Wachstumsmodelle · Erklären & üben

Wachstumsfaktor berechnen

Der Wachstumsfaktor beschreibt, mit welcher Zahl ein Bestand in einer festgelegten Periode multipliziert wird. Ausgangswert, Endwert und Periodenlänge gehören immer dazu.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Faktor aus zwei Werten

Für einen positiven Ausgangswert A und einen Endwert E ist der Gesamtfaktor $\mathsf{q=E/A}$ . Er ist dimensionslos, seine Zeitzuordnung muss aber genannt werden. Bei positiven Endwerten ist q positiv. Ein Ausgangswert null erlaubt diese Quotientenformel nicht.

Benenne Anfang und Ende der Periode.
Teile Endwert durch Anfangswert.
Nenne Faktor und Periode zusammen.

$\mathsf{E=Aq}$ und $\mathsf{q=E/A}$ für $\mathsf{A>0}$ .

Faktor = Endwert geteilt durch Anfangswert. 80 → 100 in einer Woche. 100 : 80 = 1,25 pro Wochenperiode. 90 → 72 in einem Tag. 72 : 90 = 0,8 pro Tagesperiode. Faktoren verschiedener Perioden nicht direkt gleichsetzen.

So geht es am Beispiel

Ein erfundener Modellbestand steigt innerhalb einer Woche von 80 auf 100. Berechne den Wochenfaktor.

Teile $\mathsf{100:80=1{,}25}$ .

So geht es am Beispiel

Ein Modellbestand sinkt innerhalb eines Tages von 90 auf 72.

Teile $\mathsf{72:90=0{,}8}$ .

Erklärung 02

Prozentangabe in Faktor übersetzen

Eine Zunahme um p Prozent ergibt $\mathsf{q=1+p/100}$ . Eine Abnahme um p Prozent ergibt $\mathsf{q=1-p/100}$ . Umgekehrt ist die vorzeichenbehaftete relative Änderung $\mathsf{r=q-1}$ . Der Faktor 1 bedeutet keine Änderung. Ein Faktor unter 1 bedeutet bei positivem Ausgangswert Abnahme.

Wandle Prozent in einen Dezimalanteil um.
Addiere oder subtrahiere diesen Anteil von eins.
Lies die Änderungsrichtung am Faktor ab.

Faktor und Prozentsatz sind nicht dieselbe Zahl.

So geht es am Beispiel

Bestimme den Faktor für 7 % Zunahme pro Monat.

Dezimaler Anteil: $\mathsf{7:100=0{,}07}$ .

Addiere $\mathsf{1+0{,}07=1{,}07}$ .

So geht es am Beispiel

Welche Änderung beschreibt der Tagesfaktor 0,92?

Subtrahiere $\mathsf{0{,}92-1=-0{,}08}$ .

Erklärung 03

Mehrere gleiche Perioden

Bei konstantem positivem Periodenfaktor gilt nach n Perioden $\mathsf{E=Aq^n}$ . Für positive A und E und eine positive ganze Periodenzahl n erhältst du den konstanten Faktor als positive n-te Wurzel aus dem Gesamtfaktor. Die Gesamtprozentänderung durch n zu teilen liefert im Allgemeinen nicht den exakten Periodensatz.

Berechne zuerst den Gesamtfaktor.
Ziehe die Wurzel passend zur Periodenzahl.
Leite erst danach den Periodenprozentsatz ab.

$\mathsf{q=\sqrt[n]{E/A}}$ für $\mathsf{A>0}$ , $\mathsf{E>0}$ und $\mathsf{n\ge1}$ .

Konstanter Jahresfaktor: Bₙ = 200 · 1,1ⁿ. 200 → 220 → 242: Gesamtfaktor 1,21, Jahresfaktor 1,1. Achsen: n: volle Jahre seit Beginn; Bestandseinheiten

So geht es am Beispiel

Ein Modellwert steigt in zwei Jahren von 200 auf 242. Bestimme den konstanten Jahresfaktor.

Gesamtfaktor: $\mathsf{242:200=1{,}21}$ .

Positive Quadratwurzel: $\mathsf{\sqrt{1{,}21}=1{,}1}$ .

Jährliche Änderung: $\mathsf{1{,}1-1=0{,}1}$ .

