Körper verstehen · Erklären & üben

Volumen berechnen

Das Volumen misst den Rauminhalt eines Körpers. Viele Formeln lassen sich über Grundfläche und senkrechte Höhe ordnen; für die Kugel brauchst du eine eigene Formel.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Raum mit Einheitswürfeln messen

Ein Würfel mit Kantenlänge 1 cm hat Volumen 1 cm³. Das Volumen zählt, wie viele solche Einheitswürfel in den Körper passen. Die Oberfläche misst dagegen die äußere Begrenzung in cm².

Alle Längen vor dem Einsetzen in dieselbe Einheit bringen.

Das Ergebnis einer Volumenrechnung hat eine Kubikeinheit.

Erklärung 02

Quader und Würfel

Beim Quader multiplizierst du die drei senkrecht zueinander stehenden Kantenlängen. Beim Würfel sind sie gleich groß.

Grundfläche ab berechnen, dann mit der Höhe multiplizieren.

$\mathsf{V_{\mathsf{Quader}}=abh,\quad V_{\mathsf{Wuerfel}}=a^3}$

Quader mit Länge a, Breite b und Höhe h.

So geht es am Beispiel

Ein Quader ist 3 cm lang, 4 cm breit und 5 cm hoch.

\mathsf{V=3\cdot4\cdot5=60\,\mathsf{cm}^3}

So geht es am Beispiel

Ein Würfel hat Kantenlänge 3 cm.

\mathsf{V=3^3=27\,\mathsf{cm}^3}

Erklärung 03

Prisma: Grundfläche mal Höhe

Ein Prisma hat zwei parallele, deckungsgleiche Grundflächen. G ist deren Flächeninhalt, h ihr senkrechter Abstand. Auch beim schiefen Prisma ist h nicht die schräge Seitenkante.

Berechne G mit der passenden ebenen Flächenformel.

$\mathsf{V=Gh}$

So geht es am Beispiel

Ein Prisma hat Grundfläche 12 cm² und senkrechte Höhe 7 cm.

\mathsf{V=12\cdot7=84\,\mathsf{cm}^3}

Erklärung 04

Pyramide: ein Drittel

Eine Pyramide mit derselben Grundfläche und Höhe wie ein Prisma hat ein Drittel seines Volumens. Die Grundfläche kann ein beliebiges Vieleck sein. Bei einem regelmäßigen Sechseck zerlegst du sie in sechs gleichseitige Dreiecke.

Körperhöhe senkrecht zur Grundfläche verwenden.

$\mathsf{V=\frac13Gh}$

Pyramide mit Grundfläche G und senkrechter Höhe h im Inneren.

So geht es am Beispiel

Eine quadratische Pyramide hat Grundkante 6 cm und Höhe 5 cm.

\mathsf{G=6^2=36\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{V=\frac13\cdot36\cdot5=60\,\mathsf{cm}^3}

So geht es am Beispiel

Vertiefung mit Satz des Pythagoras: regelmäßige sechseckige Grundfläche, Seitenlänge 2 cm, Pyramidenhöhe 6 cm.

\mathsf{h_{\mathsf{Dreieck}}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3\,\mathsf{cm}}

\mathsf{G=6\cdot\frac12\cdot2\cdot\sqrt3=6\sqrt3\,\mathsf{cm}^2}

\mathsf{V=\frac13\cdot6\sqrt3\cdot6=12\sqrt3\,\mathsf{cm}^3}

Erklärung 05

Zylinder, Kegel und Kugel

Beim geraden Kreiszylinder ist die Grundfläche $\mathsf{G=\pi r^2}$ . Ein gerader Kreiskegel hat bei gleicher Grundfläche und Höhe ein Drittel des Zylindervolumens. Die Kugel wird nur durch ihren Radius bestimmt.

\mathsf{V_{\mathsf{Zylinder}}=\pi r^2h}

\mathsf{V_{\mathsf{Kegel}}=\frac13\pi r^2h}

\mathsf{V_{\mathsf{Kugel}}=\frac43\pi r^3}

Bei Zylinder und Kegel ist h senkrecht zur Grundfläche.
Beim Kegel nicht die Mantellinie als h einsetzen.

Ein Durchmesser muss zuerst halbiert werden.

