Rechenwege · Erklären & üben

Gefälle berechnen

Ein Gefälle beschreibt, wie stark eine Strecke nach unten verläuft. Entscheidend ist die Höhenabnahme im Verhältnis zur waagerechten Entfernung.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Welche Strecken werden verglichen?

Die Höhenabnahme ist der positive Unterschied zwischen oberem und unterem Punkt. Die waagerechte Entfernung ist die horizontale Projektion des Weges. Sie ist nicht seine schräge Länge. In den folgenden Rechnungen ist die waagerechte Entfernung größer als null.

Bestimme den Höhenunterschied.
Lies die waagerechte Entfernung ab.
Bringe beide Längen in dieselbe Einheit.

Im Nenner steht die waagerechte Entfernung, nicht die Schräglänge.

Rechtwinklige maßstäbliche Skizze: horizontale Strecke 60, Höhenabnahme 3. Waagerecht: 60 m; Höhenabnahme: 3 m; Schrägstrecke und Winkel am oberen Start markiert.

So geht es am Beispiel

Eine Strecke fällt auf 60 m waagerechter Entfernung um 3 m. Berechne das Gefälle in Prozent.

Das Verhältnis der Längen ist $\mathsf{3:60=0{,}05}$

Für die Prozentangabe gilt $\mathsf{0{,}05\cdot100=5}$

Erklärung 02

Prozentwert und fehlende Höhe

Der Prozentwert beschreibt die Höhenabnahme je 100 gleichartige Längeneinheiten waagerechter Entfernung. Verwende für die positive Höhenabnahme h und die waagerechte Entfernung d. Der Zahlenwert des Gefälles in Prozent ist $\mathsf{p=100\cdot h:d}$ . Umgekehrt ist $\mathsf{h=(p:100)\cdot d}$ .

Rechne die Längen in dieselbe Einheit um.
Teile Höhe durch waagerechte Entfernung.
Multipliziere den Quotienten mit 100.

$\mathsf{p=100\cdot h:d}$

Rechtwinklige maßstäbliche Skizze: horizontale Strecke 100, Höhenabnahme 8. Waagerecht: 100 m; Höhenabnahme: 8 m; Schrägstrecke und Winkel am oberen Start markiert.

So geht es am Beispiel

Ein Weg fällt um 80 cm auf 20 m waagerechter Entfernung.

Wandle die Höhe um: 80 cm sind 0,80 m.

Das Verhältnis lautet $\mathsf{0{,}80:20=0{,}04}$

Die Prozentzahl ist $\mathsf{0{,}04\cdot100=4}$

So geht es am Beispiel

Ein Gefälle beträgt 8 %. Wie groß ist die Höhenabnahme auf 75 m waagerechter Entfernung?

8 % entsprechen dem Verhältnis $\mathsf{8:100=0{,}08}$

Die Höhenabnahme berechnet sich als $\mathsf{0{,}08\cdot75=6}$

Erklärung 03

Vertiefung: Winkel in Grad

Für diese Vertiefung brauchst du den Tangens im rechtwinkligen Dreieck und einen Taschenrechner mit Arkustangens. Der Winkel zwischen Waagerechter und schräger Strecke erfüllt $\mathsf{\tan(\alpha)=h:d}$ . Deshalb gilt $\mathsf{\alpha=\arctan(h:d)}$ . Stelle den Rechner auf Gradmaß (DEG). Prozent und Grad sind verschiedene Angaben.

Bilde den Quotienten aus Höhe und waagerechter Entfernung.
Berechne seinen Arkustangens im Gradmodus.
Runde erst den Winkel auf die geforderte Stellenzahl.

$\mathsf{\alpha=\arctan(p:100)}$

Rechtwinklige maßstäbliche Skizze: horizontale Strecke 100, Höhenabnahme 10. Waagerecht: 100 m; Höhenabnahme: 10 m; Schrägstrecke und Winkel am oberen Start markiert.

So geht es am Beispiel

Wandle 10 % Gefälle in einen Winkel um. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Das Längenverhältnis ist $\mathsf{10:100=0{,}10}$

Im Gradmodus: $\mathsf{\arctan(0{,}10)\approx5{,}710593^\circ}$

Auf zwei Nachkommastellen gerundet: $\mathsf{\alpha\approx5{,}71^\circ}$

Erklärung 04

Schräglänge und Richtung beachten

Ist nur die Schräglänge bekannt, musst du zuerst die waagerechte Strecke bestimmen. Dazu brauchst du bei einem rechtwinkligen Dreieck den Satz des Pythagoras.