So geht es am Beispiel

Ein Wert steigt in drei gleichen Perioden von 64 auf 125.

Gesamtfaktor: $\mathsf{125:64=1{,}953125}$ .

Die positive dritte Wurzel ist 1,25, weil $\mathsf{1{,}25^3=1{,}953125}$ .

Erklärung 04

Faktorfolgen, Rückrechnung und Null

Verschiedene aufeinanderfolgende Faktoren werden multipliziert. Rückrechnung ist nur bei Gesamtfaktor ungleich null möglich. Ein Verlust von 100 % hat Faktor null. Dieser einzelne Verlustschritt kann modelliert werden, gehört aber nicht zur üblichen positiven Exponentialfunktion. Der Endwert null verrät dann den positiven Ausgangswert nicht mehr eindeutig.

Multipliziere Faktoren in der Folge.
Prüfe den Gesamtfaktor vor der Rückrechnung.
Behandle vollständigen Verlust gesondert.

$\mathsf{q_{\mathsf{gesamt}}=q_1q_2}$ ; $\mathsf{A=E/q_{\mathsf{gesamt}}}$ nur bei $\mathsf{q_{\mathsf{gesamt}}\ne0}$ .

Erst plus 20 %, anschließend minus 25 %. Erster Faktor: 1,20. Bezieht sich auf den Ausgangswert.. Zweiter Faktor: 0,75. Bezieht sich auf den bereits veränderten Wert.. Gesamtfaktor: 1,20 · 0,75 = 0,90. Insgesamt 10 % Abnahme.. Zurückrechnen nur mit einem Gesamtfaktor ungleich null.

So geht es am Beispiel

Ein Wert wächst um 20 % und sinkt anschließend um 25 %. Bestimme den Gesamtfaktor.

Erster Faktor: $\mathsf{1+0{,}2=1{,}2}$ .

Zweiter Faktor: $\mathsf{1-0{,}25=0{,}75}$ .

Produkt: $\mathsf{1{,}2\cdot0{,}75=0{,}9}$ .

So geht es am Beispiel

Ein Endwert beträgt nach einer Periode mit Faktor 0,8 genau 56. Bestimme den Anfangswert.

Der Faktor 0,8 ist ungleich null.

Teile $\mathsf{56:0{,}8=70}$ .

Erklärung 05

Zeiteinheit und Exponentialfunktion

Ein Monatsfaktor ist nicht automatisch ein Jahresfaktor. Bei zwölf gleichen Modellmonaten pro Jahr lautet der Jahresfaktor $\mathsf{q_{\mathsf{Monat}}^{12}}$ . Die Exponentialfunktion setzt den Faktor mit einer passend gewählten Zeitvariablen fort. Für stetige Zeit gilt $\mathsf{q=e^{k\Delta t}}$ ; die stetige Rate k ist nicht einfach q minus eins. Aus wenigen Daten folgt keine globale Modellgültigkeit.

Gib die Dauer einer Periode an.
Zähle die Perioden im gesuchten Zeitraum.
Unterscheide Gesamtfaktor und Einzelfaktor.

Faktor immer zusammen mit seiner Periodendauer angeben.

Verdopplung alle drei Stunden. Nach 3 Stunden: Faktor 2. Eine Modellperiode. Nach 6 Stunden: Faktor 2² = 4. Zwei Modellperioden. Nach 9 Stunden: Faktor 2³ = 8. Drei Modellperioden. Die Periodendauer bleibt Bestandteil jeder Faktorangabe.

So geht es am Beispiel

Ein Modell verdoppelt sich alle drei Stunden. Welcher Faktor gilt für sechs Stunden?

Sechs Stunden enthalten zwei Modellperioden.

Multipliziere $\mathsf{2^2=4}$ .