Rundkörper mit Radius und Körperhöhe als unterschiedliche Maße.

So geht es am Beispiel

Zylinder: r = 2 cm, h = 5 cm.

\mathsf{V=\pi\cdot2^2\cdot5=20\pi\,\mathsf{cm}^3}

So geht es am Beispiel

Kegel: r = 3 cm, h = 4 cm.

\mathsf{V=\frac13\pi\cdot9\cdot4=12\pi\,\mathsf{cm}^3}

So geht es am Beispiel

Kugel: r = 3 cm.

\mathsf{V=\frac43\pi\cdot27=36\pi\,\mathsf{cm}^3}

Erklärung 06

Kubikeinheiten umrechnen

Zwischen benachbarten metrischen Kubikeinheiten liegt der Faktor 1000, weil alle drei Längenrichtungen umgerechnet werden. Ein Liter ist ein Kubikdezimeter.

Beispiel: 2500 cm³ sind 2,5 dm³ und damit 2,5 Liter.

$\mathsf{1\,\mathsf{dm}^3=1000\,\mathsf{cm}^3=1\,\mathsf l}$

Erklärung 07

Oberfläche ist eine andere Größe

Die Oberfläche setzt sich aus den äußeren Flächen zusammen. Ihre Formel entsteht nicht einfach durch Weglassen einer Kante aus der Volumenformel.

Weiterlernen: Oberflächeninhalt und Körpernetze.
Ausführliche Herleitungen und Spezialformen folgen in den jeweiligen Körperblöcken.

Volumen hat Kubikeinheiten, Oberfläche Quadrateinheiten.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Volumen berechnen · AnwendenQuader: 5 cm × 3 cm × 2 cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=5\cdot3\cdot2=30\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen30 cm³
02
Aufgabe 2Volumen berechnen · AnwendenWürfel: Kantenlänge 4 cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=4^3=64\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen64 cm³
03
Aufgabe 3Volumen berechnen · AnwendenPrisma: dreieckige Grundfläche mit Grundseite 6 cm und zugehöriger Höhe 4 cm; Körperhöhe 9 cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{G=\frac12\cdot6\cdot4=12\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{V=12\cdot9=108\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen108 cm³
04
Aufgabe 4Volumen berechnen · AnwendenQuadratische Pyramide: Grundkante 8 cm, senkrechte Höhe 6 cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{G=64\,\mathsf{cm}^2}$
  $\mathsf{V=\frac13\cdot64\cdot6=128\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen128 cm³
05
Aufgabe 5Volumen berechnen · AnwendenGerader Kreiszylinder: r = 3 cm, h = 7 cm. Berechne V exakt mit π.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=\pi\cdot9\cdot7=63\pi\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen $\mathsf{63\pi\,\mathsf{cm}^3}$
06
Aufgabe 6Volumen berechnen · AnwendenGerader Kreiskegel: r = 2 cm, h = 9 cm. Berechne V exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{V=\frac13\pi\cdot4\cdot9=12\pi\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen $\mathsf{12\pi\,\mathsf{cm}^3}$
07
Aufgabe 7Volumen berechnen · AnwendenKugel: Durchmesser 6 cm. Berechne V exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Volumen
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{r=3\,\mathsf{cm}}$
  $\mathsf{V=\frac43\pi\cdot27=36\pi\,\mathsf{cm}^3}$
Ergebnis
1. Volumen $\mathsf{36\pi\,\mathsf{cm}^3}$
08
Aufgabe 8Volumen berechnen · AnwendenDer Quader ist 3 cm × 2 cm × 2 cm groß. Ergänze in Vorder- und rechter Seitenfläche die Trennlinie in halber Höhe, sodass zwei gleich hohe Würfelschichten erkennbar werden.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zwei Schichten
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Zwei Schichten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Jede Schicht ist 1 cm hoch und enthält 3 · 2 = 6 Einheitswürfel.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Mittellinie verläuft in der Vorderfläche waagerecht.
3. Schritt 3 · Erklärung
  In der rechten Seitenfläche folgt sie parallel den Tiefenkanten.
Ergebnis
1. Zwei SchichtenVorder- und rechte Seitenfläche werden jeweils mittig durch eine zusammenhängende Linie geteilt.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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