Rechenwege · Erklären & üben

Rationale Zahlen addieren und subtrahieren

Du rechnest mit positiven und negativen ganzen Zahlen, Dezimalzahlen und Brüchen. Klammern helfen dir, Vorzeichen und Rechenzeichen zu unterscheiden.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vorzeichen und Rechenzeichen

Rationale Zahlen lassen sich als Bruch ganzer Zahlen mit einem von null verschiedenen Nenner schreiben. Dazu gehören ganze Zahlen und endliche Dezimalzahlen. Das Vorzeichen gehört zur Zahl; das Rechenzeichen sagt, welche Operation ausgeführt wird. Negative Zahlen stehen als zweiter Operand in Klammern.

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von null. Die Zahlen 4 und −4 haben beide den Betrag 4.

Unterscheide die Operation vom Vorzeichen einer Zahl.
Setze negative Operanden in Klammern.

Vorzeichen und Rechenzeichen haben verschiedene Aufgaben.

So geht es am Beispiel

Unterscheide die Zeichen in $\mathsf{5+(-8)}$ und berechne.

Das Pluszeichen zwischen den Zahlen ist das Rechenzeichen.

Das Minuszeichen in der Klammer gehört zur Zahl −8.

Von 5 führen acht Schritte nach links zu −3.

$\mathsf{5+(-8)=-3}$

Erklärung 02

Positive und negative Zahlen addieren

Bei gleichem Vorzeichen addierst du die Beträge und behältst das Vorzeichen. Bei verschiedenen Vorzeichen ziehst du den kleineren Betrag vom größeren ab. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag. Sind die Beträge gleich groß, ist die Summe null.

Auf der Zahlengeraden bedeutet das Addieren einer positiven Zahl einen Weg nach rechts. Eine negative Zahl führt nach links.

Vergleiche die Vorzeichen.
Rechne mit den Beträgen.
Bestimme das Ergebnisvorzeichen oder erkenne null.

Gleiche Vorzeichen: Beträge addieren. Verschiedene Vorzeichen: Beträge vergleichen.

Erste Zahlengerade: von minus vier um drei nach links zu minus sieben. Zweite: von minus sechs um neun nach rechts zu drei.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-4)+(-3)}$ .

Beginne bei −4.

Gehe für die zweite negative Zahl drei Schritte nach links.

$\mathsf{4+3=7}$

Beide Summanden sind negativ: $\mathsf{(-4)+(-3)=-7}$ .

So geht es am Beispiel

Vergleiche $\mathsf{(-6)+9}$ und $\mathsf{6+(-9)}$ .

Die Beträge unterscheiden sich um $\mathsf{9-6=3}$ .

In der ersten Summe hat die positive Zahl den größeren Betrag: $\mathsf{(-6)+9=3}$ .

In der zweiten Summe hat die negative Zahl den größeren Betrag: $\mathsf{6+(-9)=-3}$ .

Erklärung 03

Subtraktion als Addition der Gegenzahl

Die Gegenzahl liegt gleich weit von null entfernt auf der anderen Seite. Die Gegenzahl von −7 ist 7; die Gegenzahl von 7 ist −7. Null ist ihre eigene Gegenzahl.

Subtrahieren bedeutet, die Gegenzahl des Subtrahenden zu addieren. Nur die abzuziehende Zahl wird dabei durch ihre Gegenzahl ersetzt. Der Minuend bleibt unverändert.

Bestimme den Subtrahenden mit seinem Vorzeichen.
Ersetze das Minusrechenzeichen durch Plus und den Subtrahenden durch seine Gegenzahl.
Berechne die entstandene Summe.

$\mathsf{a-b=a+(-b)}$

Vier minus minus sieben wird zu vier plus sieben. Der Ausgangswert vier bleibt unverändert.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{4-(-7)}$ und $\mathsf{(-4)-7}$ .

Bei der ersten Rechnung ist die Gegenzahl des Subtrahenden 7.

$\mathsf{4-(-7)=4+7}$

$\mathsf{4+7=11}$

Bei der zweiten Rechnung ist die Gegenzahl des Subtrahenden −7.

