Vektoren · Erklären & üben

Vektorrechnung

Ein Vektor beschreibt eine gerichtete Verschiebung. Du kannst solche Verschiebungen zusammensetzen und skalieren. Bei Produkten kommt es auf die Rechenart an.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vektoren und Komponenten

Ein Punkt gibt einen Ort an. Der Ortsvektor führt vom Ursprung zu diesem Punkt. Ein freier Vektor beschreibt dieselbe Verschiebung unabhängig vom Startort.

Die Komponenten geben die Verschiebung in den Achsenrichtungen an. $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$ bedeutet: 3 Einheiten nach rechts und 2 nach unten.

Addiert oder subtrahiert werden nur Vektoren gleicher Dimension. Der Nullvektor hat ausschließlich Komponenten 0.

Erklärung 02

Vektoren addieren

Setze den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten. Der Summenvektor führt vom ersten Startpunkt zur letzten Spitze. Rechnerisch addierst du passende Komponenten.

Pfeil a von (0|0) nach (2|1), b anschließend nach (3|3), Summe vom Ursprung nach (3|3).

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{\begin{pmatrix}2+(1)\\1+(2)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.

$\mathsf{\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.

Erklärung 03

Mit einer Zahl multiplizieren

Ein Skalar ist hier eine reelle Zahl. Multipliziere jede Komponente mit diesem Faktor. Der Betrag des Faktors verändert die Länge. Ein negativer Faktor kehrt die Richtung um.

Der Faktor 0 ergibt den Nullvektor. Der Faktor 1 lässt den Vektor unverändert.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{-2\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{\begin{pmatrix}-2\cdot(1)\\-2\cdot(-3)\end{pmatrix}}$ — jede Komponente mit dem Faktor multiplizieren.

$\mathsf{\begin{pmatrix}-2\\6\end{pmatrix}}$ — Produkte ausrechnen.

Erklärung 04

Skalarprodukt: Das Ergebnis ist eine Zahl

Für gleich dimensionale Vektoren gilt $\mathsf{\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2}$ in der Ebene; im Raum kommt $\mathsf{a_3b_3}$ hinzu.

Zwei von null verschiedene Vektoren sind senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist. Beim Nullvektor gibt es keine Richtung, obwohl sein Skalarprodukt mit jedem Vektor 0 ergibt.

Winkelberechnung und weitere Anwendungen folgen im eigenen Thema zum Skalarprodukt.

So geht es am Beispiel

Berechne das Skalarprodukt von $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{(2)\cdot(-1)+(1)\cdot(2)}$ — entsprechende Komponenten multiplizieren und addieren.

$\mathsf{(-2)+(2)=0}$ — die Produkte ausrechnen und summieren.

Erklärung 05

Kreuzprodukt: Das Ergebnis ist ein Vektor

Das Kreuzprodukt wird hier für Vektoren im dreidimensionalen Raum verwendet: $\mathsf{\vec a\times\vec b=\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}}$ .

Das Ergebnis steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren, sofern es nicht der Nullvektor ist. Die Reihenfolge zählt: Beim Vertauschen wechseln alle Vorzeichen.

Flächenberechnungen und räumliche Anwendungen werden später im Kreuzproduktthema vertieft. Die Schnittgerade zweier Ebenen erfordert zusätzlich Ebenengleichungen und das Lösen eines Systems; sie gehört zum späteren Thema Ebenenschnitt.

So geht es am Beispiel

Berechne $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}$ .

$\mathsf{\begin{pmatrix}(0)(0)-(0)(2)\\(0)(0)-(1)(0)\\(1)(2)-(0)(0)\end{pmatrix}}$ — die drei Komponenten nach der Kreuzproduktformel bilden.

