Vierecke · Erklären & üben

Diagonale berechnen

Eine Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Ecken. Ihre Länge lässt sich erst berechnen, wenn genügend Angaben und die passende Figurenart bekannt sind.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Rechteck und Quadrat

Eine Rechteckdiagonale bildet mit zwei Seiten ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb gilt der Satz des Pythagoras. Im Quadrat sind beide Seiten gleich lang. Die zwei Rechteckdiagonalen sind gleich lang.

Weiterlernen im Thema Trapez: Eine Trapezdiagonale lässt sich nach Zerlegung in rechtwinklige Dreiecke berechnen, wenn Höhe und waagerechte Teilstrecken bekannt sind. Die Rechteckformel darf nicht ungeprüft auf das ganze Trapez übertragen werden.

Markiere das rechtwinklige Dreieck.
Quadriere die beiden Seiten und addiere.
Ziehe die positive Quadratwurzel.

$\mathsf{d=\sqrt{a^2+b^2},\qquad d_{\textsf{Quadrat}}=a\sqrt2}$

Rechteck im Verhältnis12:9 mit15cm-Diagonale und rechtem Winkel.

So geht es am Beispiel

Ein Rechteck hat Seiten von 9 cm und 12 cm. Berechne seine Diagonale.

\mathsf{d^2=9^2+12^2=81+144=225}

\mathsf{d=\sqrt{225}=15\,\mathsf{cm}}

Erklärung 02

Eine Seite aus der Diagonale finden

Bei einer fehlenden Rechteckseite wird zuerst ihr Quadrat isoliert. Die Diagonale ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks. Für ein echtes Rechteck muss sie länger als jede der beiden Seiten sein.

Ziehe vom Diagonalenquadrat das bekannte Seitenquadrat ab.
Prüfe, dass ein positiver Wert bleibt.
Ziehe die Wurzel.

$\mathsf{b=\sqrt{d^2-a^2}}$

So geht es am Beispiel

Die Diagonale eines Rechtecks ist 17 cm lang, eine Seite 15 cm. Bestimme die andere Seite.

\mathsf{b^2=17^2-15^2=289-225=64}

\mathsf{b=\sqrt{64}=8\,\mathsf{cm}}

Erklärung 03

Raute und Parallelogramm

Die Diagonalen einer Raute stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich. Ihre Hälften bilden mit einer Seite ein rechtwinkliges Dreieck. Bei einem allgemeinen Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen zwar, stehen aber nicht zwingend senkrecht. Aus nur zwei Seitenlängen ist dort keine einzelne Diagonale eindeutig bestimmt.

Bei einer Raute mit den halben Diagonalen rechnen.
Beim Parallelogramm zusätzliche Angaben wie eine Diagonale oder einen Winkel beachten.

$\mathsf{a^2=\left(\frac e2\right)^2+\left(\frac f2\right)^2}$

Raute mit senkrechten, sich halbierenden Diagonalen; Seite a und halbe Diagonalen beschriftet.

So geht es am Beispiel

Eine Raute hat Seiten von 13 cm und eine Diagonale von 10 cm. Berechne die andere.

\mathsf{13^2=5^2+\left(\frac f2\right)^2}

\mathsf{\left(\frac f2\right)^2=169-25=144}

\mathsf{f=2\cdot12=24\,\mathsf{cm}}

Erklärung 04

Vertiefung: Raumdiagonale im Quader

Eine Raumdiagonale verbindet gegenüberliegende Ecken eines Quaders durch dessen Inneres. Zuerst wird eine Flächendiagonale, dann mit ihr und der Höhe ein weiteres rechtwinkliges Dreieck betrachtet.

Berechne das Quadrat der Grundflächendiagonale.
Addiere das Quadrat der Höhe.
Ziehe die Wurzel.

$\mathsf{d_R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

So geht es am Beispiel

Ein Quader hat Kanten 3 cm, 4 cm und 12 cm. Berechne die Raumdiagonale.

\mathsf{d_R^2=3^2+4^2+12^2=9+16+144=169}

\mathsf{d_R=13\,\mathsf{cm}}

Erklärung 05

Vertiefung: Parallelogramm mit bekanntem Winkel

Voraussetzung ist der Kosinussatz. Sind neben den Seiten auch ein eingeschlossener Winkel bekannt, lassen sich beide Diagonalen bestimmen. Der Winkel muss zwischen 0 und 180 Grad liegen. Das Pluszeichen gehört zur Diagonale von A nach C, wenn der bekannte Winkel zwischen AB und AD liegt.