$\mathsf{(-4)-7=(-4)+(-7)}$

$\mathsf{(-4)+(-7)=-11}$

Erklärung 04

Brüche und Dezimalzahlen passend schreiben

Bei Brüchen brauchst du einen gemeinsamen Nenner, bevor du die Zähler addierst oder subtrahierst. Das Vorzeichen gehört zum ganzen Bruch.

Manchmal erleichtert eine andere Schreibweise die Rechnung. Es gilt $\mathsf{0{,}75=\frac{3}{4}}$ und $\mathsf{\frac{1}{2}=0{,}5}$ . Die Themen Dezimalzahl in Bruch und Bruch in Dezimalzahl erklären die Umwandlung ausführlich. Hier verwendest du einfache Umformungen innerhalb einer Rechnung.

Schreibe Brüche mit einem gemeinsamen Nenner.
Wende die Vorzeichenregel auf die Zähler an.
Kürze das Ergebnis, wenn möglich.

Der gemeinsame Nenner bleibt beim Addieren der Zähler erhalten.

Gleichmäßige Viertelschritte. Ein Pfeil führt von minus drei Vierteln um eine Hälfte nach rechts zu minus einem Viertel.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-\frac{3}{4})+\frac{1}{2}}$ .

Erweitere den zweiten Bruch: $\mathsf{\frac{1}{2}=\frac{2}{4}}$ .

Nun gilt $\mathsf{(-\frac{3}{4})+\frac{2}{4}=\frac{-3+2}{4}}$ .

Die Zählersumme ist $\mathsf{-3+2=-1}$ .

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-1{,}25)+0{,}75}$ und $\mathsf{(-\frac{1}{2})+0{,}75}$ .

Die Betragsdifferenz der Dezimalzahlen ist $\mathsf{1{,}25-0{,}75=0{,}5}$ .

Die negative Zahl hat den größeren Betrag: $\mathsf{(-1{,}25)+0{,}75=-0{,}5}$ .

Für die zweite Rechnung schreibe $\mathsf{0{,}75=\frac{3}{4}}$ .

Erweitere $\mathsf{-\frac{1}{2}=-\frac{2}{4}}$ .

Addiere $\mathsf{(-\frac{2}{4})+\frac{3}{4}=\frac{1}{4}}$ .

Erklärung 05

Geschickt rechnen und Situationen deuten

Bei der Addition darfst du Summanden vertauschen und Klammern anders setzen. Gegenzahlen heben sich auf. Bei einer Subtraktion darfst du die Operanden nicht einfach vertauschen. Wandle sie zuerst in eine Addition der Gegenzahl um.

Ein negativer Kontostand bedeutet Schulden; eine Einzahlung erhöht und eine Abbuchung verringert den Kontostand. Bei Temperaturen musst du Anfangswert und Änderung auseinanderhalten. Das Thema Textaufgaben vertieft das Übersetzen einer Situation in eine passende Rechnung.

Suche bei Summen zusammenpassende Zahlen.
Behalte das Vorzeichen jedes Summanden bei.
Prüfe im Kontext Richtung und Einheit.

Für die Addition gelten Vertauschen und Verbinden auch bei rationalen Zahlen.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{(-2{,}5)+6+2{,}5}$ geschickt.

Vertausche die Summanden mit ihren Vorzeichen: $\mathsf{(-2{,}5)+6+2{,}5=((-2{,}5)+2{,}5)+6}$ .

Gegenzahlen ergeben $\mathsf{(-2{,}5)+2{,}5=0}$ .

Es bleibt $\mathsf{0+6=6}$ .

So geht es am Beispiel

Eine Temperatur von −2 °C sinkt um 5 °C. Ein Konto mit −12 € erhält eine Einzahlung von 20 €. Bestimme die neuen Werte.

Das Sinken entspricht einer negativen Änderung: $\mathsf{(-2)+(-5)=-7}$ .

Die neue Temperatur ist −7 °C.

