Wachstumsmodelle · Erklären & üben

Wachstumsprozesse

Ein Wachstumsmodell beschreibt, wie sich eine Größe über die Zeit verändert. Vergleiche stets gleich lange Zeitschritte. Eine endliche Tabelle kann zu einem Modell passen; sie beweist kein Naturgesetz für beliebig lange Zeiten.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zeit, Anfangswert und Darstellung

Der Anfangswert B₀ gehört zur Zeit null. Ein diskretes Modell betrachtet nur festgelegte Zeitpunkte, etwa nach jedem Arbeitsschritt. Eine kontinuierliche Funktion beschreibt dagegen alle Zeiten in einem angegebenen Bereich. Einzelne Tabellenpunkte werden deshalb nicht ohne Begründung als lückenloser Prozess aufgefasst.

Benenne Größe und Einheit.
Lege Zeitschritt oder kontinuierlichen Zeitbereich fest.
Notiere den Wert zum Anfangszeitpunkt.

Der Anfangsindex ist hier immer null.

Erklärung 02

Linear: derselbe absolute Zuwachs

Bei linearem Wachstum kommt in jedem gleich langen Schritt dieselbe Menge d hinzu. Explizit berechnest du den Wert direkt aus n. Rekursiv verwendest du den vorherigen Wert und brauchst zusätzlich B₀. Bei kontinuierlicher Zeit t ist m eine Änderungsrate mit der Einheit Bestandsgröße pro Zeiteinheit.

Vergleiche Differenzen aufeinanderfolgender Werte.
Bestimme Anfangswert und Zuwachs je Schritt.
Schreibe explizite oder rekursive Regel.

$\mathsf{B_n=B_0+nd}$ und $\mathsf{B_{n+1}=B_n+d}$

Diskrete Werte mit waagerechter Achse Schritt n von 0 bis 4 und senkrechter Achse Bestand B in l von 0 bis 40.

So geht es am Beispiel

Ein Modellbehälter enthält anfangs 20 l. Nach jedem Füllschritt kommen 5 l hinzu. Bestimme den Wert nach drei Schritten und beide Darstellungsformen.

Explizit: $\mathsf{B_n=20+5n}$

Rekursiv: $\mathsf{B_{n+1}=B_n+5}$ mit $\mathsf{B_0=20}$

Zuwachs nach drei Schritten: $\mathsf{3\cdot5=15}$

Bestand: $\mathsf{20+15=35}$

So geht es am Beispiel

Ein kontinuierlicher Modellzufluss erhöht die Menge von 10 l bei t = 0 min auf 22 l bei t = 4 min. Bestimme die konstante Änderungsrate.

Mengenunterschied: $\mathsf{22-10=12}$ Liter

Zeitunterschied: $\mathsf{4-0=4}$ Minuten

Rate: $\mathsf{12:4=3}$ Liter pro Minute

Erklärung 03

Lineare Abnahme mit Sachgrenze

Bei konstantem Abzug ist der Zuwachs d negativ. Ein Bestand wie eine Wassermenge darf im Modellkontext nicht unter null fallen. Die lineare Regel muss spätestens an dieser Grenze beendet oder durch eine andere Beschreibung ersetzt werden.

Bestimme den konstanten Abzug.
Schreibe die Abnahmeregel.
Begrenze den Zeitbereich auf sinnvolle Bestände.

Eine algebraische Fortsetzung ist nicht automatisch eine sinnvolle Sachvorhersage.

So geht es am Beispiel

Ein Behälter enthält 40 l und verliert pro Minute konstant 8 l. Wie lange gilt das Modell bis zur Leerung?

Modell: $\mathsf{B(t)=40-8t}$

Leerungszeit: $\mathsf{40:8=5}$ Minuten

Für die Sachbeschreibung gilt 0 bis 5 Minuten; danach ist der Behälter leer.

Erklärung 04

Exponentiell oder beschränkt?

Bei exponentiellem Wachstum bleibt in gleichen Zeitschritten ein Faktor q konstant. Für positive Anfangswerte gilt q größer als null: q größer als 1 bedeutet Zunahme, q zwischen 0 und 1 Abnahme, q gleich 1 Konstanz. Beim beschränkten Modell verändert sich dagegen pro Schritt ein fester Anteil des Abstands zur Schranke S. Die folgenden Beispiele sind bewusst konstruierte Modelle.

