Verteilung · Erklären & üben

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt, welche Werte eine Zufallsvariable annimmt und wie sich die Wahrscheinlichkeiten darauf verteilen. Einzelwerte, aufsummierte Werte und Intervallflächen haben unterschiedliche Rollen.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Einzelwerte und ihre Chancen

Bei einer diskreten Zufallsvariable weist die Wahrscheinlichkeitsfunktion jedem möglichen Wert seine Wahrscheinlichkeit zu. Alle Werte sind nicht negativ und ihre Summe ist 1. Eine Zahl außerhalb der Wertemenge hat Wahrscheinlichkeit 0.

Liste alle möglichen Werte auf.
Prüfe Nichtnegativität und Summe.
Addiere die Werte eines gesuchten Ereignisses.

$\mathsf{p(x)=P(X=x),\qquad\sum_xp(x)=1}$

Säulen 0,4;0,2;0,4 bei Punktzahlen0,1,2.

So geht es am Beispiel

Eine Karte wird aus fünf gleich wahrscheinlichen Karten gezogen. Die Punkte sind 0, 0, 1, 2, 2. X ist die Punktzahl. Stelle die Verteilung auf.

Zwei Karten liefern 0, eine liefert 1, zwei liefern 2.

\mathsf{p(0)=\frac25=0{,}4}

\mathsf{p(1)=\frac15=0{,}2}

\mathsf{p(2)=\frac25=0{,}4}

\mathsf{0{,}4+0{,}2+0{,}4=1}

Erklärung 02

Bis zu einem Wert aufsummieren

Die Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit für höchstens x an. Sie ist nicht fallend. Bei diskreten Variablen entsteht eine Treppe: Der Sprung an einem möglichen Wert ist genau dessen Einzelwahrscheinlichkeit. Der Sprungpunkt gehört bereits zur oberen Stufe.

Nimm alle möglichen Werte bis einschließlich x.
Addiere ihre Einzelwahrscheinlichkeiten.
Zwischen zwei möglichen Werten bleibt die Summe konstant.

$\mathsf{F(x)=P(X\leq x)}$

F=0 vor0;0,4 ab0;0,6 ab1;1 ab2. Sprungpunkte oben geschlossen.

So geht es am Beispiel

Nutze die Kartenverteilung aus dem ersten Beispiel. Bestimme $\mathsf{F(0)}$ , $\mathsf{F(1)}$ und $\mathsf{F(1{,}5)}$ .

\mathsf{F(0)=0{,}4}

\mathsf{F(1)=0{,}4+0{,}2=0{,}6}

Zwischen 1 und 2 kommt kein möglicher Wert hinzu.

\mathsf{F(1{,}5)=0{,}6}

Erklärung 03

Dichte ist keine Punktwahrscheinlichkeit

Ein stetiges Modell erlaubt Zwischenwerte in einem Intervall. Bei einer Dichte beschreibt die Fläche unter dem Graphen die Wahrscheinlichkeit. Der Dichtewert allein ist keine Wahrscheinlichkeit. Einzelpunkte haben Wahrscheinlichkeit 0. Die Verteilungsfunktion sammelt die Fläche von links bis zum betrachteten Wert.

Für die gleichverteilte Wartezeit zwischen 0 und 4 Minuten wächst die gesammelte Fläche innerhalb des Intervalls linear; außerhalb ist sie 0 beziehungsweise 1.

\mathsf{F(x)=\begin{cases}0&x<0\\x/4&0\leq x\leq4\\1&x>4\end{cases}}

Unterscheide diskrete Einzelwahrscheinlichkeit und stetige Dichte.
Bestimme die Fläche über dem gesuchten Intervall.
Nutze für ein Intervall die Differenz der Verteilungsfunktion.

$\mathsf{P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)}$

Dichte0,25 auf0bis4Minuten; Intervall1bis3 schattiert, Fläche0,5.

