Rechenwege · Erklären & üben

Überschlagsrechnung

Eine Überschlagsrechnung ersetzt Zahlen durch leicht rechenbare Werte. Das Ergebnis zeigt ungefähr die Größenordnung; es ist keine Garantie für ein exakt richtiges Ergebnis.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Ungefähr statt genau

Beim Überschlag wählst du einfache Ersatzwerte. Das Zeichen $\mathsf{\approx}$ bedeutet ungefähr gleich. Die Rechnung mit den Ersatzwerten darfst du exakt ausrechnen, ihr Ergebnis ist aber nur eine Näherung für die ursprüngliche Rechnung.

Lege fest, wie grob du runden möchtest.
Schreibe die Ersatzwerte ausdrücklich auf.
Berechne die Ersatzrechnung und kennzeichne die Näherung.

Eine Näherung wird mit $\mathsf{\approx}$ gekennzeichnet.

Maßstäbliche Summenbalken: 298 und 411 ergeben 709; Ersatz 300 und 400 ergibt 700.

So geht es am Beispiel

Überschlage $\mathsf{298+411}$ mit auf Hunderter gerundeten Zahlen.

298 wird durch 300 ersetzt.

411 wird durch 400 ersetzt.

Die Ersatzsumme ist $\mathsf{300+400=700}$

Daher gilt $\mathsf{298+411\approx700}$

Zum Vergleich: Die genaue Summe ist $\mathsf{298+411=709}$

Erklärung 02

Vier Rechenarten überschlagen

Ersatzwerte sollen zur Rechnung passen. Bei einer Division helfen Zahlen, die sich leicht teilen lassen. Der Ersatzdivisor muss von null verschieden sein. Nicht jede Rundungsstelle ist für jede Aufgabe sinnvoll.

Wähle runde oder gut zueinander passende Werte.
Behalte das ursprüngliche Rechenzeichen bei.
Prüfe bei einer Division den Ersatzdivisor.

Der Überschlag verwendet dieselbe Rechenart mit vereinfachten Werten.

Jeweils ursprüngliche Rechnung, gewählte Ersatzrechnung und Näherungswert getrennt erkennbar.

So geht es am Beispiel

Überschlage $\mathsf{803-397}$ auf Hunderter.

803 wird durch 800 ersetzt.

397 wird durch 400 ersetzt.

Die Ersatzdifferenz lautet $\mathsf{800-400=400}$

Damit ist $\mathsf{803-397\approx400}$

Genau gerechnet: $\mathsf{803-397=406}$

So geht es am Beispiel

Überschlage $\mathsf{49\cdot21}$ auf Zehner.

49 wird durch 50 ersetzt.

21 wird durch 20 ersetzt.

Das Ersatzprodukt lautet $\mathsf{50\cdot20=1000}$

Damit ist $\mathsf{49\cdot21\approx1000}$

Genau gerechnet: $\mathsf{49\cdot21=1029}$

So geht es am Beispiel

Überschlage $\mathsf{1192:31}$ mit gut teilbaren Ersatzwerten.

Ersetze den Dividenden 1192 durch 1200.

Ersetze den Divisor 31 durch 30.

Der Ersatzquotient lautet $\mathsf{1200:30=40}$

Damit ist $\mathsf{1192:31\approx40}$

Erklärung 03

Plausibilität und Grenzen

Ein Ergebnis in völlig anderer Größenordnung ist verdächtig. Ein plausibles Ergebnis kann trotzdem falsch sein. Besonders kleine Differenzen können beim groben Runden verschwinden. Bei kleinen Divisoren verändert schon eine geringe Änderung den Quotienten deutlich.

Eine gesicherte Obergrenze ist mehr als ein gewöhnlicher Überschlag: Rundest du bei einer Summe positiver Preise jeden Preis nach oben, liegt die genaue Summe höchstens bei der Ersatzsumme. Weiterlernen: Schriftliche Multiplikation zeigt, wie du ein Produkt anschließend genau berechnest.

Vergleiche die Größenordnung, ohne Exaktheit zu behaupten.
Prüfe, ob die Rundung wichtige Unterschiede verdeckt.
Begründe die Richtung einer Schranke anhand aller Ersatzwerte.

Ein Überschlag prüft Plausibilität, beweist aber keine exakte Richtigkeit.

Drei positive Preise werden einzeln aufgerundet:7,80 zu 8; 12,40 zu 13; 9,10 zu 10 Euro. Ihre Ersatzsumme 31 Euro ist eine sichere Obergrenze.

