Trapeze · Erklären & üben

Trapez

Ein Trapez erkennst du an parallelen Gegenseiten. Hier gilt dieselbe inklusive Definition wie im Thema Vierecke: mindestens ein paralleles Seitenpaar. Deshalb gehören auch Parallelogramme dazu.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Grundseiten und Höhe

Wir betrachten konvexe Vierecke mit Eckreihenfolge $\mathsf{A,B,C,D}$ . Die parallelen Seiten $\mathsf{AB}$ und $\mathsf{DC}$ heißen Grundseiten mit Längen $\mathsf{a}$ und $\mathsf{c}$ . Die übrigen Seiten heißen Schenkel. Die Höhe ist der senkrechte Abstand der Grundseitengeraden; ein schräger Schenkel ist keine Höhe. Manche Bücher verlangen genau ein Parallelpaar. Diese exklusive Definition verwenden wir hier nicht.

Prüfe gegenüberliegende Seiten auf Parallelität.
Wähle das Grundseitenpaar und zeichne ein Lot zwischen dessen Geraden.

$\mathsf{AB\parallel DC}$

So geht es am Beispiel

Ein Rechteck hat zwei Paare paralleler Gegenseiten. Ist es hier ein Trapez?

Mindestens ein Parallelpaar genügt. Zwei Paare erfüllen diese Bedingung.

Erklärung 02

Winkel und besondere Formen

An jedem Schenkel ergänzen sich die benachbarten Innenwinkel zu einem gestreckten Winkel. Ein rechtwinkliges Trapez besitzt einen Schenkel senkrecht zu den Grundseiten. Ein gleichschenkliges Trapez definieren wir über eine Symmetrieachse senkrecht zu den Grundseiten; seine Basiswinkel sind paarweise gleich. Bei unterschiedlich langen Grundseiten ist das gleichbedeutend mit gleich langen Schenkeln. Gleiche Schenkel allein genügen bei Parallelogrammen nicht.

Ordne die Winkel entlang desselben Schenkels zu.
Ergänze jeweils auf $\mathsf{180^\circ}$ .

$\mathsf{\alpha+\delta=180^\circ,\qquad\beta+\gamma=180^\circ}$

So geht es am Beispiel

Bei $\mathsf{AB\parallel DC}$ sind die Winkel bei $\mathsf{A}$ und $\mathsf{B}$ gleich $\mathsf{70^\circ}$ und $\mathsf{55^\circ}$ . Bestimme die Winkel bei $\mathsf{D}$ und $\mathsf{C}$ .

\mathsf{\delta=180^\circ-70^\circ=110^\circ}

\mathsf{\gamma=180^\circ-55^\circ=125^\circ}

Erklärung 03

Rand und Inneres

Der Umfang addiert alle vier Seiten. Der Flächeninhalt nutzt nur die beiden Grundseiten und deren senkrechten Abstand. Mit der Mittellinie $\mathsf{m}$ , die die Schenkelmittelpunkte verbindet, gilt auch $\mathsf{A=m\cdot h}$ . Ausführliches Rechnen folgt in Trapez – Flächeninhalt und Umfang.

Lies die Grundseiten und die Höhe getrennt von den Schenkeln ab.
Verwende Längeneinheiten für den Rand und Quadrateinheiten für die Fläche.

$\mathsf{U=a+b+c+d,\qquad A=\frac{a+c}{2}\cdot h}$

So geht es am Beispiel

Ein rechtwinkliges Trapez hat $\mathsf{a=9\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{c=5\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{h=d=3\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{b=5\,\mathsf{cm}}$ . Bestimme Fläche und Umfang.

\mathsf{A=\frac{9+5}{2}\cdot3\,\mathsf{cm}^2=21\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{U=(9+5+5+3)\,\mathsf{cm}=22\,\mathsf{cm}}

Erklärung 04

Optional: Trapez im Raum nachweisen

Voraussetzung: Vektoren, Vielfache und Ebenendarstellungen. Parallelität eines Seitenpaars genügt erst, wenn vier verschiedene Punkte in passender Reihenfolge ein ebenes konvexes Viereck bilden. Dafür können zwei nicht parallele Richtungsvektoren $\mathsf{u,v}$ dienen. Mit $\mathsf{B=A+u}$ , $\mathsf{D=A+v}$ und $\mathsf{C=A+v+t\cdot u}$ bei $\mathsf{t>0}$ entsteht ein konvexes Trapez. Bei $\mathsf{t=1}$ ist es ein Parallelogramm; das ist hier eingeschlossen.

Bilde zwei nicht parallele Richtungsvektoren von einem Eckpunkt aus.
Stelle alle vier Punkte in derselben Ebene dar und prüfe die Eckreihenfolge.
Vergleiche die gerichteten Grundseitenvektoren $\mathsf{AB}$ und $\mathsf{DC}$ .

$\mathsf{\overrightarrow{DC}=t\cdot\overrightarrow{AB}\quad(t>0)}$

Optional: ein Trapez in einer räumlichen Ebene

So geht es am Beispiel

Prüfe $\mathsf{A(0|0|1)}$ , $\mathsf{B(6|0|1)}$ , $\mathsf{C(5|3|4)}$ , $\mathsf{D(2|3|4)}$ in dieser Reihenfolge.

\mathsf{u=\overrightarrow{AB}=(6|0|0),\quad v=\overrightarrow{AD}=(2|3|3)}

Die Vektoren sind nicht parallel, da nur $\mathsf{v}$ eine von null verschiedene zweite Komponente hat.

\mathsf{C=A+v+\frac12u}

Die Ebenenkoordinaten lauten $\mathsf{(0|0),(1|0),(\frac12|1),(0|1)}$ . Sie bilden in dieser Reihenfolge ein konvexes Viereck.

