Stochastik

Erklärung 01

Drei Blickrichtungen

1. 1

   Frage: Ist ein Modell oder sind beobachtete Daten gegeben?

2. 2

   Frage: Werden Daten nur beschrieben oder auf weitere Fälle übertragen?

Ein Stichprobenergebnis ist keine sichere Aussage über alle Fälle.

Erklärung 02

Vom Zufallsexperiment zur Verteilung

1. 1

   Notiere die möglichen Ergebnisse.

2. 2

   Definiere die betrachtete Zahl eindeutig.

3. 3

   Fasse Ergebnisse mit demselben Zahlenwert zusammen.

$\mathsf{\sum_x P(X=x)=1}$

Erklärung 03

Möglichkeiten systematisch zählen

1. 1

   Lege fest, ob die Reihenfolge wichtig ist.

2. 2

   Prüfe, ob etwas mehrfach gewählt werden darf.

3. 3

   Zähle Stufe für Stufe.

$\mathsf{3\cdot2=6}$

1. 01
   Aufgabe 1Stochastik · EinstiegOrdne zu: (a) Aus einem fairen Würfelmodell die Chance auf eine 6 berechnen. (b) Die Wartezeiten von 24 Kunden zusammenfassen. (c) Aus 400 befragten Haushalten auf alle Haushalte der Stadt schließen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   a

   b

   c
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      a geht vom Modell aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      b beschreibt erhobene Daten: beschreibende Statistik.

   3. Schritt 3 · Erklärung

      c überträgt von einer Stichprobe auf eine Grundgesamtheit: induktive Statistik.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. a
      Wahrscheinlichkeitsrechnung
   2. b
      Beschreibende Statistik
   3. c
      Induktive Statistik
2. 02
   Aufgabe 2Stochastik · EinstiegEin fairer Würfel wird einmal geworfen. Das Ereignis A lautet „Augenzahl kleiner als 3“. Nenne A und berechne seine Wahrscheinlichkeit.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Ereignis

   Wahrscheinlichkeit
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Die Zahlen 1 und 2 erfüllen die Bedingung.

      $$\mathsf{A=\{1,2\}}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Zwei von sechs gleich wahrscheinlichen Ergebnissen sind günstig.

      $$\mathsf{P(A)=\frac26=\frac13}$$

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Ereignis
      $\mathsf{A=\{1,2\}}$
   2. Wahrscheinlichkeit
      $\mathsf{\frac13}$
3. 03
   Aufgabe 3Stochastik · ÜbungEine AG bietet vier Getränke A, B, C, D und drei Snacks X, Y, Z. Ein Paket enthält ein Getränk und einen Snack. Wie viele verschiedene Pakete sind möglich? Nenne alle Pakete mit Getränk C.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Anzahl

   Pakete mit C
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Zu jedem der vier Getränke gehören drei Snacks.

      $$\mathsf{4\cdot3=12}$$
   2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Mit C entstehen CX, CY und CZ.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Anzahl
      12 Pakete
   2. Pakete mit C
      CX, CY, CZ
4. 04
   Aufgabe 4Stochastik · ÜbungZwei faire Münzen werden unabhängig geworfen. X zählt die Zahlseiten. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für 0, 1 und 2 Zahlseiten. Zeichne die Verteilung als Säulendiagramm in die Vorlage.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   0 Zahlseiten

   1 Zahlseite

   2 Zahlseiten

   Säulendiagramm

   

   Zeichnen aktivierenZeichnung löschen

   Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

   Beschreibung: Säulendiagramm
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Die vier gleich wahrscheinlichen Ergebnisse sind KK, KZ, ZK und ZZ.

   2. Schritt 2 · Erklärung

      KK liefert 0 Zahlseiten, KZ und ZK liefern 1, ZZ liefert 2.

      $$\mathsf{P(X=0)=\frac14,\quad P(X=1)=\frac12,\quad P(X=2)=\frac14}$$
   3. Schritt 3 · Erklärung

      Die Säulen stehen bei 0, 1 und 2 und haben Höhen 25, 50 und 25 Prozent.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. 0 Zahlseiten
      $\mathsf{\frac14}$
   2. 1 Zahlseite
      $\mathsf{\frac12}$
   3. 2 Zahlseiten
      $\mathsf{\frac14}$
   4. Säulendiagramm
      Säulen bei 0, 1, 2 mit Höhen 25 %, 50 %, 25 %.
5. 05
   Aufgabe 5Stochastik · TransferBei 50 unabhängigen Würfen eines Würfels erscheint neunmal die 6. Berechne die relative Häufigkeit. Beweist das Ergebnis, dass der Würfel fair ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Beobachteter Anteil

   Beurteilung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Neun Treffer werden auf 50 Versuche bezogen.

      $$\mathsf{h(6)=\frac9{50}=0{,}18=18\%}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Im fairen Modell hat eine 6 die Wahrscheinlichkeit ein Sechstel.

   3. Schritt 3 · Erklärung

      Eine einzelne beobachtete Häufigkeit beweist keine Fairness. Auch ein fairer Würfel erzeugt schwankende Häufigkeiten.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Beobachteter Anteil
      $\mathsf{18\%}$
   2. Beurteilung
      Nein. Eine endliche Versuchsreihe kann mit Fairness vereinbar sein, beweist sie aber nicht.
6. 06
   Aufgabe 6Stochastik · TransferVor einem Fahrradladen werden 60 Personen befragt; 42 kommen täglich mit dem Rad. Eine Zeitung schreibt: „70 Prozent der Stadtbevölkerung fahren täglich Rad.“ Berechne den Stichprobenanteil und nenne einen konkreten Grund, warum der Schluss unsicher ist.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen↓

   Stichprobenanteil

   Problem der Befragung
   Lösung & Rechenweg

   Rechenweg

   1. Schritt 1 · Erklärung

      Der Anteil in der Befragung beträgt:

      $$\mathsf{\frac{42}{60}=0{,}7=70\%}$$
   2. Schritt 2 · Erklärung

      Vor einem Fahrradladen werden vermutlich häufiger Radfahrende angetroffen als an anderen Orten.

   3. Schritt 3 · Erklärung

      Die Ortsauswahl kann die Stichprobe verzerren; 70 Prozent ist deshalb keine gesicherte Aussage über die gesamte Stadtbevölkerung.

   Ergebnisse & Teilantworten

   1. Stichprobenanteil
      $\mathsf{70\%}$
   2. Problem der Befragung
      Die Auswahl vor dem Fahrradladen kann Radfahrende überrepräsentieren. Der Anteil gilt zunächst nur für die 60 Befragten.