So geht es am Beispiel

Eine Wartezeit wird gleichverteilt zwischen 0 und 4 Minuten modelliert. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für 1 bis 3 Minuten und für genau 2 Minuten.

Die Dichte hat Höhe 1/4 pro Minute; die Gesamtfläche ist 1.

\mathsf{F(1)=\frac14,\qquad F(3)=\frac34}

\mathsf{P(1\leq X\leq3)=F(3)-F(1)=\frac34-\frac14=\frac12}

\mathsf{P(X=2)=0}

Erklärung 04

Optional: Quantil und beobachtete Verteilung

Ein unteres q-Quantil ist der kleinste Wert, bei dem die Verteilungsfunktion mindestens q erreicht. In einer diskreten Verteilung kann F über q springen; Gleichheit ist nicht nötig. Eine empirische Verteilungsfunktion beschreibt dagegen beobachtete Daten: Sie zählt den Anteil der Messwerte bis einschließlich x. Diese Datenbeschreibung ist noch kein Beweis für eine theoretische Verteilung.

Für ein Quantil: suche die erste Stufe mit F mindestens q.
Für Daten: zähle Beobachtungen bis einschließlich x und teile durch den Stichprobenumfang.

$\mathsf{x_q=\min\{x:F(x)\geq q\},\qquad0<q<1}$

So geht es am Beispiel

In der Kartenverteilung 0,1,2 mit Chancen 0,4;0,2;0,4: Bestimme das untere 0,5-Quantil. Berechne außerdem den beobachteten Anteil bis 2 für die Daten 1,1,2,4,4.

\mathsf{F(0)=0{,}4<0{,}5,\qquad F(1)=0{,}6\geq0{,}5}

Der erste erreichte Wert ist 1.

\mathsf{x_{0{,}5}=1}

Bei den Daten liegen drei von fünf Beobachtungen höchstens bei 2.

\mathsf{F_{\mathsf{emp}}(2)=\frac35=0{,}6}

Erklärung 05

Ein passendes Modell wählen

Ein einzelner Versuch mit Erfolg oder Misserfolg führt zur Bernoulliverteilung. Die ausführliche Dichte- und Verteilungsrechnung folgt im Thema Stetige Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. Für mehrstufige Ereignisrechnungen hilft das Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Die Verteilungsfunktion einer Binomialverteilung summiert die Chancen der Trefferzahlen; das Thema Binomialverteilung vertieft dieses Modell. Für Wartezeiten führt Geometrische Verteilung weiter, für Ereignisanzahlen Poissonverteilung. Zur Normalverteilung siehe Sigma-Regeln; zur Exponentialverteilung und zum Zeichnen stetiger Dichte- und Verteilungsfunktionen siehe Stetige Dichtefunktion und Verteilungsfunktion.

Lege fest, was X zählt oder misst.
Prüfe die Modellvoraussetzungen vor der Rechnung.

Ein Diagramm ersetzt die Modellannahmen nicht.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

