Wahrscheinlichkeit

Erklärung 01

Ergebnisse sammeln, Ereignisse beschreiben

1. 1

   Lege fest, was beobachtet wird.

2. 2

   Notiere alle möglichen Ergebnisse.

3. 3

   Wähle die Ergebnisse aus, die die Ereignisbedingung erfüllen.

$\mathsf{A\subseteq\Omega}$

Erklärung 02

Gleich wahrscheinliche Ergebnisse zählen

1. 1

   Prüfe die Gleichwahrscheinlichkeit.

2. 2

   Zähle günstige und alle Ergebnisse.

3. 3

   Bilde den Quotienten und wandle ihn bei Bedarf in Prozent um.

$\mathsf{P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}}$

Erklärung 03

Ergänzen und kombinieren

1. 1

   Prüfe, ob Ereignisse einander ausschließen.

2. 2

   Nutze das Gegenereignis, wenn es leichter zu zählen ist.

3. 3

   Bei mehreren Würfen zähle geordnete Ergebnisse.

$\mathsf{P(\overline A)=1-P(A)}$

Erklärung 04

Modell und Beobachtung trennen

1. 1

   Teile die Trefferzahl durch die Versuchszahl.

2. 2

   Benenne den Wert als beobachtete relative Häufigkeit.

3. 3

   Unterscheide ihn von der Wahrscheinlichkeit des Modells.

$\mathsf{h(A)=\frac{H(A)}{n}}$

1. 01
   Aufgabe 1Wahrscheinlichkeit · EinstiegEin fairer Würfel wird einmal geworfen. Notiere die Ergebnismenge und das Ereignis A „größer als 4“.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Ergebnismenge

   Ereignis A
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Alle sechs Augenzahlen sind möglich.

      $$\mathsf{\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Nur 5 und 6 erfüllen die Bedingung.

      $$\mathsf{A=\{5,6\}}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Ergebnismenge
      $\mathsf{\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}}$
   2. Ereignis A
      $\mathsf{A=\{5,6\}}$
2. 02
   Aufgabe 2Wahrscheinlichkeit · EinstiegEin Beutel enthält elf äußerlich gleiche Lose: vier Gewinnlose und sieben Nieten. Jedes Los wird gleich wahrscheinlich gezogen. Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Gewinnwahrscheinlichkeit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Vier von elf Losen sind günstig.

      $$\mathsf{P(G)=\frac{4}{11}\approx0{,}3636}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Die Prozentangabe ist gerundet.

      $$\mathsf{P(G)\approx36{,}36\%}$$

   Ergebnis

   1. Gewinnwahrscheinlichkeit
      $\mathsf{\frac{4}{11}\approx36{,}36\%}$
3. 03
   Aufgabe 3Wahrscheinlichkeit · ÜbungEin fairer Würfel wird einmal geworfen. Ordne auf der Skala zu: A „Augenzahl 7“, B „Augenzahl höchstens 4“, C „Augenzahl mindestens 1“. Zeichne und beschrifte drei Markierungen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Beschriftete Wahrscheinlichkeitsskala

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Beschriftete Wahrscheinlichkeitsskala
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      A ist unmöglich.

      $$\mathsf{P(A)=0}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Vier der sechs Augenzahlen sind höchstens 4.

      $$\mathsf{P(B)=\frac46=\frac23}$$
   3. Schritt 3 · Erklärung

      C enthält alle möglichen Ergebnisse.

      $$\mathsf{P(C)=1}$$

   Ergebnis

   1. Beschriftete Wahrscheinlichkeitsskala
      A bei 0; B bei zwei Dritteln; C bei 1.
4. 04
   Aufgabe 4Wahrscheinlichkeit · ÜbungEin Glücksrad hat zehn gleich große Felder: sechs gelbe, drei blaue und ein weißes. Berechne die Wahrscheinlichkeit für „nicht gelb“ und für „gelb oder weiß“.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Nicht gelb

   Gelb oder weiß
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Nicht gelb umfasst drei blaue und ein weißes Feld.

      $$\mathsf{P(\textsf{nicht gelb})=\frac4{10}=40\%}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Gelb und Weiß schließen sich bei einem Dreh aus.

      $$\mathsf{P(\textsf{gelb oder weiß})=\frac6{10}+\frac1{10}=70\%}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Nicht gelb
      $\mathsf{40\%}$
   2. Gelb oder weiß
      $\mathsf{70\%}$
5. 05
   Aufgabe 5Wahrscheinlichkeit · TransferZwei faire Würfel werden unabhängig geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für die Summe 5. Nenne zuerst alle günstigen geordneten Paare.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Günstige Paare

   Wahrscheinlichkeit

   Tipp anzeigen

   Die Reihenfolge der Würfel gehört zum Ergebnis.

   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Zu jeder ersten Augenzahl gehören sechs mögliche zweite Augenzahlen.

      $$\mathsf{|\Omega|=36}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Günstig sind (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).

      $$\mathsf{P(\textsf{Summe 5})=\frac4{36}=\frac19}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Günstige Paare
      (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)
   2. Wahrscheinlichkeit
      $\mathsf{\frac19}$
6. 06
   Aufgabe 6Wahrscheinlichkeit · TransferEine Münze zeigt bei 80 Würfen 46-mal Kopf. Berechne die relative Häufigkeit. Tom behauptet: „Beim nächsten Wurf kommt Kopf sicher mit 57,5 Prozent Wahrscheinlichkeit.“ Beurteile die Aussage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Relative Häufigkeit

   Beurteilung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Die relative Häufigkeit bezieht sich auf diese 80 Würfe.

      $$\mathsf{h(K)=\frac{46}{80}=0{,}575=57{,}5\%}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Dieser beobachtete Anteil legt die Wahrscheinlichkeit des nächsten Wurfs nicht sicher fest.

   3. Schritt 3 · Erklärung

      Bei einer fairen Münze und unabhängigen Würfen bleibt sie 50 Prozent. Ohne ein solches Modell dient der Anteil nur als Schätzung.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Relative Häufigkeit
      $\mathsf{57{,}5\%}$
   2. Beurteilung
      57,5 Prozent ist der beobachtete Anteil. Die nächste Wahrscheinlichkeit folgt daraus nicht sicher; im fairen unabhängigen Modell sind es 50 Prozent.