Vektoren · Erklären & üben

Vektor berechnen

Aus zwei Punkten entsteht ein gerichteter Verbindungsvektor. Entscheidend ist die Reihenfolge: Du rechnest Endpunkt minus Startpunkt.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vom Start zum Ende

Für den Vektor von A nach B gilt $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a}$ . Die Reihenfolge entspricht der Pfeilrichtung.

Punktkoordinaten beschreiben Orte. Vektorkomponenten beschreiben die Verschiebung zwischen ihnen. Die Rechnung funktioniert in zwei und drei Dimensionen.

A(1|1) nach B(4|3): drei Einheiten rechts und zwei nach oben.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Vektor $\mathsf{\overrightarrow{AB}}$ für $\mathsf{A(1\mid 1)}$ und $\mathsf{B(4\mid 3)}$ .

$\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ — Endpunkt minus Startpunkt.

$\mathsf{\begin{pmatrix}4-(1)\\3-(1)\end{pmatrix}}$ — Komponenten subtrahieren.

$\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$ — Differenzen ausrechnen.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Vektor $\mathsf{\overrightarrow{AB}}$ für $\mathsf{A(-1\mid 2\mid 3)}$ und $\mathsf{B(2\mid -2\mid 5)}$ .

$\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-2\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}}$ — Endpunkt minus Startpunkt.

$\mathsf{\begin{pmatrix}2-(-1)\\-2-(2)\\5-(3)\end{pmatrix}}$ — Komponenten subtrahieren.

$\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}$ — Differenzen ausrechnen.

Erklärung 02

Umkehrung und Nullvektor

Der Gegenvektor führt zurück: $\mathsf{\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}}$ . Alle Komponenten wechseln das Vorzeichen.

Sind Start- und Endpunkt gleich, ist der Verbindungsvektor der Nullvektor. Er hat Länge 0 und keine festgelegte Richtung.

Erklärung 03

Einen fehlenden Punkt bestimmen

Ist der Startpunkt A bekannt, gilt $\mathsf{\vec b=\vec a+\overrightarrow{AB}}$ . Ist der Endpunkt B bekannt, gilt $\mathsf{\vec a=\vec b-\overrightarrow{AB}}$ .

Kontrolliere den gefundenen Punkt mit Ende minus Start.

So geht es am Beispiel

Gegeben sind $\mathsf{A(-2\mid 1)}$ und $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$ . Bestimme B.

$\mathsf{\vec b-\vec a=\overrightarrow{AB}}$ — die Verbindungsformel verwenden.

$\mathsf{\vec b=\vec a+\overrightarrow{AB}}$ — den Ortsvektor von A addieren.

$\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}$ — die Komponenten addieren.

Erklärung 04

Gleiche Verschiebung an anderem Ort

Zwei Pfeile können an verschiedenen Orten beginnen und trotzdem denselben freien Vektor darstellen. Richtung und Länge müssen übereinstimmen.