So geht es am Beispiel

Ist Runden auf Tausender für $\mathsf{1004-997}$ sinnvoll?

Beide Zahlen werden zu 1000 gerundet.

Die Ersatzrechnung liefert $\mathsf{1000-1000=0}$

Die genaue Differenz ist aber $\mathsf{1004-997=7}$

Der kleine Abstand geht beim groben Runden verloren.

So geht es am Beispiel

Vergleiche einen Überschlag und den genauen Quotienten von $\mathsf{8{,}1:0{,}09}$ .

Wähle 8 als Ersatzdividend und 0,1 als Ersatzdivisor.

Die Ersatzrechnung ergibt $\mathsf{8:0{,}1=80}$

Der genaue Quotient ist $\mathsf{8{,}1:0{,}09=90}$

Runden des Divisors auf ganze Zahlen ergäbe null und wäre unzulässig.

So geht es am Beispiel

Drei Artikel kosten 7,80 €, 12,40 € und 9,10 €. Bestimme eine sichere obere Kostengrenze in vollen Euro.

7,80 € werden nach oben zu 8 € ersetzt.

12,40 € werden nach oben zu 13 € ersetzt.

9,10 € werden nach oben zu 10 € ersetzt.

Zuerst addieren: $\mathsf{8+13=21}$

Dann weiter: $\mathsf{21+10=31}$

Jeder Ersatzpreis ist größer als der tatsächliche Preis. Daher sind die Gesamtkosten kleiner als 31 €.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Überschlagsrechnung · BasisÜberschlage $\mathsf{187+312}$ , indem du beide Zahlen auf Hunderter rundest. Notiere die Ersatzrechnung und den Näherungswert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ersatzrechnung
Näherungswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  187 wird zu 200 gerundet.
2. Schritt 2 · Erklärung
  312 wird zu 300 gerundet.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ersatzrechnung: $\mathsf{200+300=500}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Daher $\mathsf{187+312\approx500}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ersatzrechnung $\mathsf{200+300}$
2. Näherungswert500
02
Aufgabe 2Überschlagsrechnung · BasisÜberschlage $\mathsf{798-293}$ mit auf Hunderter gerundeten Zahlen. Notiere die Ersatzrechnung und den Näherungswert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ersatzrechnung
Näherungswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  798 wird zu 800 gerundet.
2. Schritt 2 · Erklärung
  293 wird zu 300 gerundet.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ersatzrechnung: $\mathsf{800-300=500}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Daher $\mathsf{798-293\approx500}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ersatzrechnung $\mathsf{800-300}$
2. Näherungswert500
03
Aufgabe 3Überschlagsrechnung · BasisÜberschlage $\mathsf{39\cdot61}$ auf Zehner. Notiere die Ersatzrechnung und den Näherungswert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ersatzrechnung
Näherungswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  39 wird zu 40 gerundet.
2. Schritt 2 · Erklärung
  61 wird zu 60 gerundet.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ersatzrechnung: $\mathsf{40\cdot60=2400}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ersatzrechnung $\mathsf{40\cdot60}$
2. Näherungswert2400
04
Aufgabe 4Überschlagsrechnung · ÜbungÜberschlage $\mathsf{597:19}$ mit den Ersatzwerten 600 und 20. Notiere die Ersatzrechnung und den Näherungswert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ersatzrechnung
Näherungswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Ersetze den Dividenden durch 600.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ersetze den Divisor durch 20; er ist nicht null.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ersatzrechnung: $\mathsf{600:20=30}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ersatzrechnung $\mathsf{600:20}$
2. Näherungswert30
05
Aufgabe 5Überschlagsrechnung · ÜbungÜberschlage $\mathsf{47\cdot22}$ mit $\mathsf{50\cdot20}$ . Beurteile dann die behaupteten Ergebnisse 1034 und 10340 jeweils auf Plausibilität. Begründe beide Urteile.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Näherungswert
Urteil zu 1034
Begründung zu 1034
Urteil zu 10340
Begründung zu 10340
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Überschlag lautet $\mathsf{50\cdot20=1000}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  1034 liegt nahe bei 1000 und ist deshalb plausibel. Das allein beweist noch keine Exaktheit.
3. Schritt 3 · Erklärung
  10340 ist ungefähr zehnmal so groß wie der Überschlag und daher unplausibel.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Näherungswert1000
2. Urteil zu 1034Plausibel.
3. Begründung zu 10341034 liegt in der Größenordnung von 1000. Die genaue Richtigkeit folgt daraus noch nicht.
4. Urteil zu 10340Unplausibel.
5. Begründung zu 1034010340 ist ungefähr zehnmal so groß wie der Überschlag.