Prüfe Quotienten statt Differenzen auf Konstanz.
Bei einer Schranke prüfe die Abstände zu S.
Verwechsle festen Zuwachs und festen Anteil nicht.

$\mathsf{B_n=B_0q^n}$ $\mathsf{B_{n+1}=B_n+k(S-B_n)}$ mit $\mathsf{0<k<1}$

Diskrete Werte mit waagerechter Achse Schritt n von 0 bis 4 und senkrechter Achse Bestand B in Einheiten von 0 bis 160.

Diskrete Werte mit waagerechter Achse Schritt n von 0 bis 5 und senkrechter Achse Bestand B in Einheiten von 0 bis 120. Die gestrichelte Schranke liegt bei 100.

So geht es am Beispiel

Ein Zahlenmodell startet bei 10 Einheiten und verdoppelt sich in jedem Schritt. Bestimme die ersten drei Werte.

Anfang: $\mathsf{B_0=10}$

Erster Schritt: $\mathsf{10\cdot2=20}$

Zweiter Schritt: $\mathsf{20\cdot2=40}$

So geht es am Beispiel

Ein Modellbestand startet bei 20 Einheiten und ergänzt pro Schritt die Hälfte des Abstands zu 100. Berechne zwei Schritte.

Erster Abstand: $\mathsf{100-20=80}$

Erster Zuwachs: $\mathsf{0{,}5\cdot80=40}$

Neuer Bestand: $\mathsf{20+40=60}$

Zweiter Abstand: $\mathsf{100-60=40}$

Zweiter Zuwachs: $\mathsf{0{,}5\cdot40=20}$

Zweiter Bestand: $\mathsf{60+20=80}$

Erklärung 05

Logistischer Verlauf als weiteres Modell

Ein kontinuierliches logistisches Modell mit positiver Schranke kann zunächst schneller und später langsamer wachsen. Als reines Zahlenmodell verwenden wir eine begrenzte Größe, keine Behauptung über eine reale Population oder Halle. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist bei diesem Modell im Bereich der halben Schranke am größten. Die vollständige Herleitung gehört ins Thema „Logistisches Wachstum“.

Weiterlernen: Die Themen „Lineares Wachstum“, „Exponentielles Wachstum“ und „Beschränktes Wachstum“ vertiefen die jeweiligen Regeln. Tabellenwerte allein entscheiden nicht, ob ein Prozess zwischen Messzeitpunkten kontinuierlich verläuft.

Benenne Schranke und Anfangswert.
Unterscheide den kontinuierlichen Verlauf von einer diskreten Rekursion.
Nutze das Modell nur im festgelegten Zeitbereich.

$\mathsf{B(t)=\frac{100}{1+4\cdot2^{-t}}}$ für t in Stunden und $\mathsf{t\ge0}$

Kontinuierlicher Graph mit waagerechter Achse Zeit t in h von 0 bis 6 und senkrechter Achse Bestand B in Einheiten von 0 bis 120. Die gestrichelte Schranke liegt bei 100.

So geht es am Beispiel

Berechne im gegebenen logistischen Zahlenmodell den Anfangswert und den Wert nach zwei Stunden.