Verschiebst du beide Endpunkte um denselben Vektor, bleibt ihre Differenz gleich. Weitere Rechenarten stehen im Überblick Vektorrechnung.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Vektor berechnen · EinstiegBestimme den Vektor $\mathsf{\overrightarrow{AB}}$ für $\mathsf{A(0\mid 0)}$ und $\mathsf{B(3\mid 2)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verbindungsvektor mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ — Endpunkt minus Startpunkt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}3-(0)\\2-(0)\end{pmatrix}}$ — Komponenten subtrahieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$ — Differenzen ausrechnen.
Ergebnis
1. Verbindungsvektor mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$
02
Aufgabe 2Vektor berechnen · EinstiegBestimme den Vektor $\mathsf{\overrightarrow{AB}}$ für $\mathsf{A(-2\mid 4)}$ und $\mathsf{B(1\mid -1)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verbindungsvektor mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}}$ — Endpunkt minus Startpunkt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}1-(-2)\\-1-(4)\end{pmatrix}}$ — Komponenten subtrahieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}}$ — Differenzen ausrechnen.
Ergebnis
1. Verbindungsvektor mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}}$
03
Aufgabe 3Vektor berechnen · StandardBestimme den Vektor $\mathsf{\overrightarrow{AB}}$ für $\mathsf{A(2\mid -1\mid 0)}$ und $\mathsf{B(-1\mid 3\mid 5)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verbindungsvektor mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}}$ — Endpunkt minus Startpunkt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}-1-(2)\\3-(-1)\\5-(0)\end{pmatrix}}$ — Komponenten subtrahieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-3\\4\\5\end{pmatrix}}$ — Differenzen ausrechnen.
Ergebnis
1. Verbindungsvektor mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}-3\\4\\5\end{pmatrix}}$
04
Aufgabe 4Vektor berechnen · StandardFür $\mathsf{A(1\mid2)}$ und $\mathsf{B(4\mid-1)}$ bestimme getrennt a) $\mathsf{\overrightarrow{AB}}$ und b) $\mathsf{\overrightarrow{BA}}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Vektor AB
b) Vektor BA
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$ — Endpunkt minus Startpunkt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}4-(1)\\-1-(2)\end{pmatrix}}$ — Komponenten subtrahieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}$ — Differenzen ausrechnen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}$ — Endpunkt minus Startpunkt.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}1-(4)\\2-(-1)\end{pmatrix}}$ — Komponenten subtrahieren.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}}$ — Differenzen ausrechnen.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Vektor AB $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}$
2. b) Vektor BA $\mathsf{\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}}$
05
Aufgabe 5Vektor berechnen · StandardGegeben sind $\mathsf{A(2\mid -3)}$ und $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}$ . Bestimme B.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Endpunkt mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec b-\vec a=\overrightarrow{AB}}$ — die Verbindungsformel verwenden.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec b=\vec a+\overrightarrow{AB}}$ — den Ortsvektor von A addieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec b=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-2\end{pmatrix}}$ — die Komponenten addieren.
Ergebnis
1. Endpunkt mit Rechnung $\mathsf{B(6\mid -2)}$
06
Aufgabe 6Vektor berechnen · StandardGegeben sind $\mathsf{B(5\mid1)}$ und $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$ . Bestimme A.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Startpunkt mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a+\overrightarrow{AB}=\vec b}$ — vom Startpunkt mit dem Verbindungsvektor zum Endpunkt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a=\vec b-\overrightarrow{AB}}$ — den Verbindungsvektor auf beiden Seiten subtrahieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\vec a=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ — Komponenten subtrahieren.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$ — Verbindungsvektor prüfen.
Ergebnis
1. Startpunkt mit Rechnung $\mathsf{A(2\mid3)}$
07
Aufgabe 7Vektor berechnen · StandardBestimme den Vektor $\mathsf{\overrightarrow{AB}}$ für $\mathsf{A(3\mid -2)}$ und $\mathsf{B(3\mid -2)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verbindungsvektor mit Rechnung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$ — Endpunkt minus Startpunkt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}3-(3)\\-2-(-2)\end{pmatrix}}$ — Komponenten subtrahieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ — Differenzen ausrechnen.
Ergebnis
1. Verbindungsvektor mit Rechnung $\mathsf{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$
08
Aufgabe 8Vektor berechnen · VertiefungJemand berechnet den Vektor von $\mathsf{A(2\mid1)}$ nach $\mathsf{B(5\mid4)}$ als $\mathsf{\begin{pmatrix}-3\\-3\end{pmatrix}}$ . Erkläre den Fehler und gib das richtige Ergebnis an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlererklärung
Richtiger Vektor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Start minus Ende wurde gerechnet; das liefert den Gegenvektor.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$ — Endpunkt minus Startpunkt.
Ergebnisse & Teilantworten
1. FehlererklärungDie Reihenfolge wurde vertauscht.
2. Richtiger Vektor $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}$
09
Aufgabe 9Vektor berechnen · VertiefungVergleiche die Verschiebungen $\mathsf{A(1\mid1)\to B(4\mid3)}$ und $\mathsf{C(-2\mid0)\to D(1\mid2)}$ . Berechne beide und begründe das Urteil.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Vektor AB
Vektor CD
Urteil
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ — Endpunkt minus Startpunkt.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}4-(1)\\3-(1)\end{pmatrix}}$ — Komponenten subtrahieren.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$ — Differenzen ausrechnen.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}}$ — Endpunkt minus Startpunkt.
5. Schritt 5 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}1-(-2)\\2-(0)\end{pmatrix}}$ — Komponenten subtrahieren.
6. Schritt 6 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{CD}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$ — Differenzen ausrechnen.
7. Schritt 7 · Rechnung / Rechenweg
  Die Komponenten stimmen überein.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Vektor AB $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$
2. Vektor CD $\mathsf{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$
3. UrteilBeide Pfeile stellen denselben freien Vektor dar.
10
Aufgabe 10Vektor berechnen · VertiefungFür $\mathsf{A(0\mid1)}$ , $\mathsf{B(2\mid3)}$ und $\mathsf{C(5\mid2)}$ berechne a) den direkten Vektor AC und b) die Summe AB + BC. Vergleiche.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
a) Direkter Vektor
b) Summe
Vergleich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}$ — direkter Weg.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$ — erster Wegabschnitt.
3. Schritt 3 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$ — zweiter Wegabschnitt.
4. Schritt 4 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}$ — Wegabschnitte addieren.
Ergebnisse & Teilantworten
1. a) Direkter Vektor $\mathsf{\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}$
2. b) Summe $\mathsf{\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}$
3. VergleichBeide Wege liefern denselben Vektor.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Punkte und Vektoren.
Ich rechne komponentenweise und prüfe die Vorzeichen.
Ich deute mein Ergebnis geometrisch.

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