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Integrationsmethoden und Flächen · Erklären & üben

Uneigentliche Integrale

Ein Integral heißt uneigentlich, wenn das Intervall unbeschränkt ist oder die Funktion an einer Integrationsgrenze beziehungsweise im Inneren unbeschränkt wird. Wir ersetzen jede problematische Stelle durch einen eigenen Grenzwert.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Eine unendliche Grenze als Grenzwert lesen

∫a∞f(x) dx\mathsf{\int_a^{\infty}f(x)\,dx} bedeutet lim⁡R→∞∫aRf(x) dx\mathsf{\lim_{R\to\infty}\int_a^R f(x)\,dx}. Zunächst rechnest du also mit einer endlichen Grenze R.

Existiert dieser Grenzwert als endliche reelle Zahl, heißt das Integral konvergent. Andernfalls ist es divergent. Ein Ergebnis +∞ ist kein endlicher Integralwert.

Graph 1/x-Quadrat ab 1 mit markierter Teilfläche; die Fläche setzt sich nach rechts fort und hat insgesamt Inhalt 1.

So geht es am Beispiel

Untersuche ∫₁∞ 1/x² dx.

∫1Rx−2 dx=[−1/x]1R\mathsf{\int_1^R x^{-2}\,dx=[-1/x]_1^R}
∫1Rx−2 dx=1−1R\mathsf{\int_1^R x^{-2}\,dx=1-\frac1R}
lim⁡R→∞(1−1/R)=1\mathsf{\lim_{R\to\infty}(1-1/R)=1}

Ergebnis

Das Integral konvergiert gegen 1. Die nach rechts unbeschränkte Fläche hat trotzdem endlichen Inhalt.

Erklärung 02

Nicht jede abklingende Funktion reicht

Dass f(x) gegen 0 geht, garantiert keinen endlichen Flächeninhalt. Entscheidend ist das aufsummierte Verhalten.

Für Potenzfunktionen gilt ∫1∞x−p dx\mathsf{\int_1^{\infty}x^{-p}\,dx}: konvergent für p > 1, divergent für p ≤ 1. Der Grenzfall p = 1 führt auf den Logarithmus.

Vergleich von 1/x und 1/x-Quadrat ab 1; beide klingen ab, nur das zweite Integral konvergiert.

So geht es am Beispiel

Untersuche ∫₁∞ 1/x dx.

∫1R1x dx=[ln⁡x]1R\mathsf{\int_1^R\frac1x\,dx=[\ln x]_1^R}
∫1R1x dx=ln⁡R\mathsf{\int_1^R\frac1x\,dx=\ln R}
lim⁡R→∞ln⁡R=+∞\mathsf{\lim_{R\to\infty}\ln R=+\infty}

Ergebnis

Das Integral divergiert, obwohl 1/x gegen 0 geht.

Erklärung 03

Eine unbeschränkte Funktion an einer endlichen Grenze

Bei einer problematischen unteren Grenze 0 rechnen wir zunächst ab ε > 0 und lassen dann ε gegen 0 von rechts gehen. Die unzulässige Stelle wird nicht in eine Stammfunktion eingesetzt.

Für ∫01x−p dx\mathsf{\int_0^1x^{-p}\,dx} ist die Schwelle umgekehrt zum unendlichen Intervall: Konvergenz gilt für p < 1, Divergenz für p ≥ 1.

So geht es am Beispiel

Untersuche ∫₀¹ 1/√x dx.

∫ε1x−1/2 dx=[2x]ε1\mathsf{\int_{\varepsilon}^1x^{-1/2}\,dx=[2\sqrt x]_{\varepsilon}^1}
∫ε1x−1/2 dx=2−2ε\mathsf{\int_{\varepsilon}^1x^{-1/2}\,dx=2-2\sqrt\varepsilon}
lim⁡ε→0+(2−2ε)=2\mathsf{\lim_{\varepsilon\to0^+}(2-2\sqrt\varepsilon)=2}

Ergebnis

Das Integral konvergiert gegen 2, obwohl der Graph bei 0 unbeschränkt ist.

Erklärung 04

Innere Problemstellen getrennt behandeln

Liegt eine Singularität c innerhalb von [a; b], müssen ∫acf(x) dx\mathsf{\int_a^c f(x)\,dx} und ∫cbf(x) dx\mathsf{\int_c^b f(x)\,dx} jeweils als eigener einseitiger Grenzwert konvergieren. Erst dann dürfen ihre Werte addiert werden.

Entgegengesetzte unendliche Werte dürfen sich nicht gegenseitig aufheben. Eine symmetrische Annäherung kann einen sogenannten Hauptwert liefern, ist aber kein Ersatz für das uneigentliche Integral.

So geht es am Beispiel

Untersuche ∫₋₁¹ 1/x dx.

∫−1−ε1x dx=ln⁡ε\mathsf{\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac1x\,dx=\ln\varepsilon} — linke Seite.

lim⁡ε→0+ln⁡ε=−∞\mathsf{\lim_{\varepsilon\to0^+}\ln\varepsilon=-\infty}

∫δ11x dx=−ln⁡δ\mathsf{\int_{\delta}^1\frac1x\,dx=-\ln\delta} — rechte Seite.

lim⁡δ→0+(−ln⁡δ)=+∞\mathsf{\lim_{\delta\to0^+}(-\ln\delta)=+\infty}

Ergebnis

Das uneigentliche Integral divergiert. Die symmetrische Verrechnung zu 0 ist hier kein Integralwert.