Benenne den Winkel zwischen den beiden an A anliegenden Seiten.
Berechne beide Diagonalenquadrate mit dem Kosinus des Winkels.
Ziehe jeweils die positive Wurzel.

$\mathsf{d_{AC}^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha,\qquad d_{BD}^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha}$

So geht es am Beispiel

Ein Parallelogramm hat Seiten von 5 cm und 3 cm. Der Winkel zwischen AB und AD beträgt 60 Grad. Berechne beide Diagonalen.

\mathsf{\cos60^\circ=\frac12}

\mathsf{d_{AC}^2=25+9+2\cdot5\cdot3\cdot\frac12=49}

\mathsf{d_{AC}=7\,\mathsf{cm}}

\mathsf{d_{BD}^2=25+9-2\cdot5\cdot3\cdot\frac12=19}

\mathsf{d_{BD}=\sqrt{19}\,\mathsf{cm}\approx4{,}36\,\mathsf{cm}}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Diagonale berechnen · EinstiegEin Rechteck ist 8 cm breit und 15 cm lang. Berechne die Diagonale.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Diagonale
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d^2=8^2+15^2=64+225=289}$
  $\mathsf{d=17\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Diagonale17 cm
02
Aufgabe 2Diagonale berechnen · EinstiegEin Quadrat hat Seiten von 5 cm. Gib die Diagonale exakt und auf zwei Dezimalstellen gerundet an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Exakter Wert
Gerundeter Wert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt2\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{d\approx7{,}07\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Exakter Wert $\mathsf{5\sqrt2\,\mathsf{cm}}$
2. Gerundeter Wert7,07 cm
03
Aufgabe 3Diagonale berechnen · AnwendenEine Rechteckdiagonale misst 25 cm, eine Seite 7 cm. Berechne die zweite Seite.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zweite Seite
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{b^2=25^2-7^2=625-49=576}$
  $\mathsf{b=24\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Zweite Seite24 cm
04
Aufgabe 4Diagonale berechnen · AnwendenZeichne A(1|1), B(9|1), C(9|5), D(1|5) und die Diagonale AC ins Netz. Markiere einen rechten Winkel im Dreieck ABC. Berechne AC in Gittereinheiten auf zwei Dezimalstellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Rechteck mit Diagonale und Winkel
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Rechteck mit Diagonale und Winkel
Länge AC
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  AB ist 8 und BC ist 4 Einheiten lang; der rechte Winkel liegt bei B.
  $\mathsf{AC=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}\approx8{,}94}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Rechteck mit Diagonale und WinkelSiehe Musterzeichnung.
2. Länge ACEtwa 8,94 Gittereinheiten
05
Aufgabe 5Diagonale berechnen · AnwendenEine Raute hat Seiten von 10 cm und eine Diagonale von 12 cm. Berechne die zweite Diagonale.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zweite Diagonale
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{\left(\frac f2\right)^2=10^2-6^2=64}$
  $\mathsf{f=2\cdot8=16\,\mathsf{cm}}$
Ergebnis
1. Zweite Diagonale16 cm
06
Aufgabe 6Diagonale berechnen · TransferEin Parallelogramm hat Seiten von 5 cm und 7 cm. Mira behauptet, seine Diagonale sei stets die Wurzel aus 74 cm. Erkläre den Fehler.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Wurzel aus der Summe der Seitenquadrate ist nur dann die Diagonale, wenn die Seiten einen rechten Winkel einschließen.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Ein Parallelogramm kann bei gleichen Seitenlängen unterschiedliche Winkel und damit unterschiedliche Diagonalen besitzen.
Ergebnis
1. BegründungPythagoras setzt einen rechten Winkel voraus. Die Seitenlängen allein bestimmen die Parallelogrammdiagonale nicht.
07
Aufgabe 7Diagonale berechnen · TransferEin Quader hat Kanten von 6 cm, 8 cm und 24 cm. Berechne zuerst die Diagonale der 6-mal-8-Grundfläche und anschließend die Raumdiagonale.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Grundflächendiagonale
Raumdiagonale
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{d_G=\sqrt{6^2+8^2}=10\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{d_R=\sqrt{10^2+24^2}=\sqrt{676}=26\,\mathsf{cm}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Grundflächendiagonale10 cm
2. Raumdiagonale26 cm

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe den rechten Winkel vor Pythagoras.
Bei einer Raute rechne ich mit halben Diagonalen.
Ich unterscheide Flächen- und Raumdiagonale.

AT Academy · Version 2026-10-21