AT Academy
Zum Mathematik-Inhalt

Pyramiden · Erklären & üben

Volumen Pyramide

Das Volumen jeder Pyramide ist ein Drittel aus Grundfläche und senkrechter Körperhöhe. Die Grundfläche kann ein Dreieck, Viereck oder anderes Vieleck sein.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Grundfläche und senkrechte Höhe

G ist der Flächeninhalt des Grundpolygons, h der senkrechte Abstand der Spitze von seiner Ebene. Das gilt auch für Pyramiden, deren Spitze nicht über der Mitte der Grundfläche liegt. Eine schräge Seitenkante oder Seitenflächenhöhe darf nicht als h eingesetzt werden.

  1. Berechne G zuerst in Quadrateinheiten.

  2. Multipliziere mit h und teile durch 3.

V=13Gh\mathsf{V=\frac13Gh}

Pyramide mit Spitze S und Lotfuß O; SO ist die senkrechte Körperhöhe.
Rechtwinkliger Schnitt mit h 4cm und Seitenflächenhöhe 5cm.

Erklärung 02

Quadratische Grundfläche

Die Quadratfläche ist a². Für das Volumen ist keine regelmäßige Spitzenlage erforderlich; entscheidend bleibt die senkrechte Körperhöhe.

  1. Die Einheit wird nach dem Multiplizieren mit h zur Kubikeinheit.

V=13a2h\mathsf{V=\frac13a^2h}

So geht es am Beispiel

Eine Pyramide hat quadratische Grundkante 6cm und Körperhöhe 4cm.

G=62=36 cm2\mathsf{G=6^2=36\,\mathsf{cm}^2}
V=13⋅36⋅4=48 cm3\mathsf{V=\frac13\cdot36\cdot4=48\,\mathsf{cm}^3}

Ergebnis

48 cm³

Erklärung 03

Dreieckige Grundfläche

Für die dreieckige Grundfläche brauchst du eine Grundseite a und deren zugehörige Dreieckshöhe t. Die Körperhöhe h ist eine zweite, andere Höhe.

  1. Erst G = at/2, danach V = Gh/3.

V=16ath\mathsf{V=\frac16ath}

So geht es am Beispiel

Grunddreieck: a = 6 cm, t = 4 cm. Körperhöhe 9cm.

G=12⋅6⋅4=12 cm2\mathsf{G=\frac12\cdot6\cdot4=12\,\mathsf{cm}^2}
V=13⋅12⋅9=36 cm3\mathsf{V=\frac13\cdot12\cdot9=36\,\mathsf{cm}^3}

Ergebnis

36 cm³

Erklärung 04

Andere vierseitige Grundflächen

Bei einer rechteckigen Grundfläche multiplizierst du Länge und Breite. Beim Trapez verwendest du die beiden parallelen Seiten und deren Abstand. Nicht jede vierseitige Grundfläche ist ein Rechteck.

  1. Die Form der Grundfläche bestimmt G; der Faktor ein Drittel bleibt gleich.

G muss zur tatsächlich gegebenen Figur gehören.

So geht es am Beispiel

Rechteckige Grundfläche 5cm×8cm, Körperhöhe 6cm.

G=40 cm2\mathsf{G=40\,\mathsf{cm}^2}
V=13⋅40⋅6=80 cm3\mathsf{V=\frac13\cdot40\cdot6=80\,\mathsf{cm}^3}

Ergebnis

80 cm³

So geht es am Beispiel

Trapezgrundfläche mit parallelen Seiten 3cm und 7cm und Abstand 3cm; Körperhöhe 8cm.

G=3+72⋅3=15 cm2\mathsf{G=\frac{3+7}{2}\cdot3=15\,\mathsf{cm}^2}
V=13⋅15⋅8=40 cm3\mathsf{V=\frac13\cdot15\cdot8=40\,\mathsf{cm}^3}

Ergebnis

40 cm³

Erklärung 05

Volumenformel umstellen

Für eine unbekannte Höhe multiplizierst du das Volumen zuerst mit 3 und teilst dann durch G. Analog bestimmst du G aus V und h.

  1. Vor dem Einsetzen Einheiten vereinheitlichen.

h=3VG,G=3Vh\mathsf{h=\frac{3V}{G},\quad G=\frac{3V}{h}}

So geht es am Beispiel

V = 60 cm³ und G = 30 cm². Bestimme h.

h=3⋅6030=6 cm\mathsf{h=\frac{3\cdot60}{30}=6\,\mathsf{cm}}

Ergebnis

6 cm

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Volumen Pyramide · AnwendenQuadratische Grundkante 9cm, Körperhöhe 4cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G=81 cm2\mathsf{G=81\,\mathsf{cm}^2}
      V=13⋅81⋅4=108 cm3\mathsf{V=\frac13\cdot81\cdot4=108\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen108 cm³
  2. Aufgabe 2Volumen Pyramide · AnwendenGrunddreieck: Grundseite 8cm, zugehörige Höhe 3cm. Körperhöhe 10cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G=12 cm2\mathsf{G=12\,\mathsf{cm}^2}
      V=13⋅12⋅10=40 cm3\mathsf{V=\frac13\cdot12\cdot10=40\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen40 cm³
  3. Aufgabe 3Volumen Pyramide · AnwendenRechteckige Grundfläche 4cm×7cm, Körperhöhe 9cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G=28 cm2\mathsf{G=28\,\mathsf{cm}^2}
      V=13⋅28⋅9=84 cm3\mathsf{V=\frac13\cdot28\cdot9=84\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen84 cm³
  4. Aufgabe 4Volumen Pyramide · AnwendenTrapezgrundfläche: parallele Seiten 4cm und 10cm, Abstand 3cm. Körperhöhe 6cm. Berechne V.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      G=4+102⋅3=21 cm2\mathsf{G=\frac{4+10}{2}\cdot3=21\,\mathsf{cm}^2}
      V=13⋅21⋅6=42 cm3\mathsf{V=\frac13\cdot21\cdot6=42\,\mathsf{cm}^3}

    Ergebnis

    1. Volumen42 cm³
  5. Aufgabe 5Volumen Pyramide · AnwendenIn der Vorlage ist O der Lotfuß der Spitze S in der Grundfläche. Zeichne die Körperhöhe ein und beschrifte sie mit h. Die Strecke liegt im Inneren und wird gestrichelt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Körperhöhe

    Vorbereitete Pyramidenansicht mit Spitze S und gegebenem Lotfuß O, ohne Höhenstrecke.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Verbinde S mit O.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Die Strecke ist senkrecht zur Grundflächenebene, auch wenn der rechte Winkel im Schrägbild nicht maßgetreu erscheint.

    Ergebnis

    1. KörperhöheGestrichelte Strecke SO mit Beschriftung h.
  6. Aufgabe 6Volumen Pyramide · AnwendenEine Pyramide hat V = 96 cm³ und G = 24 cm². Berechne h.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      h=3⋅96/24=12 cm\mathsf{h=3\cdot96/24=12\,\mathsf{cm}}

    Ergebnis

    1. Körperhöhe12 cm

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

AT Academy · Version 2026-10-21

Volumen Pyramide | AT Academy