Bei t gleich null: $\mathsf{2^0=1}$

Nenner: $\mathsf{1+4\cdot1=5}$

Anfangswert: $\mathsf{100:5=20}$

Bei t gleich 2: $\mathsf{2^{-2}=\frac{1}{4}}$

Nenner: $\mathsf{1+4\cdot\frac{1}{4}=2}$

Bestand: $\mathsf{100:2=50}$

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Wachstumsprozesse · BasisZu den Schritten n = 0, 1, 2, 3 gehören die Werte 12, 16, 20, 24. Gib den Anfangswert und den Zuwachs je Schritt an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anfangswert
Zuwachs je Schritt
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Anfangswert: $\mathsf{B_0=12}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Erste Differenz: $\mathsf{16-12=4}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Zweite Differenz: $\mathsf{20-16=4}$
4. Schritt 4 · Erklärung
  Dritte Differenz: $\mathsf{24-20=4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anfangswert12
2. Zuwachs je Schritt4
02
Aufgabe 2Wachstumsprozesse · BasisSchreibe für Anfangswert 7 und Zuwachs 3 je Schritt die explizite und rekursive lineare Regel auf.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Explizite Regel
Rekursive Regel mit Anfangswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Explizit: $\mathsf{B_n=7+3n}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Rekursiv: $\mathsf{B_{n+1}=B_n+3}$ mit $\mathsf{B_0=7}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Explizite Regel $\mathsf{B_n=7+3n}$
2. Rekursive Regel mit Anfangswert $\mathsf{B_{n+1}=B_n+3}$ , $\mathsf{B_0=7}$
03
Aufgabe 3Wachstumsprozesse · BasisBerechne $\mathsf{B_4}$ für $\mathsf{B_n=8+5n}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
B₄
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Zuwachs: $\mathsf{5\cdot4=20}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bestand: $\mathsf{8+20=28}$
Ergebnis
1. B₄28
04
Aufgabe 4Wachstumsprozesse · ÜbungDie Werte 10, 15, 23 gehören zu gleichen Zeitschritten. Passen sie zu einem linearen Modell? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste Differenz: $\mathsf{15-10=5}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zweite Differenz: $\mathsf{23-15=8}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungDie Zuwächse 5 und 8 sind bei gleichen Zeitschritten verschieden.
05
Aufgabe 5Wachstumsprozesse · ÜbungEin Zahlenmodell startet bei 5 und verwendet je Schritt den Faktor 3. Berechne B₁ und B₂.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
B₁
B₂
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  $\mathsf{B_1=5\cdot3=15}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  $\mathsf{B_2=15\cdot3=45}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. B₁15
2. B₂45
06
Aufgabe 6Wachstumsprozesse · ÜbungEin diskretes Modell hat Schranke 80, Anfangswert 20 und ergänzt je Schritt die Hälfte des Abstands zur Schranke. Berechne B₁.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
B₁
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Abstand: $\mathsf{80-20=60}$
2. Schritt 2 · Erklärung
  Zuwachs: $\mathsf{0{,}5\cdot60=30}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Neuer Wert: $\mathsf{20+30=50}$
Ergebnis
1. B₁50
07
Aufgabe 7Wachstumsprozesse · TransferEin Behälter enthält 30 l und verliert gleichmäßig 6 l je Minute. Berechne die Leerungszeit und gib den sinnvollen Zeitbereich der linearen Abnahme an.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Leerungszeit
Zeitbereich
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Leerungszeit: $\mathsf{30:6=5}$ Minuten
2. Schritt 2 · Erklärung
  Negative Wassermengen sind im Sachkontext nicht zulässig.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Leerungszeit5 min
2. Zeitbereich0 bis 5 min
08
Aufgabe 8Wachstumsprozesse · TransferVier Messwerte haben dieselben Differenzen bei gleichen Zeitabständen. Beweist das lineares Wachstum für alle zukünftigen Zeiten? Begründe.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Urteil
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die endlichen Daten passen zu einer linearen Regel. Außerhalb der beobachteten Zeiten können sich die Bedingungen ändern.
Ergebnisse & Teilantworten
1. UrteilNein.
2. BegründungDie Tabelle stützt das Modell für die beobachteten Werte, beweist aber keine unbegrenzte Gültigkeit.
09
Aufgabe 9Wachstumsprozesse · TransferIm kontinuierlichen Modell $\mathsf{B(t)=100/(1+4\cdot2^{-t})}$ ist t die Zeit in Stunden. Nenne die Schranke und den Anfangswert.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schranke
Anfangswert
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die Schranke des gegebenen Modells ist 100.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Bei t gleich null ist der Nenner $\mathsf{1+4=5}$
3. Schritt 3 · Erklärung
  Anfangswert: $\mathsf{100:5=20}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Schranke100 Einheiten
2. Anfangswert20 Einheiten

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich benenne Anfangswert, Zeiteinheit und Modellbereich.
Ich unterscheide konstante Differenz und konstanten Faktor.
Ich lese eine rekursive Regel mit Anfangswert.
Ich erkenne eine Schranke und die Grenze von Tabellenbelegen.

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