Die Einzahlung ist eine positive Änderung: $\mathsf{(-12)+20=8}$ .

Der neue Kontostand ist 8 €.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Rationale Zahlen addieren und subtrahieren · 1Benenne in $\mathsf{7+(-4)}$ das Rechenzeichen und das Vorzeichen des zweiten Operanden. Berechne.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechenzeichen
Vorzeichen des zweiten Operanden
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Pluszeichen steht zwischen den Operanden.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Minuszeichen gehört zur zweiten Zahl.
3. Schritt 3 · Erklärung
  $\mathsf{7+(-4)=3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. RechenzeichenPlus
2. Vorzeichen des zweiten OperandenMinus
3. Ergebnis3
02
Aufgabe 2Rationale Zahlen addieren und subtrahieren · 1Berechne $\mathsf{(-8)+(-5)}$ und $\mathsf{(-9)+14}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis der ersten Summe
Ergebnis der zweiten Summe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Bei gleichen negativen Vorzeichen addierst du die Beträge: $\mathsf{8+5=13}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das erste Ergebnis ist $\mathsf{(-8)+(-5)=-13}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Bei der zweiten Rechnung ist der positive Betrag größer: $\mathsf{14-9=5}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Damit gilt $\mathsf{(-9)+14=5}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ergebnis der ersten Summe−13
2. Ergebnis der zweiten Summe5
03
Aufgabe 3Rationale Zahlen addieren und subtrahieren · 1Berechne $\mathsf{6+(-10)}$ . Zeichne auf der Vorlage einen Pfeil vom Startwert 6 zum Ziel. Trage das Ergebnis ins Feld ein.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Addiere eine negative Zahl: Gehe zehn Schritte nach links.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Von 6 bis null sind es sechs Schritte.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Vier weitere Schritte führen zu −4.
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{6+(-10)=-4}$
Ergebnis
1. Ergebnis−4
04
Aufgabe 4Rationale Zahlen addieren und subtrahieren · 2Schreibe $\mathsf{3-(-8)}$ und $\mathsf{(-3)-8}$ jeweils als Addition der Gegenzahl. Berechne beide Ergebnisse.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erste Rechnung als Addition
Erstes Ergebnis
Zweite Rechnung als Addition
Zweites Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Gegenzahl von −8 ist 8: $\mathsf{3-(-8)=3+8}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{3+8=11}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die Gegenzahl von 8 ist −8: $\mathsf{(-3)-8=(-3)+(-8)}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{(-3)+(-8)=-11}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erste Rechnung als Addition $\mathsf{3+8}$
2. Erstes Ergebnis11
3. Zweite Rechnung als Addition $\mathsf{(-3)+(-8)}$
4. Zweites Ergebnis−11
05
Aufgabe 5Rationale Zahlen addieren und subtrahieren · 2Berechne $\mathsf{(-1{,}8)+0{,}65}$ und $\mathsf{2{,}4-(-0{,}6)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erstes Ergebnis
Zweites Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste Betragsdifferenz: $\mathsf{1{,}80-0{,}65=1{,}15}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der größere Betrag gehört zur negativen Zahl: $\mathsf{(-1{,}8)+0{,}65=-1{,}15}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die zweite Subtraktion wird zu $\mathsf{2{,}4-(-0{,}6)=2{,}4+0{,}6}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  $\mathsf{2{,}4+0{,}6=3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erstes Ergebnis−1,15
2. Zweites Ergebnis3
06
Aufgabe 6Rationale Zahlen addieren und subtrahieren · 2Berechne $\mathsf{(-\frac{2}{3})+\frac{1}{6}}$ . Gib beide Brüche mit gemeinsamem Nenner und das gekürzte Ergebnis an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Erster Bruch mit gemeinsamem Nenner
Zweiter Bruch mit gemeinsamem Nenner