06
Aufgabe 6Überschlagsrechnung · ÜbungRunde für $\mathsf{1002-998}$ beide Zahlen auf Tausender. Gib Ersatzrechnung, Überschlag und genaue Differenz an. Ist dieser Überschlag zur Beschreibung des kleinen Abstandes geeignet? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ersatzrechnung
Überschlag
Genaue Differenz
Eignungsurteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  1002 wird zu 1000 gerundet.
2. Schritt 2 · Erklärung
  998 wird ebenfalls zu 1000 gerundet.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Ersatzdifferenz: $\mathsf{1000-1000=0}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Genaue Differenz: $\mathsf{1002-998=4}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Das Runden verdeckt den vorhandenen Abstand.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ersatzrechnung $\mathsf{1000-1000}$
2. Überschlag0
3. Genaue Differenz4
4. EignungsurteilUngeeignet.
5. BegründungDer kleine Abstand verschwindet, weil beide Ausgangszahlen durch dieselbe Zahl ersetzt werden.
07
Aufgabe 7Überschlagsrechnung · TransferDrei Preise sind 4,80 €, 7,20 € und 3,60 €. Runde jeden Preis auf den nächsten vollen Euro nach oben. Gib die Ersatzsumme als Rechnung und die obere Kostengrenze an. Reichen 17 € sicher aus? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ersatzsumme
Obere Kostengrenze
Reichen 17 Euro sicher?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  4,80 € werden durch 5 € ersetzt.
2. Schritt 2 · Erklärung
  7,20 € werden durch 8 € ersetzt.
3. Schritt 3 · Erklärung
  3,60 € werden durch 4 € ersetzt.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Zuerst $\mathsf{5+8=13}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Danach $\mathsf{13+4=17}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Jeder echte Preis ist kleiner als sein Ersatzpreis. Die echten Gesamtkosten liegen deshalb unter 17 €.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ersatzsumme $\mathsf{5+8+4}$
2. Obere Kostengrenze17 €
3. Reichen 17 Euro sicher?Ja.
4. BegründungAlle drei Preise wurden nach oben ersetzt; die Ersatzsumme ist deshalb eine obere Grenze.
08
Aufgabe 8Überschlagsrechnung · TransferBei $\mathsf{6{,}4:0{,}08}$ soll der Divisor auf die ganze Zahl 0 gerundet werden. Ist diese Ersatzrechnung zulässig? Begründe. Berechne außerdem den vorgegebenen Überschlag $\mathsf{6{,}4:0{,}1}$ und den genauen Quotienten $\mathsf{6{,}4:0{,}08}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ist der Ersatzdivisor null zulässig?
Begründung
Vorgegebener Überschlag
Genauer Quotient
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Division durch null ist nicht definiert; dieser Ersatzdivisor ist unzulässig.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Der erlaubte Ersatzquotient lautet $\mathsf{6{,}4:0{,}1=64}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Für die genaue Rechnung werden beide Zahlen mit 100 multipliziert.
4. Schritt 4 · Erklärung
  Es entsteht $\mathsf{640:8=80}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Die Änderung des kleinen Divisors von 0,08 auf 0,1 verändert den Quotienten deutlich.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Ist der Ersatzdivisor null zulässig?Nein.
2. BegründungDurch null darf nicht dividiert werden.
3. Vorgegebener Überschlag64
4. Genauer Quotient80
09
Aufgabe 9Überschlagsrechnung · TransferAus $\mathsf{398\cdot51\approx400\cdot50=20000}$ wird gefolgert: Das genaue Produkt ist bewiesen. Ist das richtig? Berechne das genaue Produkt und begründe dein Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Genaues Produkt
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Der Überschlag ersetzt beide Faktoren.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erstes genaues Teilprodukt: $\mathsf{398\cdot50=19900}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweites Teilprodukt: $\mathsf{398\cdot1=398}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Addition: $\mathsf{19900+398=20298}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Das genaue Produkt ist nahe am Überschlag, aber nicht gleich.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Genaues Produkt20298
3. BegründungDie Ersatzwerte verändern die Rechnung. Der Überschlag zeigt nur ungefähr die Größenordnung.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich wähle passende Ersatzwerte.
Ich unterscheide Näherung und genaues Ergebnis.
Ich erkenne unzulässige oder ungeeignete Rundungen.

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