an der Einerstelle
Ziffernsumme an der Zehnerstelle
Ziffernsumme an der Hunderterstelle
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Einer: $\mathsf{1+0=1}$ . Schreibe 1.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zehner: $\mathsf{4+1=5}$ . Schreibe 5.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Hunderter: $\mathsf{0+4=4}$ . Schreibe 4.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Das Produkt lautet $\mathsf{41\cdot11=451}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Zur Probe rechne $\mathsf{41\cdot10=410}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{410+41=451}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ziffernsumme an der Einerstelle1
2. Ziffernsumme an der Zehnerstelle5
3. Ziffernsumme an der Hunderterstelle4
4. Produkt451
03
Aufgabe 3Trachtenberg Methode · 2Berechne $\mathsf{305\cdot11}$ . Notiere die vier Ziffernsummen von rechts nach links und das Produkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ziffernsumme an der Einerstelle
Ziffernsumme an der Zehnerstelle
Ziffernsumme an der Hunderterstelle
Ziffernsumme an der Tausenderstelle
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Einer: $\mathsf{5+0=5}$ . Schreibe 5.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zehner: $\mathsf{0+5=5}$ . Schreibe 5.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Hunderter: $\mathsf{3+0=3}$ . Schreibe 3.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Tausender: $\mathsf{0+3=3}$ . Schreibe 3.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Das Produkt lautet $\mathsf{305\cdot11=3355}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Zur Probe rechne $\mathsf{305\cdot10=3050}$ .
7. Schritt 7 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{3050+305=3355}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ziffernsumme an der Einerstelle5
2. Ziffernsumme an der Zehnerstelle5
3. Ziffernsumme an der Hunderterstelle3
4. Ziffernsumme an der Tausenderstelle3
5. Produkt3355
04
Aufgabe 4Trachtenberg Methode · 2Fülle für $\mathsf{47\cdot11}$ die Ziffernschritte und Überträge in der Vorlage aus. Gib das Produkt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Einer: $\mathsf{7+0=7}$ . Schreibe 7.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zehner: $\mathsf{4+7=11}$ . Schreibe 1 und übertrage 1.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Hunderter: $\mathsf{0+4+1=5}$ . Schreibe 5.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Das Produkt lautet $\mathsf{47\cdot11=517}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Zur Probe rechne $\mathsf{47\cdot10=470}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{470+47=517}$ .
Ergebnis
1. Produkt517
05
Aufgabe 5Trachtenberg Methode · 2Berechne $\mathsf{68\cdot11}$ . Gib die Ziffernsumme an der Zehnerstelle, die dort geschriebene Ergebnisziffer, den ausgehenden Übertrag und das Produkt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ziffernsumme an der Zehnerstelle
Geschriebene Zehnerziffer
Übertrag zur Hunderterstelle
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Einer: $\mathsf{8+0=8}$ . Schreibe 8.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zehner: $\mathsf{6+8=14}$ . Schreibe 4 und übertrage 1.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Hunderter: $\mathsf{0+6+1=7}$ . Schreibe 7.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Das Produkt lautet $\mathsf{68\cdot11=748}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Zur Probe rechne $\mathsf{68\cdot10=680}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{680+68=748}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ziffernsumme an der Zehnerstelle14
2. Geschriebene Zehnerziffer4
3. Übertrag zur Hunderterstelle1
4. Produkt748
06
Aufgabe 6Trachtenberg Methode · 2Berechne $\mathsf{809\cdot11}$ . Notiere die vier Ziffernsummen von rechts nach links und das Produkt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ziffernsumme an der Einerstelle
Ziffernsumme an der Zehnerstelle
Ziffernsumme an der Hunderterstelle
Ziffernsumme an der Tausenderstelle
Produkt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Einer: $\mathsf{9+0=9}$ . Schreibe 9.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zehner: $\mathsf{0+9=9}$ . Schreibe 9.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Hunderter: $\mathsf{8+0=8}$ . Schreibe 8.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Tausender: $\mathsf{0+8=8}$ . Schreibe 8.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Das Produkt lautet $\mathsf{809\cdot11=8899}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Zur Probe rechne $\mathsf{809\cdot10=8090}$ .
