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Vierecke · Erklären & üben

Vierecke

Vier Ecken allein reichen zur Einordnung noch nicht. Seiten, Winkel und Diagonalen zeigen, welche besonderen Eigenschaften ein Viereck hat.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Vier Seiten, zwei Diagonalen

Hier betrachten wir einfache Vierecke: Ihre Seiten kreuzen sich nicht. Vier verschiedene Eckpunkte werden der Reihe nach verbunden; benachbarte Seiten liegen nicht auf derselben Geraden. Bei einem konvexen Viereck liegen beide Diagonalen innen. Ein einspringendes Viereck hat einen Innenwinkel größer als 180 Grad. Auch dort beträgt die Innenwinkelsumme 360 Grad.

  1. Benenne die Ecken der Reihe nach A, B, C und D.

  2. Verbinde gegenüberliegende Ecken zu Diagonalen.

  3. Addiere die vier Seiten für den Umfang.

α+β+γ+δ=360∘\mathsf{\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ}

Links konvexes Viereck mit inneren Diagonalen; rechts eine einspringende Ecke.

So geht es am Beispiel

Drei Innenwinkel eines Vierecks sind 82, 106 und 95 Grad. Bestimme den vierten.

82∘+106∘+95∘=283∘\mathsf{82^\circ+106^\circ+95^\circ=283^\circ}
δ=360∘−283∘=77∘\mathsf{\delta=360^\circ-283^\circ=77^\circ}

Ergebnis

Der vierte Winkel beträgt 77 Grad.

Erklärung 02

Besondere Vierecke erkennen

Für die folgenden Familien gelten konvexe Vierecke. Ein Trapez hat hier mindestens ein Paar paralleler gegenüberliegender Seiten. Ein Parallelogramm hat zwei solche Paare. Ein Rechteck hat vier rechte Winkel, eine Raute vier gleich lange Seiten. Ein Quadrat erfüllt beides. Ein Drachenviereck hat zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten; alle vier dürfen gleich lang sein. Ein allgemeines Viereck muss keine dieser Zusatzbedingungen erfüllen.

  1. Prüfe Parallelität, gleiche Längen und rechte Winkel getrennt.

  2. Nenne alle zutreffenden Familien.

  3. Eine speziellere Figur behält die Eigenschaften ihrer Obergruppen.

Jedes Quadrat ist zugleich Rechteck, Raute, Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck.

Rechteck und Raute zeigen die beiden Eigenschaften, die ein Quadrat verbindet.

So geht es am Beispiel

Ein Viereck hat vier Seiten von je 4 cm und vier rechte Winkel. Welche Familien passen?

Vier gleiche Seiten machen die Figur zur Raute.

Vier rechte Winkel machen sie zum Rechteck.

Beide Merkmale zusammen bestimmen ein Quadrat.

Als Quadrat gehört es auch zu Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck.

Ergebnis

Die Figur ist ein Quadrat und gehört zu allen genannten Obergruppen.

Erklärung 03

Umfang und Fläche unterscheiden

Der Umfang ist die gesamte Randlänge. Der Flächeninhalt misst das Innere. Beim Quadrat genügt für beide Größen die Seitenlänge, doch die Einheiten unterscheiden sich. Andere Vierecke brauchen eine zur Figur passende Flächenformel.

  1. Addiere für den Umfang alle Seiten.

  2. Wähle die Flächenformel erst nach der Figur.

  3. Längen erhalten cm, Flächen cm².

U=a+b+c+d\mathsf{U=a+b+c+d}

So geht es am Beispiel

Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von 6 cm. Bestimme Umfang und Fläche.

U=4⋅6=24 cm\mathsf{U=4\cdot6=24\,\mathsf{cm}}
A=6⋅6=36 cm2\mathsf{A=6\cdot6=36\,\mathsf{cm}^2}

Ergebnis

Umfang 24 cm; Fläche 36 cm².

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Vierecke · EinstiegNenne die beiden Diagonalen eines Vierecks ABCD. Erkläre, warum AB keine Diagonale ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Gegenüberliegende Ecken ergeben AC und BD.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      A und B sind benachbart; AB ist eine Seite.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. DiagonalenAC und BD
    2. Begründung zu ABAB verbindet benachbarte Ecken und ist daher eine Seite.
  2. Aufgabe 2Vierecke · EinstiegEin Viereck hat Seitenlängen 3 cm, 5 cm, 4 cm und 6 cm. Berechne den Umfang.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      U=3+5+4+6=18 cm\mathsf{U=3+5+4+6=18\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Umfang18 cm
  3. Aufgabe 3Vierecke · AnwendenDrei Innenwinkel sind 74, 121 und 88 Grad. Berechne den fehlenden Winkel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      74+121+88=283\mathsf{74+121+88=283}
      360∘−283∘=77∘\mathsf{360^\circ-283^\circ=77^\circ}

    Ergebnis

    1. Fehlender Innenwinkel77 Grad
  4. Aufgabe 4Vierecke · AnwendenZeichne A(1|1), B(7|1), C(6|5), D(2|5) ins Netz und verbinde sie in dieser Reihenfolge. Zeichne beide Diagonalen gestrichelt ein. Welches Seitenpaar ist parallel?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Viereck und Diagonalen

    Leeres Koordinatennetz x0..10,y0..7.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      AB und CD liegen jeweils waagerecht.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      AC und BD verbinden die gegenüberliegenden Ecken.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Viereck und DiagonalenSiehe Musterzeichnung.
    2. Paralleles SeitenpaarAB und CD
  5. Aufgabe 5Vierecke · AnwendenEin Rechteck ist 7 cm lang und 3 cm breit. Nenne alle zutreffenden Familien aus: Viereck, Trapez, Parallelogramm, Rechteck, Raute, Quadrat, Drachenviereck.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Das Rechteck hat zwei parallele Seitenpaare und vier rechte Winkel.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Seitenlängen 7 und 3 sind verschieden; deshalb fehlen vier gleiche Seiten und die Drachenbedingung.

    Ergebnis

    1. Zutreffende FamilienViereck, Trapez, Parallelogramm, Rechteck
  6. Aufgabe 6Vierecke · TransferEin einfaches einspringendes Viereck hat einen Innenwinkel von 220 Grad. Die anderen beiden bekannten Winkel betragen 45 und 55 Grad. Berechne den vierten und begründe, warum die Figur nicht konvex ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      360∘−220∘−45∘−55∘=40∘\mathsf{360^\circ-220^\circ-45^\circ-55^\circ=40^\circ}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Winkel von 220 Grad ist größer als 180 Grad.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Vierter Winkel40 Grad
    2. Warum nicht konvex?Ein Innenwinkel ist größer als 180 Grad.
  7. Aufgabe 7Vierecke · TransferEin Quadrat hat 9 cm Seitenlänge. Bestimme Umfang und Fläche. Erkläre, warum die Einheiten verschieden sind.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      U=4⋅9=36 cm\mathsf{U=4\cdot9=36\,\mathsf{cm}}
      A=9⋅9=81 cm2\mathsf{A=9\cdot9=81\,\mathsf{cm}^2}
    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der Umfang misst eine Linie, die Fläche ein zweidimensionales Gebiet.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Umfang36 cm
    2. Flächeninhalt81 cm²
    3. Einheiten erklärenRandlänge in cm, Fläche in cm².

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Eigenschaften statt die Lage der Figur.
  • Ich kenne die inklusive Trapezdefinition.
  • Ich unterscheide Randlänge und Fläche.

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