\mathsf{\overrightarrow{DC}=(3|0|0)=\frac12\overrightarrow{AB}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Trapez · basisEin Parallelogramm besitzt zwei Parallelpaare. Ist es nach unserer Definition ein Trapez? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Definition verlangt mindestens ein Parallelpaar. Zwei erfüllen diese Bedingung.
Ergebnis
1. BegründungJa, jedes Parallelogramm ist nach der inklusiven Definition ein Trapez.
02
Aufgabe 2Trapez · standardFür $\mathsf{AB\parallel DC}$ gilt $\mathsf{\alpha=64^\circ}$ bei $\mathsf{A}$ und $\mathsf{\beta=81^\circ}$ bei $\mathsf{B}$ . Berechne die Winkel bei $\mathsf{D}$ und $\mathsf{C}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Winkel bei D
Winkel bei C
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\delta=180^\circ-64^\circ=116^\circ}$
  $\mathsf{\gamma=180^\circ-81^\circ=99^\circ}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Winkel bei D $\mathsf{\delta=116^\circ}$
2. Winkel bei C $\mathsf{\gamma=99^\circ}$
03
Aufgabe 3Trapez · standardEin Trapez hat Grundseiten $\mathsf{12\,\mathsf{cm}}$ und $\mathsf{6\,\mathsf{cm}}$ , Höhe $\mathsf{4\,\mathsf{cm}}$ und beide Schenkel $\mathsf{5\,\mathsf{cm}}$ . Berechne Fläche und Umfang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Flächeninhalt
Umfang
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{A=\frac{12+6}{2}\cdot4\,\mathsf{cm}^2=36\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{U=(12+6+5+5)\,\mathsf{cm}=28\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Flächeninhalt $\mathsf{A=36\,\mathsf{cm}^2}$
2. Umfang $\mathsf{U=28\,\mathsf{cm}}$
04
Aufgabe 4Trapez · standardErgänze im Raster $\mathsf{C(6|3)}$ und $\mathsf{D(2|3)}$ . Verbinde $\mathsf{A,B,C,D,A}$ . Zeichne von $\mathsf{D}$ eine Höhe auf $\mathsf{AB}$ und markiere den rechten Winkel. Eine Rastereinheit entspricht $\mathsf{1\,\mathsf{cm}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Trapez mit Höhe
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Trapez mit Höhe
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Verbinde die Punkte in der gegebenen Reihenfolge. Die Grundseiten liegen waagerecht.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Das Lot von $\mathsf{D(2|3)}$ endet bei $\mathsf{H(2|0)}$ . Seine Länge ist $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ .
Ergebnis
1. Trapez mit HöheMusterzeichnung: $\mathsf{C(6|3)}$ , $\mathsf{D(2|3)}$ , $\mathsf{H(2|0)}$ ; Höhe $\mathsf{3\,\mathsf{cm}}$ .
05
Aufgabe 5Trapez · transferEin schiefes Parallelogramm hat gleich lange linke und rechte Seiten. Folgt daraus, dass es ein gleichschenkliges Trapez im hier festgelegten Sinn ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beurteilung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bei jedem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Definition des gleichschenkligen Trapezes verlangt hier zusätzlich eine Symmetrieachse senkrecht zu den Grundseiten.
Ergebnis
1. BeurteilungNein. Ein schiefes Parallelogramm ohne diese Achse ist ein Trapez, aber kein gleichschenkliges Trapez in unserem Sinn.
06
Aufgabe 6Trapez · transferEine Schülerin verwendet bei $\mathsf{a=10\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{c=4\,\mathsf{cm}}$ , $\mathsf{h=4\,\mathsf{cm}}$ und Schenkel $\mathsf{s=5\,\mathsf{cm}}$ die Rechnung $\mathsf{A=7\cdot5=35\,\mathsf{cm}^2}$ . Erkläre den Fehler und berechne richtig.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler
Flächeninhalt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Der schräge Schenkel ersetzt nicht den senkrechten Grundseitenabstand.
  $\mathsf{A=\frac{10+4}{2}\cdot4\,\mathsf{cm}^2=28\,\mathsf{cm}^2}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. FehlerDie Schenkellänge wurde anstelle der Höhe verwendet.
2. Flächeninhalt $\mathsf{A=28\,\mathsf{cm}^2}$
07
Aufgabe 7Trapez · vertiefungOptional mit Vektoren: Weise für $\mathsf{A(1|1|1)}$ , $\mathsf{B(9|1|1)}$ , $\mathsf{C(7|5|3)}$ , $\mathsf{D(3|5|3)}$ ein konvexes ebenes Trapez in dieser Eckreihenfolge nach.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ebene und Eckreihenfolge
Parallelitätsnachweis
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{u=\overrightarrow{AB}=(8|0|0),\quad v=\overrightarrow{AD}=(2|4|2)}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Vektoren sind nicht parallel: Die zweite Komponente von $\mathsf{v}$ ist nicht null.
  $\mathsf{C=A+v+\frac12u}$
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Die Ebenenkoordinaten $\mathsf{(0|0),(1|0),(\frac12|1),(0|1)}$ zeigen ein konvexes Viereck in passender Reihenfolge.
  $\mathsf{\overrightarrow{DC}=(4|0|0)=\frac12u}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ebene und EckreihenfolgeAlle Punkte liegen in $\mathsf{A+ru+sv}$ ; die Ebenenkoordinaten bilden ein konvexes Viereck.
2. Parallelitätsnachweis $\mathsf{\overrightarrow{DC}=\frac12\overrightarrow{AB}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich kann die gewählte Trapezdefinition erklären.
Ich unterscheide einen schrägen Schenkel von der senkrechten Höhe.
Ich gebe Längen und Flächen mit passenden Einheiten an.

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