Der positive Gefällebetrag beschreibt die Stärke der Abwärtsneigung. Eine gerichtete Steigung verwendet dagegen Endhöhe minus Anfangshöhe; sie ist beim Abwärtsgehen negativ. Beim Richtungswechsel wird daraus eine positive Steigung. Weiterlernen: Steigung berechnen vertieft diesen gerichteten Zusammenhang.

Unterscheide horizontale und schräge Entfernung.
Lege Anfang, Ende und Richtung fest.
Trenne den positiven Gefällebetrag von der vorzeichenbehafteten Steigung.

Beim Abwärtsgehen ist die gerichtete Höhenänderung negativ.

Rechtwinklige maßstäbliche Skizze: horizontale Strecke 4, Höhenabnahme 3. Waagerecht: 4 m; Höhenabnahme: 3 m; Schrägstrecke und Winkel am oberen Start markiert.

So geht es am Beispiel

Eine rechtwinklige Skizze zeigt 3 m Höhenabnahme und 5 m Schräglänge. Berechne das Gefälle.

Quadrat der Schräglänge: $\mathsf{5^2=25}$

Quadrat der Höhe: $\mathsf{3^2=9}$

Quadrat der waagerechten Strecke: $\mathsf{25-9=16}$

Waagerechte Strecke: $\mathsf{\sqrt{16}=4}$ Meter.

Längenverhältnis: $\mathsf{3:4=0{,}75}$

Prozentzahl: $\mathsf{0{,}75\cdot100=75}$

So geht es am Beispiel

Ein Weg führt von 12 m Höhe zu 9 m Höhe über 60 m waagerechte Entfernung. Vergleiche Gefällebetrag und gerichtete Steigung.

Gerichtete Höhenänderung: $\mathsf{9-12=-3}$ Meter.

Gerichtetes Verhältnis: $\mathsf{-3:60=-0{,}05}$

Gerichtete Prozentzahl: $\mathsf{-0{,}05\cdot100=-5}$

Der positive Gefällebetrag ist 5 %.

In Gegenrichtung ist die Höhenänderung $\mathsf{12-9=3}$ Meter.