7. Schritt 7 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{8090+809=8899}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ziffernsumme an der Einerstelle9
2. Ziffernsumme an der Zehnerstelle9
3. Ziffernsumme an der Hunderterstelle8
4. Ziffernsumme an der Tausenderstelle8
5. Produkt8899
07
Aufgabe 7Trachtenberg Methode · 3Fülle für $\mathsf{596\cdot11}$ alle Ziffernschritte und Überträge in der Vorlage aus. Nenne Produkt und Probe als zehnmal die Zahl plus die Zahl.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Probe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Einer: $\mathsf{6+0=6}$ . Schreibe 6.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zehner: $\mathsf{9+6=15}$ . Schreibe 5 und übertrage 1.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Hunderter: $\mathsf{5+9+1=15}$ . Schreibe 5 und übertrage 1.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Tausender: $\mathsf{0+5+1=6}$ . Schreibe 6.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Das Produkt lautet $\mathsf{596\cdot11=6556}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Zur Probe rechne $\mathsf{596\cdot10=5960}$ .
7. Schritt 7 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{5960+596=6556}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produkt6556
2. Probe $\mathsf{5960+596=6556}$
08
Aufgabe 8Trachtenberg Methode · 3Rechne $\mathsf{99\cdot11}$ auf der Vorlage. Achte auf den letzten Übertrag. Nenne das Produkt und erkläre die zusätzliche linke Ziffer eins.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Produkt
Erklärung der zusätzlichen linken Eins
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Einer: $\mathsf{9+0=9}$ . Schreibe 9.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zehner: $\mathsf{9+9=18}$ . Schreibe 8 und übertrage 1.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Hunderter: $\mathsf{0+9+1=10}$ . Schreibe 0 und übertrage 1.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der letzte Übertrag bildet eine zusätzliche führende 1.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Das Produkt lautet $\mathsf{99\cdot11=1089}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Zur Probe rechne $\mathsf{99\cdot10=990}$ .
7. Schritt 7 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{990+99=1089}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Produkt1089
2. Erklärung der zusätzlichen linken EinsDie letzte Ziffernsumme ist 10. Daher wird an dieser Stelle 0 geschrieben; der verbleibende Übertrag 1 bildet eine weitere Stelle links.
09
Aufgabe 9Trachtenberg Methode · 3Jemand schreibt $\mathsf{87\cdot11=8157}$ , indem die Ziffernsumme 15 zwischen 8 und 7 eingefügt wird. Ist das richtig? Korrigiere das Produkt und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtiges Produkt
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Einer: $\mathsf{7+0=7}$ . Schreibe 7.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zehner: $\mathsf{8+7=15}$ . Schreibe 5 und übertrage 1.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Hunderter: $\mathsf{0+8+1=9}$ . Schreibe 9.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Das Produkt lautet $\mathsf{87\cdot11=957}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Zur Probe rechne $\mathsf{87\cdot10=870}$ .
6. Schritt 6 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{870+87=957}$ .
7. Schritt 7 · Erklärung
  Die Ziffernsumme 15 muss in Ergebnisziffer 5 und Übertrag 1 zerlegt werden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Richtiges Produkt957
3. Begründung15 ist keine einzelne Ziffer. Schreibe 5 und übertrage 1 zur nächsten Stelle. Aus der ursprünglichen 8 plus dem Übertrag wird 9.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich arbeite von rechts nach links mit den ursprünglichen Nachbarziffern.
Ich berücksichtige Nullen und jeden Übertrag.
Ich prüfe durch zehnmal die Zahl plus die Zahl.

AT Academy · Version 2026-10-21