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Mit Funktionen rechnen · Erklären & üben

Umkehrfunktion

Eine Umkehrfunktion macht eine eindeutige Zuordnung rückgängig: Aus einer erreichten Ausgabe wird wieder die ursprüngliche Eingabe. Das gelingt nur, wenn verschiedene erlaubte Eingaben verschiedene Ausgaben haben.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Wann ist eine Funktion umkehrbar?

Eine Funktion ist auf ihrem Wertebereich umkehrbar, wenn sie injektiv ist: Jede erreichte Ausgabe gehört zu genau einer Eingabe. Streng steigende oder streng fallende Funktionen auf einem Intervall erfüllen dies.

Eine waagerechte Linie darf den Graphen höchstens einmal treffen. Die Umkehrfunktion wird mit f⁻¹ bezeichnet; das bedeutet nicht den Kehrwert 1/f.

Für die Umkehrfunktion tauschen sich die Mengen: Df−1=Wf\mathsf{D_{f^{-1}}=W_f} und Wf−1=Df\mathsf{W_{f^{-1}}=D_f}. Bei einer ausdrücklich vorgegebenen Zielmenge muss diese genau dem Wertebereich entsprechen, wenn eine Umkehrung auf der ganzen Zielmenge verlangt ist.

Erklärung 02

Nach der ursprünglichen Eingabe auflösen

Schreibe y = f(x), löse nach x auf und benenne anschließend die Eingabe der Umkehrfunktion wieder x. Prüfe die Verkettung f⁻¹(f(x)) = x im ursprünglichen Definitionsbereich.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Umkehrfunktion von f(x) = 2x−3 auf ℝ.

y=2x−3\mathsf{y=2x-3}
y+3=2x\mathsf{y+3=2x}
x=(y+3)/2\mathsf{x=(y+3)/2}
f−1(x)=x+32\mathsf{f^{-1}(x)=\frac{x+3}2}
f−1(f(x))=2x−3+32\mathsf{f^{-1}(f(x))=\frac{2x-3+3}2}
f−1(f(x))=x\mathsf{f^{-1}(f(x))=x}

Ergebnis

f−1(x)=(x+3)/2\mathsf{f^{-1}(x)=(x+3)/2}; Definitions- und Wertebereich sind jeweils ℝ.

Erklärung 03

Quadratfunktion nur mit eingeschränktem Bereich

f(x) = x² ist auf ℝ nicht injektiv: f(−2) = f(2) = 4. Die Ausgabe 4 würde zwei mögliche Rückwege haben.

Auf D = [0; ∞) ist die Funktion streng steigend und hat die Umkehrfunktion √x. Auf D = (−∞; 0] ergibt sich dagegen −√x. Der gewählte Zweig ist Teil der Aufgabe.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Umkehrfunktion von f(x) = x² auf D = [0; ∞).

y=x2\mathsf{y=x^2}

x=y\mathsf{x=\sqrt y} — nichtnegative Eingabe.

f−1(x)=x\mathsf{f^{-1}(x)=\sqrt x}
Df−1=[0;∞)\mathsf{D_{f^{-1}}=[0;\infty)}
Wf−1=[0;∞)\mathsf{W_{f^{-1}}=[0;\infty)}

Ergebnis

Die Probe √(x²) = x gilt hier wegen x ≥ 0. Auf ganz ℝ wäre √(x²) = |x|.

Erklärung 04

Exponentialfunktion und Logarithmus

Die Funktion eˣ ist streng steigend auf ℝ und erreicht genau die positiven Zahlen. Ihre Umkehrfunktion ist ln x mit D = (0; ∞) und W = ℝ.

Es gelten ln(eˣ) = x für alle reellen x und e^(ln x) = x für x > 0. Die Einschränkung beim Logarithmus darf nicht fehlen.

Zuordnung von Definitions- und Wertebereich bei Exponentialfunktion und natürlichem Logarithmus.

So geht es am Beispiel

Bestimme die Umkehrfunktion von f(x) = eˣ+2.

y=ex+2\mathsf{y=e^x+2}
y−2=ex\mathsf{y-2=e^x}
x=ln⁡(y−2)\mathsf{x=\ln(y-2)}
f−1(x)=ln⁡(x−2)\mathsf{f^{-1}(x)=\ln(x-2)}
Df−1=(2;∞)\mathsf{D_{f^{-1}}=(2;\infty)}

Ergebnis

Die Umkehrfunktion hat Wertebereich ℝ; ihr Definitionsbereich ist (2; ∞).

Erklärung 05

Trigonometrische Funktionen: Hauptbereiche

Sinus und Kosinus sind auf ℝ periodisch und daher nicht injektiv. Für die üblichen Umkehrfunktionen werden Hauptbereiche festgelegt. Winkel werden hier im Bogenmaß angegeben.

Sinus auf [−π/2; π/2] ist streng steigend; seine Umkehrfunktion arcsin hat D = [−1; 1] und W = [−π/2; π/2].

Kosinus auf [0; π] ist streng fallend; arccos hat D = [−1; 1] und W = [0; π]. Tangens auf (−π/2; π/2) ist streng steigend; arctan hat D = ℝ und W = (−π/2; π/2).