Das positive Verhältnis $\mathsf{3:60=0{,}05}$ ergibt in Gegenrichtung eine Steigung von +5 %.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Gefälle berechnen · BasisEine Strecke fällt auf 50 m waagerechter Entfernung um 4 m. Berechne das Längenverhältnis und das Gefälle in Prozent.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Längenverhältnis
Gefälle
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Längenverhältnis: $\mathsf{4:50=0{,}08}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Prozentzahl: $\mathsf{0{,}08\cdot100=8}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Längenverhältnis0,08
2. Gefälle8 %
02
Aufgabe 2Gefälle berechnen · BasisEine Strecke fällt um 150 cm auf 30 m waagerechter Entfernung. Gib die Höhenabnahme in Metern und das Gefälle in Prozent an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhenabnahme in Metern
Gefälle
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  150 cm sind 1,5 m.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Längenverhältnis: $\mathsf{1{,}5:30=0{,}05}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Prozentzahl: $\mathsf{0{,}05\cdot100=5}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Höhenabnahme in Metern1,5 m
2. Gefälle5 %
03
Aufgabe 3Gefälle berechnen · BasisEin Gefälle beträgt 12 %. Berechne die Höhenabnahme auf 75 m waagerechter Entfernung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Höhenabnahme
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  12 % entsprechen $\mathsf{12:100=0{,}12}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Höhenabnahme: $\mathsf{0{,}12\cdot75=9}$
Ergebnis
1. Höhenabnahme9 m
04
Aufgabe 4Gefälle berechnen · ÜbungDie Höhenabnahme beträgt 6 m, das Gefälle 7,5 %. Bestimme die waagerechte Entfernung.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Waagerechte Entfernung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Verhältnis ist $\mathsf{7{,}5:100=0{,}075}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Aus Höhe gleich Verhältnis mal Entfernung folgt Entfernung gleich Höhe geteilt durch Verhältnis.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Waagerechte Entfernung: $\mathsf{6:0{,}075=80}$
Ergebnis
1. Waagerechte Entfernung80 m
05
Aufgabe 5Gefälle berechnen · ÜbungVertiefung: Berechne zu 8 % Gefälle den Winkel in Grad. Notiere die Arkustangens-Eingabe und runde den Winkel auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Eingabe im Gradmodus
Winkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Verhältnis ist $\mathsf{8:100=0{,}08}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Im Gradmodus: $\mathsf{\arctan(0{,}08)\approx4{,}573921^\circ}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Auf zwei Nachkommastellen: $\mathsf{\alpha\approx4{,}57^\circ}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Eingabe im Gradmodus $\mathsf{\arctan(0{,}08)}$
2. Winkel4,57°
06
Aufgabe 6Gefälle berechnen · ÜbungVertiefung: Jemand behauptet, 100 % Gefälle seien 100°. Ist das richtig? Gib den richtigen Winkel an und begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Richtiger Winkel
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Das Höhen-Horizontal-Verhältnis ist $\mathsf{100:100=1}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Im Gradmodus gilt $\mathsf{\arctan(1)=45^\circ}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Gleich große Höhe und waagerechte Strecke bilden ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. Richtiger Winkel45°
3. Begründung100 % bedeutet, dass Höhe und waagerechte Entfernung gleich groß sind. Der zugehörige Winkel hat Tangens 1 und beträgt 45°.
07
Aufgabe 7Gefälle berechnen · TransferVertiefung mit Pythagoras: Eine rechtwinklige Skizze hat 5 m Höhenabnahme und 13 m Schräglänge. Bestimme die waagerechte Entfernung, das Gefälle in Prozent und den Winkel in Grad. Runde Prozentzahl und Winkel auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Waagerechte Entfernung
Gefälle
Winkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Quadrat der Schräglänge: $\mathsf{13^2=169}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Quadrat der Höhe: $\mathsf{5^2=25}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Quadrat der Horizontalstrecke: $\mathsf{169-25=144}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Horizontalstrecke: $\mathsf{\sqrt{144}=12}$ Meter.
5. Schritt 5 · Erklärung
  Längenverhältnis: $\mathsf{5:12\approx0{,}4166667}$
6. Schritt 6 · Erklärung
  Mit ungerundetem Quotienten: $\mathsf{(5:12)\cdot100\approx41{,}67}$
7. Schritt 7 · Erklärung
  Winkel im Gradmodus: $\mathsf{\arctan(5:12)\approx22{,}62^\circ}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Waagerechte Entfernung12 m
2. Gefälle41,67 %
3. Winkel22,62°
08
Aufgabe 8Gefälle berechnen · TransferEin Weg führt von 82,5 m Höhe zu 80 m Höhe über 50 m waagerechte Entfernung. Gib die gerichtete Höhenänderung, die gerichtete Steigung und den positiven Gefällebetrag an. Welche gerichtete Steigung hat die Gegenrichtung?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gerichtete Höhenänderung
Gerichtete Steigung abwärts
Positiver Gefällebetrag
Gerichtete Steigung in Gegenrichtung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gerichtete Höhenänderung: $\mathsf{80-82{,}5=-2{,}5}$ Meter.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Verhältnis: $\mathsf{-2{,}5:50=-0{,}05}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Gerichtete Prozentzahl: $\mathsf{-0{,}05\cdot100=-5}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Der positive Gefällebetrag beträgt 5 %.
5. Schritt 5 · Erklärung
  In Gegenrichtung steigt die Höhe um 2,5 m; die gerichtete Steigung beträgt +5 %.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gerichtete Höhenänderung−2,5 m
2. Gerichtete Steigung abwärts−5 %
3. Positiver Gefällebetrag5 %
4. Gerichtete Steigung in Gegenrichtung+5 %
09
Aufgabe 9Gefälle berechnen · TransferBeschrifte die vorbereitete Skizze: waagerechte Strecke 40 m, Höhenabnahme 2 m, Schrägstrecke und Winkel am oberen Startpunkt. Schreibe die Beschriftungen an die vier markierten Stellen. Berechne das Gefälle und als Vertiefung den Winkel in Grad auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gefälle
Winkel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die waagerechte Hilfslinie trägt 40 m; die senkrechte Strecke rechts trägt 2 m.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die abwärts verlaufende Verbindung ist die Schrägstrecke; der Winkel liegt links zwischen ihr und der waagerechten Hilfslinie.
3. Schritt 3 · Erklärung
  Verhältnis: $\mathsf{2:40=0{,}05}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Prozentzahl: $\mathsf{0{,}05\cdot100=5}$
5. Schritt 5 · Erklärung
  Winkel: $\mathsf{\arctan(0{,}05)\approx2{,}86^\circ}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gefälle5 %
2. Winkel2,86°

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich verwende die waagerechte Entfernung als Nenner.
Ich rechne Längen vor dem Dividieren in dieselbe Einheit um.
Ich unterscheide Prozent, Grad und gerichtete Steigung.

AT Academy · Version 2026-10-21