Gekürztes Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erweitere den ersten Bruch: $\mathsf{-\frac{2}{3}=-\frac{4}{6}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der zweite Bruch bleibt $\mathsf{\frac{1}{6}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{(-\frac{4}{6})+\frac{1}{6}=-\frac{3}{6}}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Kürze $\mathsf{-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Erster Bruch mit gemeinsamem Nenner $\mathsf{-\frac{4}{6}}$
2. Zweiter Bruch mit gemeinsamem Nenner $\mathsf{\frac{1}{6}}$
3. Gekürztes Ergebnis $\mathsf{-\frac{1}{2}}$
07
Aufgabe 7Rationale Zahlen addieren und subtrahieren · 2Berechne $\mathsf{(-\frac{3}{4})-(-\frac{1}{2})}$ . Gib zuerst die Addition der Gegenzahl an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Addition der Gegenzahl
Ergebnis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ersetze nur den Subtrahenden durch seine Gegenzahl: $\mathsf{(-\frac{3}{4})-(-\frac{1}{2})=(-\frac{3}{4})+\frac{1}{2}}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erweitere $\mathsf{\frac{1}{2}=\frac{2}{4}}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{(-\frac{3}{4})+\frac{2}{4}=-\frac{1}{4}}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Addition der Gegenzahl $\mathsf{(-\frac{3}{4})+\frac{1}{2}}$
2. Ergebnis $\mathsf{-\frac{1}{4}}$
08
Aufgabe 8Rationale Zahlen addieren und subtrahieren · 3Ein Kontostand beträgt −18,50 €. Zuerst werden 12 € eingezahlt, danach 7,25 € abgebucht. Bestimme den Kontostand nach jeder Änderung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kontostand nach Einzahlung
Kontostand nach Abbuchung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Nach der Einzahlung: $\mathsf{(-18{,}50)+12=-6{,}50}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Abbuchung ist eine Verringerung: $\mathsf{(-6{,}50)-7{,}25=-13{,}75}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Beide Ergebnisse sind Kontostände in Euro.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Kontostand nach Einzahlung−6,50 €
2. Kontostand nach Abbuchung−13,75 €
09
Aufgabe 9Rationale Zahlen addieren und subtrahieren · 3Jemand behauptet: $\mathsf{(-5)+(-2)=7}$ , denn minus und minus ergeben plus. Ist das richtig? Korrigiere das Ergebnis und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtiges Ergebnis
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Hier werden zwei negative Zahlen addiert.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Addiere ihre Beträge: $\mathsf{5+2=7}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Das negative Vorzeichen bleibt: $\mathsf{(-5)+(-2)=-7}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein
2. Richtiges Ergebnis−7
3. BegründungBei der Addition zweier negativer Zahlen werden die Beträge addiert und das negative Vorzeichen bleibt. Die genannte Plusregel betrifft eine andere Operation.
10
Aufgabe 10Rationale Zahlen addieren und subtrahieren · 3Berechne $\mathsf{(-4{,}5)+7+4{,}5}$ geschickt. Nenne die zusammengefasste Teilsumme und das Ergebnis. Darfst du auch $\mathsf{8-3}$ zu $\mathsf{3-8}$ vertauschen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zusammengefasste Teilsumme
Ergebnis der Summe
Darf die Subtraktion vertauscht werden?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Fasse die Gegenzahlen zusammen: $\mathsf{(-4{,}5)+4{,}5=0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Addiere $\mathsf{0+7=7}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Die erste Subtraktion ergibt $\mathsf{8-3=5}$ .
4. Schritt 4 · Erklärung
  Vertauscht ergibt sich $\mathsf{3-8=-5}$ .
5. Schritt 5 · Erklärung
  Die Subtraktion ist deshalb nicht vertauschbar.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zusammengefasste Teilsumme0
2. Ergebnis der Summe7
3. Darf die Subtraktion vertauscht werden?Nein
4. BegründungDie Ergebnisse 5 und −5 sind verschieden. Das Vertauschungsgesetz gilt für Addition, nicht allgemein für Subtraktion.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Vorzeichen und Rechenzeichen.
Ich ersetze beim Subtrahieren nur den Subtrahenden durch seine Gegenzahl.
Ich rechne mit gemeinsamen Nennern und prüfe Richtung und Einheit.

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