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Wachstumsfaktor berechnen · 1Ein Wert steigt in einer Woche von 40 auf 46. Bestimme den Wochenfaktor.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Wochenfaktor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teile $\mathsf{46:40=1{,}15}$ .
Ergebnis
1. Wochenfaktor1,15
02
Aufgabe 2Wachstumsfaktor berechnen · 1Ein Wert fällt in einem Tag von 150 auf 120. Bestimme Tagesfaktor und Abnahmeprozentsatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Tagesfaktor
Abnahme pro Tag
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{120:150=0{,}8}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Abnahmeanteil: $\mathsf{1-0{,}8=0{,}2}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Tagesfaktor0,8
2. Abnahme pro Tag20 %
03
Aufgabe 3Wachstumsfaktor berechnen · 1Bestimme den Faktor für 12 % Zunahme und für 12 % Abnahme je Periode getrennt.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zunahmefaktor
Abnahmefaktor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zunahme: $\mathsf{1+0{,}12=1{,}12}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Abnahme: $\mathsf{1-0{,}12=0{,}88}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Zunahmefaktor1,12
2. Abnahmefaktor0,88
04
Aufgabe 4Wachstumsfaktor berechnen · 2Ein Wert steigt in zwei Jahren von 100 auf 144. Bestimme konstanten Jahresfaktor und jährlichen Prozentsatz.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Jahresfaktor
Jährliche Zunahme
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gesamtfaktor: $\mathsf{144:100=1{,}44}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Positive Wurzel: $\mathsf{\sqrt{1{,}44}=1{,}2}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Jährlicher Zuwachsanteil: $\mathsf{1{,}2-1=0{,}2}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Jahresfaktor1,2
2. Jährliche Zunahme20 %
05
Aufgabe 5Wachstumsfaktor berechnen · 2Ein Wert fällt in drei gleichen Perioden von 1000 auf 512. Bestimme den konstanten Periodenfaktor.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Periodenfaktor
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Gesamtfaktor: $\mathsf{512:1000=0{,}512}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die positive dritte Wurzel ist 0,8, denn $\mathsf{0{,}8^3=0{,}512}$ .
Ergebnis
1. Periodenfaktor0,8
06
Aufgabe 6Wachstumsfaktor berechnen · 2Ein Faktor 1,1 wirkt zweimal hintereinander. Nenne Gesamtfaktor und Gesamtzunahme in Prozent.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Gesamtfaktor
Gesamtzunahme
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Produkt: $\mathsf{1{,}1^2=1{,}21}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zuwachsanteil: $\mathsf{1{,}21-1=0{,}21}$ .
Ergebnisse & Teilantworten
1. Gesamtfaktor1,21
2. Gesamtzunahme21 %
07
Aufgabe 7Wachstumsfaktor berechnen · 2Ein Endwert ist nach Faktor 1,25 genau 75. Bestimme den Anfangswert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anfangswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Teile $\mathsf{75:1{,}25=60}$ .
Ergebnis
1. Anfangswert60
08
Aufgabe 8Wachstumsfaktor berechnen · 3Ein positiver Wert verliert in einem Schritt 100 %. Gib den Faktor an und entscheide, ob der Anfangswert aus dem Endwert null eindeutig rekonstruierbar ist. Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktor
Eindeutige Rekonstruktion?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Faktor: $\mathsf{1-1=0}$ .
2. Schritt 2 · Erklärung
  Alle positiven Anfangswerte ergeben beim Multiplizieren mit null den Endwert null.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktor0
2. Eindeutige Rekonstruktion?Nein
3. BegründungDer Faktor null löscht die Information über den Anfangswert; durch null kann nicht dividiert werden.
09
Aufgabe 9Wachstumsfaktor berechnen · 3Eine Größe verdreifacht sich alle zwei Stunden. Gib den Faktor für vier Stunden an. Darfst du den Zweistundenfaktor einfach als Stundenfaktor bezeichnen? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Faktor für vier Stunden
Drei als Stundenfaktor?
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vier Stunden sind zwei Perioden.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Gesamtfaktor: $\mathsf{3^2=9}$ .
3. Schritt 3 · Erklärung
  Der gegebene Faktor bezieht sich ausdrücklich auf zwei Stunden.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Faktor für vier Stunden9
2. Drei als Stundenfaktor?Nein
3. BegründungDie Periodendauer gehört zum Faktor. Bei konstantem Stundenfaktor wäre dieser die positive Quadratwurzel aus 3.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich teile Endwert durch Anfangswert.
Ich nenne die Periode des Faktors.
Ich ziehe für gleiche Perioden die passende positive Wurzel.
Ich beachte den Nullfaktor bei Rückrechnung.

AT Academy · Version 2026-10-21