Erklärung 05

Zwei unendliche Grenzen brauchen zwei Grenzwerte

Für ∫−∞∞f(x) dx\mathsf{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx} wählst du eine feste Trennstelle c. Die Integrale von −∞ bis c und von c bis +∞ müssen beide getrennt konvergieren.

Bei mehreren problematischen Stellen wird an jeder aufgeteilt. Die Summe ist erst erlaubt, wenn alle einzelnen Grenzwerte endlich existieren.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Uneigentliche Integrale · EinstiegUntersuche ∫₂∞ 1/x² dx auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Wert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∫2Rx−2 dx=12−1R\mathsf{\int_2^R x^{-2}\,dx=\frac12-\frac1R}
      lim⁡R→∞(1/2−1/R)=12\mathsf{\lim_{R\to\infty}(1/2-1/R)=\frac12}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisKonvergent; Wert 1/2.
  2. Aufgabe 2Uneigentliche Integrale · EinstiegUntersuche ∫₁∞ 3/x⁴ dx.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∫1R3x−4 dx=[−x−3]1R\mathsf{\int_1^R3x^{-4}\,dx=[-x^{-3}]_1^R}
      ∫1R3x−4 dx=1−R−3\mathsf{\int_1^R3x^{-4}\,dx=1-R^{-3}}
      lim⁡R→∞(1−R−3)=1\mathsf{\lim_{R\to\infty}(1-R^{-3})=1}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisKonvergent; Wert 1.
  3. Aufgabe 3Uneigentliche Integrale · StandardUntersuche ∫₁∞ 1/√x dx.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∫1Rx−1/2 dx=2R−2\mathsf{\int_1^R x^{-1/2}\,dx=2\sqrt R-2}
      lim⁡R→∞(2R−2)=+∞\mathsf{\lim_{R\to\infty}(2\sqrt R-2)=+\infty}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDivergent; kein endlicher Integralwert.
  4. Aufgabe 4Uneigentliche Integrale · StandardUntersuche ∫₀∞ e⁻ˣ dx.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∫0Re−x dx=[−e−x]0R\mathsf{\int_0^R e^{-x}\,dx=[-e^{-x}]_0^R}
      ∫0Re−x dx=1−e−R\mathsf{\int_0^R e^{-x}\,dx=1-e^{-R}}
      lim⁡R→∞(1−e−R)=1\mathsf{\lim_{R\to\infty}(1-e^{-R})=1}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisKonvergent; Wert 1.
  5. Aufgabe 5Uneigentliche Integrale · StandardUntersuche ∫₀¹ 1/x² dx.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∫ε1x−2 dx=−1+1/ε\mathsf{\int_{\varepsilon}^1x^{-2}\,dx=-1+1/\varepsilon}
      lim⁡ε→0+(−1+1/ε)=+∞\mathsf{\lim_{\varepsilon\to0^+}(-1+1/\varepsilon)=+\infty}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisDivergent; die Problemstelle liegt bei 0.
  6. Aufgabe 6Uneigentliche Integrale · StandardUntersuche ∫₀⁴ 1/√x dx.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      ∫ε4x−1/2 dx=4−2ε\mathsf{\int_{\varepsilon}^4x^{-1/2}\,dx=4-2\sqrt\varepsilon}
      lim⁡ε→0+(4−2ε)=4\mathsf{\lim_{\varepsilon\to0^+}(4-2\sqrt\varepsilon)=4}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisKonvergent; Wert 4.
  7. Aufgabe 7Uneigentliche Integrale · StandardJemand setzt für ∫₋₁¹ 1/x dx symmetrische Grenzen ein und erhält 0. Erkläre, warum das keine Konvergenz beweist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Stelle 0 ist eine innere Singularität. Beide Seiten brauchen voneinander unabhängige Grenzwerte.

      ∫−1−ε1/x dx=ln⁡ε→−∞\mathsf{\int_{-1}^{-\varepsilon}1/x\,dx=\ln\varepsilon\to-\infty}
      ∫δ11/x dx=−ln⁡δ→+∞\mathsf{\int_{\delta}^1 1/x\,dx=-\ln\delta\to+\infty}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisBeide Seiten divergieren. Ein symmetrischer Hauptwert 0 ersetzt den Integralwert nicht.
  8. Aufgabe 8Uneigentliche Integrale · VertiefungUntersuche ∫₋∞∞ e⁻|x| dx durch Aufteilung bei 0.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Für x < 0 ist e⁻|x| = eˣ; für x ≥ 0 ist es e⁻ˣ.

      ∫L0ex dx=1−eL\mathsf{\int_L^0 e^x\,dx=1-e^L}
      lim⁡L→−∞(1−eL)=1\mathsf{\lim_{L\to-\infty}(1-e^L)=1}
      ∫0Re−x dx=1−e−R\mathsf{\int_0^R e^{-x}\,dx=1-e^{-R}}
      lim⁡R→∞(1−e−R)=1\mathsf{\lim_{R\to\infty}(1-e^{-R})=1}
      I=1+1=2\mathsf{I=1+1=2}

    Ergebnis

    1. Rechnung und ErgebnisBeide Teile konvergieren; das Integral hat Wert 2.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich ersetze problematische Grenzen durch Grenzwerte.
  • Ich prüfe alle Problemstellen getrennt.
  • Ich unterscheide endliche Konvergenz und Divergenz.
  • Ich verwechsle einen symmetrischen Hauptwert nicht mit einem Integral.

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