Verteilung · Erklären & üben

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehrstufige Zufallsexperimente brauchen einen klaren Rechenweg. Du prüfst das Modell, multiplizierst entlang von Pfaden und addierst passende Fälle.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Zuerst das Experiment festlegen

Lege fest, was als Ergebnis zählt und ob eine Reihenfolge beachtet wird. Die Laplace-Regel gilt nur, wenn die einzelnen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Ein Ereignis fasst passende Ergebnisse zusammen.

Ein Zufallsexperiment wird unter festgelegten Bedingungen durchgeführt; mögliche Ergebnisse sind bekannt, der konkrete Ausgang ist vorab unsicher. Auch ein Glücksrad ist ein solches Experiment; gleich große Felder sind nur bei einem ideal gleichmäßig laufenden Rad gleich wahrscheinlich.

Lege die Ergebnismenge fest.
Prüfe die Gleichwahrscheinlichkeit.
Zähle günstige und mögliche Ergebnisse auf derselben Ebene.

$\mathsf{P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}}$

So geht es am Beispiel

Zwei unabhängige faire Münzen werden geworfen. Wie wahrscheinlich ist genau einmal Kopf?

Die vier geordneten Ergebnisse KK, KZ, ZK, ZZ sind gleich wahrscheinlich.

Genau einmal Kopf tritt bei KZ und ZK auf.

\mathsf{P(A)=\frac24=\frac12}

So geht es am Beispiel

Ein ideal gleichmäßig laufendes Glücksrad hat 8 gleich große Felder mit Zahlen 1,1,2,2,3,3,4,4. Wie wahrscheinlich ist eine Zahl größer als 2?

Vier der acht gleich wahrscheinlichen Felder tragen 3 oder 4.

\mathsf{P(X>2)=\frac48=\frac12}

Erklärung 02

Pfadregel und Summenregel

An jedem Knoten ergeben die abgehenden Wahrscheinlichkeiten zusammen 1. Entlang eines Pfads wird multipliziert. Mehrere vollständige Pfade sind disjunkte Fälle; ihre Wahrscheinlichkeiten werden addiert. Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändern sich Bestand und Nenner.

Eine bedingte Astwahrscheinlichkeit wird nur nach einem bisherigen Ereignis mit positiver Wahrscheinlichkeit gebildet. Ein unmöglicher vollständiger Pfad trägt 0 zur Summe bei.

Bei einer zweistufigen Einteilung, etwa zunächst in Teilgruppen und dann nach einem Merkmal, bezieht sich die zweite Astwahrscheinlichkeit jeweils nur auf die bereits gewählte Teilgruppe. Das Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit behandelt diesen Wechsel der Bezugsgruppe ausführlich.

Beginne links mit dem Startpunkt; zeichne für jede mögliche erste Beobachtung einen Ast. Ergänze an jedem Ende die möglichen nächsten Beobachtungen.
Beschrifte jeden Ast passend zum bisherigen Verlauf.
Multipliziere die Astwerte jedes gesuchten Pfads.
Addiere die gesuchten Pfadwahrscheinlichkeiten.

$\mathsf{P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A),\qquad P(A)>0}$

Zweistufiger Baum: R 3/5, B 2/5; danach 2/4,2/4 bzw.3/4,1/4.

So geht es am Beispiel

Ein Beutel enthält 3 rote und 2 blaue Kugeln. Zweimal wird ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau eine rote Kugel.

Die passenden Reihenfolgen sind Rot–Blau und Blau–Rot.

\mathsf{P(RB)=\frac35\cdot\frac24=\frac3{10}}

\mathsf{P(BR)=\frac25\cdot\frac34=\frac3{10}}

\mathsf{P(\textsf{genau eine rote})=\frac3{10}+\frac3{10}=\frac35}

So geht es am Beispiel

Eine Karte wird aus einem Beutel gezogen:2 Karten sind mit A und 1 mit B markiert. Danach wird ein fairer Würfel geworfen. Wie wahrscheinlich sind A und eine gerade Augenzahl?

Die zweite Stufe hat bei beiden Kartenarten dieselbe Chance für eine gerade Zahl.

\mathsf{P(A)=\frac23,\qquad P(\textsf{gerade}\mid A)=\frac36}

\mathsf{P(A\cap\textsf{gerade})=\frac23\cdot\frac36=\frac13}

Erklärung 03

Unabhängigkeit und Gegenereignis

Bei Unabhängigkeit ändert das erste Ereignis die Chance des zweiten nicht. Dann darfst du die unbedingten Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. Bei „mindestens einmal“ ist das Gegenereignis „keinmal“ oft einfacher. Die allgemeine Additionsregel zieht eine doppelt gezählte Überschneidung einmal ab.

Prüfe die Versuchsbedingungen vor dem Multiplizieren.
Formuliere das Gegenereignis genau.
Ziehe bei überlappenden Ereignissen die Schnittmenge ab.

$\mathsf{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$

Disjunkte Zerlegung für gerade Zahl oder mindestens4:2;4,6;5;1,3.

So geht es am Beispiel

Ein unabhängiger Versuch gelingt jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,3. Wie wahrscheinlich ist mindestens ein Erfolg in zwei Versuchen?

Das Gegenereignis besteht aus zwei Misserfolgen.

\mathsf{P(\textsf{kein Erfolg})=0{,}7^2=0{,}49}

\mathsf{P(\textsf{mindestens ein Erfolg})=1-0{,}49=0{,}51}

Erklärung 04

Auswahlen zählen und weiterlernen

Für eine Auswahl ohne Reihenfolge wird jede Gruppe nur einmal gezählt. Der Binomialkoeffizient zählt Auswahlen von k verschiedenen Objekten aus n verschiedenen Objekten. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet einer Zufallsvariable alle möglichen Werte und ihre Chancen zu; das Anschlussthema behandelt diese systematische Übersicht.