Deshalb gilt arcsin(sin x) = x nur im gewählten Sinus-Hauptbereich. Beispielsweise ist arcsin(sin π) = 0 und nicht π.

Erklärung 06

Graphen an y = x spiegeln

Der Punkt (a | b) auf f wird zu (b | a) auf f⁻¹. Bei gleich skalierten Achsen sind die beiden Graphen Spiegelbilder an y = x. Punkte auf der Spiegelgeraden bleiben unverändert.

Graphen x-Quadrat für x ab 0 und Wurzel x als Spiegelbilder an y = x, mit vertauschten Punkten (2 | 4) und (4 | 2). Beide Achsen haben denselben Maßstab.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Umkehrfunktion · EinstiegBestimme die Umkehrfunktion von f(x) = 3x+6 auf ℝ und gib beide Mengen an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y=3x+6\mathsf{y=3x+6}
      x=(y−6)/3\mathsf{x=(y-6)/3}
      f−1(x)=x−63\mathsf{f^{-1}(x)=\frac{x-6}3}
      f−1(f(x))=3x+6−63=x\mathsf{f^{-1}(f(x))=\frac{3x+6-6}3=x}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisD = ℝ und W = ℝ für beide Funktionen.
  2. Aufgabe 2Umkehrfunktion · EinstiegBestimme die Umkehrfunktion von f(x) = 5−2x auf ℝ.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y=5−2x\mathsf{y=5-2x}
      2x=5−y\mathsf{2x=5-y}
      x=(5−y)/2\mathsf{x=(5-y)/2}
      f−1(x)=5−x2\mathsf{f^{-1}(x)=\frac{5-x}2}

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisf−1(x)=(5−x)/2\mathsf{f^{-1}(x)=(5-x)/2}, jeweils D = W = ℝ.
  3. Aufgabe 3Umkehrfunktion · StandardWarum ist f(x) = x² auf ℝ nicht umkehrbar? Nenne eine geeignete Einschränkung samt Umkehrfunktion.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      f(−1)=f(1)=1\mathsf{f(-1)=f(1)=1}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Zwei Eingaben haben dieselbe Ausgabe.

    3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg

      Auf [0; ∞) ist die Quadratfunktion streng steigend.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisZum Beispiel D = [0; ∞), Umkehrfunktion √x.
  4. Aufgabe 4Umkehrfunktion · StandardBestimme die Umkehrfunktion von f(x) = x² auf D = (−∞; 0].Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y=x2\mathsf{y=x^2}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      x=−y\mathsf{x=-\sqrt y} — ursprüngliche Eingabe nichtpositiv.

      f−1(x)=−x\mathsf{f^{-1}(x)=-\sqrt x}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDer Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist [0; ∞), ihr Wertebereich (−∞; 0].
  5. Aufgabe 5Umkehrfunktion · StandardBestimme die Umkehrfunktion von f(x) = eˣ−1 mit Definitions- und Wertebereich.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y=ex−1\mathsf{y=e^x-1}
      y+1=ex\mathsf{y+1=e^x}
      x=ln⁡(y+1)\mathsf{x=\ln(y+1)}
      f−1(x)=ln⁡(x+1)\mathsf{f^{-1}(x)=\ln(x+1)}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisUmkehrfunktion: D = (−1; ∞), W = ℝ.
  6. Aufgabe 6Umkehrfunktion · StandardBerechne arcsin(1/2) im Hauptbereich. Ist 5π/6 ebenfalls der Wert von arcsin(1/2)?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      sin⁡(π/6)=12\mathsf{\sin(\pi/6)=\frac12}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      π/6 liegt in [−π/2; π/2]. 5π/6 liegt außerhalb dieses Hauptbereichs.

    Ergebnis

    1. Rechnung und Ergebnisarcsin(1/2) = π/6. 5π/6 löst zwar sin x = 1/2, ist aber nicht der Hauptwert.
  7. Aufgabe 7Umkehrfunktion · Standardf enthält den Punkt (2 | 7) und ist umkehrbar. Welcher Punkt gehört zu f⁻¹? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      f ordnet der Eingabe 2 die Ausgabe 7 zu.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Umkehrfunktion ordnet der Eingabe 7 wieder die Ausgabe 2 zu.

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDer Punkt (7 | 2).
  8. Aufgabe 8Umkehrfunktion · VertiefungEine Person schreibt für f(x) = 2x die Umkehrfunktion 1/(2x). Korrigiere und prüfe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      y=2x\mathsf{y=2x}
      x=y/2\mathsf{x=y/2}
      f−1(x)=x/2\mathsf{f^{-1}(x)=x/2}
      f−1(f(x))=2x/2=x\mathsf{f^{-1}(f(x))=2x/2=x}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDie Umkehrfunktion ist x/2; 1/(2x) ist lediglich der Kehrwert des Funktionswerts.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe eindeutige Rückwege.
  • Ich tausche Definitions- und Wertebereich.
  • Ich beachte bei Wurzeln und Winkelfunktionen den gewählten Zweig.
  • Ich unterscheide Umkehrfunktion und Kehrwert.

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