$\mathsf{\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}$ — Produkte und Differenzen ausrechnen.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Vektorrechnung · EinstiegBerechne $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}3+(2)\\-1+(4)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.
Ergebnis
1. Ergebnis mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}}$
02
Aufgabe 2Vektorrechnung · EinstiegBerechne $\mathsf{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Ergebnis mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}4-(1)\\2-(5)\end{pmatrix}}$ — passende Komponenten miteinander verrechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}$ — jede Komponente ausrechnen.
Ergebnis
1. Ergebnis mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}$
03
Aufgabe 3Vektorrechnung · StandardBerechne $\mathsf{-3\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vektor mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}-3\cdot(2)\\-3\cdot(-1)\end{pmatrix}}$ — jede Komponente mit dem Faktor multiplizieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}-6\\3\end{pmatrix}}$ — Produkte ausrechnen.
Ergebnis
1. Vektor mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}-6\\3\end{pmatrix}}$
04
Aufgabe 4Vektorrechnung · StandardBestimme getrennt a) $\mathsf{0\cdot\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}$ und b) $\mathsf{1\cdot\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Vektor
b) Vektor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{0\cdot\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ — jede Komponente wird null.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{1\cdot\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}$ — der Faktor 1 verändert keine Komponente.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Vektor $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
2. b) Vektor $\mathsf{\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}$
05
Aufgabe 5Vektorrechnung · StandardBerechne das Skalarprodukt von $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Skalarprodukt mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(1)\cdot(2)+(3)\cdot(-2)}$ — entsprechende Komponenten multiplizieren und addieren.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{(2)+(-6)=-4}$ — die Produkte ausrechnen und summieren.
Ergebnis
1. Skalarprodukt mit Rechnung $\mathsf{-4}$
06
Aufgabe 6Vektorrechnung · StandardSind $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}$ senkrecht? Begründe rechnerisch.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{3\cdot1+1\cdot(-3)=0}$ — das Skalarprodukt berechnen.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Beide Vektoren sind von null verschieden.
Ergebnis
1. Urteil mit RechnungJa. Das Skalarprodukt ist 0 und beide Vektoren sind von null verschieden.
07
Aufgabe 7Vektorrechnung · StandardBerechne $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Kreuzprodukt mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}(0)(3)-(0)(0)\\(0)(0)-(1)(3)\\(1)(0)-(0)(0)\end{pmatrix}}$ — die drei Komponenten nach der Kreuzproduktformel bilden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\-3\\0\end{pmatrix}}$ — Produkte und Differenzen ausrechnen.
Ergebnis
1. Kreuzprodukt mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\-3\\0\end{pmatrix}}$
08
Aufgabe 8Vektorrechnung · VertiefungWelche Art von Ergebnis liefern a) Vektoraddition, b) Skalarprodukt und c) Kreuzprodukt im Raum?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Ergebnisart
b) Ergebnisart
c) Ergebnisart
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Addition liefert einen Vektor gleicher Dimension.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Das Skalarprodukt liefert eine Zahl.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  Das Kreuzprodukt liefert einen dreidimensionalen Vektor.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) ErgebnisartVektor.
2. b) ErgebnisartZahl (Skalar).
3. c) ErgebnisartVektor in drei Dimensionen.
09
Aufgabe 9Vektorrechnung · VertiefungJemand addiert $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}}$ . Beurteile den Ansatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beurteilung mit Grund
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Vektoren haben zwei beziehungsweise drei Komponenten.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Eine komponentenweise Addition ist nur bei gleicher Dimension definiert.
Ergebnis
1. Beurteilung mit GrundDiese Addition ist nicht definiert; die Dimensionen stimmen nicht überein.
10
Aufgabe 10Vektorrechnung · VertiefungFür $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$ und $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ berechne getrennt a) $\mathsf{\vec a\times\vec b}$ und b) $\mathsf{\vec b\times\vec a}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Kreuzprodukt
b) Kreuzprodukt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}(0)(0)-(0)(1)\\(0)(0)-(1)(0)\\(1)(1)-(0)(0)\end{pmatrix}}$ — die drei Komponenten nach der Kreuzproduktformel bilden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ — Produkte und Differenzen ausrechnen.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}(1)(0)-(0)(0)\\(0)(1)-(0)(0)\\(0)(0)-(1)(1)\end{pmatrix}}$ — die drei Komponenten nach der Kreuzproduktformel bilden.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}}$ — Produkte und Differenzen ausrechnen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Kreuzprodukt $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$
2. b) Kreuzprodukt $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Punkte und Vektoren.
Ich rechne komponentenweise und prüfe die Vorzeichen.
Ich deute mein Ergebnis geometrisch.

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