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Geometrische Grundlagen · Erklären & üben

Vieleck

Ein Vieleck wird von endlich vielen geraden Seiten begrenzt. Hier betrachten wir einfache Vielecke: Ihr Rand schneidet sich nicht selbst.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Geschlossen und aus Strecken

Ein Vieleck hat mindestens drei Seiten. Die Seiten bilden einen geschlossenen Rand und treffen sich nur an benachbarten Endpunkten. Eine offene Linie, ein Kreis oder ein sich selbst schneidender Stern gehört nicht zu den hier betrachteten einfachen Vielecken. Ein konvexes Vieleck hat keine einspringende Ecke; bei einem konkaven gibt es mindestens einen Innenwinkel über 180°.

  1. Prüfe gerade Seiten.

  2. Prüfe Geschlossenheit und Selbstüberschneidungen.

  3. Zähle die Ecken.

Anzahl der Seiten = Anzahl der Ecken.

Konvexes Viereck und konkaves Fünfeck ohne Selbstüberschneidung.

Erklärung 02

Regelmäßig ist mehr als gleichseitig

Ein regelmäßiges Vieleck hat gleich lange Seiten und gleich große Innenwinkel. Fehlt mindestens eine dieser Bedingungen, ist es unregelmäßig. Eine nichtquadratische Raute hat zwar gleiche Seiten, aber verschiedene Winkel.

  1. Vergleiche alle Seiten.

  2. Vergleiche alle Innenwinkel.

Gleiche Seiten allein reichen nicht aus.

Sechs gleiche Seiten und sechs gleiche Innenwinkel.

Erklärung 03

Umfang, Winkel und Diagonalen

Für ein einfaches n-Eck beträgt die Innenwinkelsumme (n−2) mal 180°. Bei konvexen Vielecken zeigt das ein Fächer aus n−2 Dreiecken. Eine Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Ecken. Jede Ecke hat n−3 solche Verbindungen; jede Diagonale wird dabei doppelt gezählt.

  1. Addiere die Seiten für den Umfang.

  2. Nutze beim regelmäßigen Vieleck n mal Seitenlänge.

  3. Teile die Winkelsumme nur bei regelmäßigen Vielecken durch n.

S=(n−2)⋅180∘,d=n(n−3)2\mathsf{S=(n-2)\cdot180^\circ,\qquad d=\frac{n(n-3)}{2}}

So geht es am Beispiel

Bestimme Winkelsumme und Diagonalenzahl eines Fünfecks.

S=(5−2)⋅180∘=540∘\mathsf{S=(5-2)\cdot180^\circ=540^\circ}
d=5⋅22=5\mathsf{d=\frac{5\cdot2}{2}=5}

Ergebnis

Ein Fünfeck hat fünf Diagonalen.

So geht es am Beispiel

Wie groß ist jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Achtecks?

S=6⋅180∘=1080∘\mathsf{S=6\cdot180^\circ=1080^\circ}
α=1080∘:8=135∘\mathsf{\alpha=1080^\circ:8=135^\circ}

Ergebnis

Jeder Innenwinkel beträgt 135°.

Erklärung 04

Spezielle Vielecke weiter untersuchen

Dreiecke, Vierecke, Fünfecke und Sechsecke sind spezielle Vielecke. Die Themen Fünfeck und Sechseck behandeln ihre regelmäßigen Formen und passende Flächenberechnungen. Der Formenüberblick hilft beim Einordnen; ein Kreis ist kein Vieleck.

  1. Benenne nach der Eckenzahl.

  2. Prüfe zusätzlich die Regelmäßigkeit.

Eine endliche Zahl gerader Seiten unterscheidet das Vieleck von der Kreislinie.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Vieleck · AnwendenEine geschlossene Figur hat vier gerade Seiten und eine gebogene Seite. Ist sie ein Vieleck?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Alle Seiten eines Vielecks müssen Strecken sein.

    Ergebnis

    1. BegründungNein. Eine gebogene Randseite widerspricht der Vieleckdefinition.
  2. Aufgabe 2Vieleck · AnwendenEin einfaches Vieleck hat sieben Ecken. Wie viele Seiten hat es und wie heißt es?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Jede Ecke verbindet zwei benachbarte Seiten im geschlossenen Rand.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Seitenzahl7
    2. NameSiebeneck
  3. Aufgabe 3Vieleck · AnwendenBerechne die Innenwinkelsumme eines Neunecks.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      S=(9−2)⋅180∘=1260∘\mathsf{S=(9-2)\cdot180^\circ=1260^\circ}

    Ergebnis

    1. Winkelsumme1260∘\mathsf{1260^\circ}
  4. Aufgabe 4Vieleck · AnwendenWie viele Diagonalen hat ein Achteck?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      d=8(8−3)2=20\mathsf{d=\frac{8(8-3)}2=20}

    Ergebnis

    1. Diagonalenzahl20
  5. Aufgabe 5Vieleck · AnwendenZeichne in das vorgegebene Fünfeck alle Diagonalen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Diagonalen

    Beschriftetes Fünfeck ohne Diagonalen.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Verbinde jede Ecke mit den beiden nicht benachbarten Ecken.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zeichne jede Verbindung nur einmal.

    Ergebnis

    1. DiagonalenAlle fünf Diagonalen des Fünfecks.
  6. Aufgabe 6Vieleck · AnwendenEine Raute hat Winkel 60°,120°,60°,120°. Ist sie ein regelmäßiges Vieleck?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Alle Seiten sind gleich lang, aber die Innenwinkel sind nicht alle gleich.

    Ergebnis

    1. BegründungNein. Für Regelmäßigkeit müssten zusätzlich alle Winkel gleich groß sein.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

AT Academy · Version 2026-10-21

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