Prüfe, ob die Reihenfolge zählt.
Zähle die günstigen Auswahlen und alle Auswahlen.

$\mathsf{\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad0\le k\le n}$

So geht es am Beispiel

Aus vier verschiedenen Personen A, B, C, D wird eine Zweiergruppe gewählt. Wie viele Gruppen gibt es?

Die Gruppen sind AB, AC, AD, BC, BD und CD.

\mathsf{\binom42=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6}

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Wahrscheinlichkeitsrechnung · EinstiegEin fairer Würfel wird zweimal unabhängig geworfen. Wie viele geordnete Ergebnisse sind möglich? Wie wahrscheinlich ist zweimal die 6?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Anzahl Ergebnisse
Zweimal 6
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{|\Omega|=6\cdot6=36}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Nur das Paar (6,6) ist günstig.
  $\mathsf{P=\frac1{36}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Anzahl Ergebnisse36
2. Zweimal 6 $\mathsf{\frac1{36}}$
02
Aufgabe 2Wahrscheinlichkeitsrechnung · EinstiegEin Beutel enthält 4 grüne und 2 gelbe Kugeln. Zweimal wird ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für zweimal Grün.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Zweimal Grün
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Nach einer grünen Kugel bleiben 3 grüne unter 5 Kugeln.
  $\mathsf{P(GG)=\frac46\cdot\frac35=\frac25}$
Ergebnis
1. Zweimal Grün $\mathsf{\frac25=0{,}4}$
03
Aufgabe 3Wahrscheinlichkeitsrechnung · AnwendenZeichne die Astwahrscheinlichkeiten in den vorbereiteten Baum: 2 rote und 1 blaue Kugel, zweimal ohne Zurücklegen. Berechne anschließend die Wahrscheinlichkeit für genau eine rote Kugel.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Beschrifteter Baum
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Beschrifteter Baum
Genau eine rote Kugel
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Erste Stufe: Rot 2/3, Blau 1/3.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Nach Rot: Rot 1/2, Blau 1/2. Nach Blau: Rot 1, Blau 0.
  $\mathsf{P(RB)+P(BR)=\frac23\cdot\frac12+\frac13\cdot1=\frac23}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Beschrifteter BaumErste Stufe 2/3 und 1/3; nach Rot 1/2 und 1/2; nach Blau 1 und 0.
2. Genau eine rote Kugel $\mathsf{\frac23}$
04
Aufgabe 4Wahrscheinlichkeitsrechnung · AnwendenEin Gerät besteht jeden unabhängigen Test mit Wahrscheinlichkeit 0,8. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es in drei Tests mindestens einmal nicht besteht.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mindestens ein Misserfolg
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Das Gegenereignis lautet: alle drei Tests bestanden.
  $\mathsf{P(\textsf{alle bestanden})=0{,}8^3=0{,}512}$
  $\mathsf{P(\textsf{mindestens ein Misserfolg})=1-0{,}512=0{,}488}$
Ergebnis
1. Mindestens ein Misserfolg $\mathsf{0{,}488=48{,}8\,\%}$
05
Aufgabe 5Wahrscheinlichkeitsrechnung · TransferBeim fairen Würfel sei A „gerade Zahl“ und B „Zahl mindestens 4“. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für A oder B.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Schnittmenge
A oder B
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  A enthält 2,4,6; B enthält 4,5,6. Die Schnittmenge enthält 4,6.
  $\mathsf{P(A\cup B)=\frac36+\frac36-\frac26=\frac46=\frac23}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Schnittmenge $\mathsf{\{4,6\}}$
2. A oder B $\mathsf{\frac23}$
06
Aufgabe 6Wahrscheinlichkeitsrechnung · TransferAus fünf verschiedenen Personen werden zwei gleich wahrscheinlich als Team gewählt. Wie wahrscheinlich ist, dass eine bestimmte Person im Team ist?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Alle Teams
Teams mit der Person
Wahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Insgesamt gibt es 10 ungeordnete Teams.
  $\mathsf{\binom52=10}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Mit der bestimmten Person kann jede der vier anderen kombiniert werden.
  $\mathsf{P=\frac4{10}=\frac25}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Alle Teams10
2. Teams mit der Person4
3. Wahrscheinlichkeit $\mathsf{\frac25}$
07
Aufgabe 7Wahrscheinlichkeitsrechnung · TransferEine Urne enthält 3 rote und 1 blaue Kugel. Nach dem ersten Zug wird die Kugel zurückgelegt und neu gemischt. Jemand rechnet für zweimal Rot mit 3/4 mal 2/3. Erkläre den Fehler und rechne richtig.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehler
Richtige Wahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Durch das Zurücklegen bleibt der Bestand gleich; die zweite Chance ist wieder 3/4.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Rechnung mit 2/3 würde zu einem roten ersten Zug ohne Zurücklegen passen.
  $\mathsf{P(RR)=\frac34\cdot\frac34=\frac9{16}}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. FehlerZurücklegen erhält 3 rote unter 4 Kugeln; die zweite Chance bleibt 3/4.
2. Richtige Wahrscheinlichkeit $\mathsf{\frac9{16}}$

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich unterscheide Pfadprodukt und Summe verschiedener Fälle.
Ich passe Astwahrscheinlichkeiten an den bisherigen Verlauf an.
Ich prüfe Gleichwahrscheinlichkeit, Reihenfolge und Unabhängigkeit.

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