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Kugeln · Erklären & üben

Volumen Kugel

Das Kugelvolumen misst den Rauminhalt. Die Formel verwendet den Radius in dritter Potenz; für Kapazitäten zählen die Innenmaße, für einen massiven Körper seine äußeren Maße.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Die Volumenformel

Das Volumen ist vier Drittel mal π mal Radius hoch drei. Eine Länge in cm führt zu cm³. Ein Durchmesser muss vor dem Einsetzen halbiert werden; alternativ steht in der Durchmesserformel der Faktor π/6.

  1. r und d eindeutig unterscheiden.

V=43πr3=π6d3\mathsf{V=\frac43\pi r^3=\frac\pi6d^3}

Kugel mit Radius r und Durchmesser d.

Erklärung 02

Radius oder Durchmesser gegeben

Die dritte Potenz bedeutet r·r·r, nicht dreimal r. Behalte einen exakten Ausdruck mit π bis zum letzten Schritt und runde nur das Ergebnis.

  1. Längen zuerst in die gewünschte Einheit umrechnen.

Volumen wird in Kubikeinheiten angegeben.

So geht es am Beispiel

r = 3 cm. Berechne V.

V=43π⋅27=36π cm3≈113,10 cm3\mathsf{V=\frac43\pi\cdot27=36\pi\,\mathsf{cm}^3\approx113{,}10\,\mathsf{cm}^3}

Ergebnis

Etwa 113,10cm³

So geht es am Beispiel

d = 8 cm. Berechne V exakt.

r=4 cm\mathsf{r=4\,\mathsf{cm}}
V=43π⋅64=256π3 cm3\mathsf{V=\frac43\pi\cdot64=\frac{256\pi}{3}\,\mathsf{cm}^3}

Ergebnis

256π3 cm3\mathsf{\frac{256\pi}{3}\,\mathsf{cm}^3}

Erklärung 03

Füllvolumen und Liter

Für einen hohlen kugelförmigen Behälter brauchst du den Innenradius. Die Wandstärke verringert den verfügbaren Raum. Das Volumen in m³ wird für Liter mit 1000 multipliziert; cm³ entsprechen Millilitern.

  1. Prüfe, ob Innen- oder Außenmaße gegeben sind.

1 m3=1000 l\mathsf{1\,\mathsf m^3=1000\,\mathsf l}

So geht es am Beispiel

Ein vollständig kugelförmiger Innenraum hat Radius 0,3m. Berechne seine Kapazität in Litern.

V=43π⋅0,33=0,036π m3\mathsf{V=\frac43\pi\cdot0{,}3^3=0{,}036\pi\,\mathsf m^3}
V=36π l≈113,10 l\mathsf{V=36\pi\,\mathsf l\approx113{,}10\,\mathsf l}

Ergebnis

Etwa 113,10Liter

Erklärung 04

Radius aus dem Volumen

Multipliziere V mit 3, teile durch 4π und ziehe die positive Kubikwurzel. Eine Quadratwurzel wäre hier falsch. Wenn d gesucht ist, verdopple anschließend den Radius.

  1. Wurzelgrad 3 passend zur dritten Potenz wählen.

r=3V4π3\mathsf{r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}}

Großkreisfläche als Mittelschnitt der Kugel mit Radius und Durchmesser.

So geht es am Beispiel

V=500π3 cm3\mathsf{V=\frac{500\pi}{3}\,\mathsf{cm}^3}. Bestimme r.

r=3⋅500π/34π3=1253=5 cm\mathsf{r=\sqrt[3]{\frac{3\cdot500\pi/3}{4\pi}}=\sqrt[3]{125}=5\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

5 cm

Erklärung 05

Volumen und Oberfläche wachsen verschieden

Bei einer Verdopplung des Radius wird V achtmal so groß; die Oberfläche vervierfacht sich. Für Beschichtung ist deshalb eine eigene Oberflächenrechnung nötig.

  1. Weiterlernen: Oberfläche Kugel und Halbkugel.

Eine Kubikeinheit kann nicht als Flächeneinheit verwendet werden.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Volumen Kugel · Anwendenr = 6 cm. Berechne V exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      V=43π⋅216=288π cm3\mathsf{V=\frac43\pi\cdot216=288\pi\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen288π cm3\mathsf{288\pi\,\mathsf{cm}^3}
  2. Aufgabe 2Volumen Kugel · Anwendend = 10 cm. Berechne V exakt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=5 cm\mathsf{r=5\,\mathsf{cm}}
      V=500π3 cm3\mathsf{V=\frac{500\pi}{3}\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen500π3 cm3\mathsf{\frac{500\pi}{3}\,\mathsf{cm}^3}
  3. Aufgabe 3Volumen Kugel · AnwendenEin vollständig kugelförmiger Behälter hat Innendurchmesser 40cm. Berechne seine Kapazität in Litern auf zwei Nachkommastellen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=20 cm\mathsf{r=20\,\mathsf{cm}}
      V=32000π3 cm3=32π3 l≈33,51 l\mathsf{V=\frac{32000\pi}{3}\,\mathsf{cm}^3=\frac{32\pi}{3}\,\mathsf l\approx33{,}51\,\mathsf l}

    Ergebnis

    1. KapazitätEtwa 33,51Liter
  4. Aufgabe 4Volumen Kugel · AnwendenV=288π cm3\mathsf{V=288\pi\,\mathsf{cm}^3}. Bestimme r.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      r=3⋅288π4π3=2163=6 cm\mathsf{r=\sqrt[3]{\frac{3\cdot288\pi}{4\pi}}=\sqrt[3]{216}=6\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Radius6 cm
  5. Aufgabe 5Volumen Kugel · AnwendenZeichne durch M den Durchmesser, der den Punkt P enthält. Beschrifte den gegenüberliegenden Randpunkt mit Q. Die Vorlage zeigt einen Mittelschnitt beziehungsweise Großkreis.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Durchmesser

    Vorbereitete Großkreisfläche mit Mittelpunkt M und Randpunkt P; zu zeichnende Strecke fehlt.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Verbinde P mit M und verlängere die Gerade bis zum anderen Rand.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Der neue Punkt Q liegt gegenüber von P; M halbiert QP.

    Ergebnis

    1. DurchmesserQP verläuft durch M; MP ist die Hälfte von QP.
  6. Aufgabe 6Volumen Kugel · AnwendenDer Radius wird mit dem Faktor 3 vergrößert. Mit welchem Faktor verändert sich das Volumen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      Vneu=43π(3r)3=27V\mathsf{V_{\mathsf{neu}}=\frac43\pi(3r)^3=27V}

    Ergebnis

    1. Volumenfaktor27

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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