01
Aufgabe 1Wahrscheinlichkeitsverteilung · EinstiegX nimmt die Werte 0, 1, 2 mit Wahrscheinlichkeiten 0,15; 0,5 und q an. Bestimme q. Prüfe anschließend, ob −0,1; 0,5; 0,6 eine Verteilung sein kann.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Fehlender Wert
Zweite Liste
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{q=1-0{,}15-0{,}5=0{,}35}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die zweite Liste hat zwar Summe 1, enthält aber eine negative Wahrscheinlichkeit.
Ergebnisse & Teilantworten
1. Fehlender Wert $\mathsf{q=0{,}35}$
2. Zweite ListeKeine Verteilung: −0,1 ist negativ.
02
Aufgabe 2Wahrscheinlichkeitsverteilung · EinstiegFür X mit Werten 0, 1, 2, 3 gelten die Wahrscheinlichkeiten 0,1; 0,2; 0,4; 0,3. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 und den Wert $\mathsf{F(1)}$ .Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Mindestens 2
F(1)
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{P(X\geq2)=0{,}4+0{,}3=0{,}7}$
  $\mathsf{F(1)=P(X\leq1)=0{,}1+0{,}2=0{,}3}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Mindestens 2 $\mathsf{0{,}7}$
2. F(1) $\mathsf{0{,}3}$
03
Aufgabe 3Wahrscheinlichkeitsverteilung · AnwendenZeichne die Verteilung mit Werten 0, 1, 2 und Wahrscheinlichkeiten 0,2; 0,5; 0,3 als Säulen in die Vorlage. Beschrifte die Höhen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Säulendiagramm
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Säulendiagramm
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Die drei Höhen sind 0,2; 0,5; 0,3.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist 1.
Ergebnis
1. SäulendiagrammSäulen 0,2 bei 0; 0,5 bei 1; 0,3 bei 2.
04
Aufgabe 4Wahrscheinlichkeitsverteilung · AnwendenX hat Werte 1, 3, 5 mit Wahrscheinlichkeiten 0,25; 0,5; 0,25. Bestimme $\mathsf{F(2)}$ , $\mathsf{F(3)}$ und die Wahrscheinlichkeit für 2 < X ≤ 5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
F(2)
F(3)
Intervallwahrscheinlichkeit
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Bis 2 ist nur der Wert 1 erfasst.
  $\mathsf{F(2)=0{,}25}$
  $\mathsf{F(3)=0{,}25+0{,}5=0{,}75}$
  $\mathsf{P(2<X\leq5)=F(5)-F(2)=1-0{,}25=0{,}75}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. F(2) $\mathsf{0{,}25}$
2. F(3) $\mathsf{0{,}75}$
3. Intervallwahrscheinlichkeit $\mathsf{0{,}75}$
05
Aufgabe 5Wahrscheinlichkeitsverteilung · TransferEine Wartezeit ist gleichverteilt zwischen 0 und 10 Minuten. Berechne die Dichtehöhe und die Wahrscheinlichkeit für 2 bis 6 Minuten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Dichtehöhe
2 bis 6 Minuten
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Die Fläche des gesamten Rechtecks muss 1 sein.
  $\mathsf{f=\frac1{10}\,\mathsf{min}^{-1}}$
  $\mathsf{P(2\leq X\leq6)=4\cdot0{,}1=0{,}4}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Dichtehöhe $\mathsf{0{,}1\,\mathsf{min}^{-1}}$
2. 2 bis 6 Minuten $\mathsf{0{,}4}$
06
Aufgabe 6Wahrscheinlichkeitsverteilung · TransferEin diskretes Modell weist dem Wert 2 die Wahrscheinlichkeit 0,3 zu. Ein stetiges Modell hat an der Stelle 2 die Dichte 0,3. Ist in beiden Modellen die Wahrscheinlichkeit für genau 2 gleich 0,3?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Diskretes Modell
Stetiges Modell
Begründung
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  Im diskreten Modell ist die angegebene Einzelwahrscheinlichkeit tatsächlich 0,3.
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Im stetigen Modell ist ein Punkt ohne Intervallbreite eine Fläche von 0.
  $\mathsf{P_{\textsf{diskret}}(X=2)=0{,}3}$
  $\mathsf{P_{\textsf{stetig}}(X=2)=0}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Diskretes Modell $\mathsf{0{,}3}$
2. Stetiges Modell $\mathsf{0}$
3. BegründungDie Dichtehöhe wird erst über eine Intervallfläche zur Wahrscheinlichkeit.
07
Aufgabe 7Wahrscheinlichkeitsverteilung · TransferEine diskrete Verteilung hat Werte 0,1,2 mit Chancen 0,2;0,5;0,3. Bestimme ihr unteres 0,6-Quantil. Berechne getrennt den empirischen Anteil bis 2 für die Daten 0,2,2,3,5.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Unteres 0,6-Quantil
Empirischer Anteil bis 2
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
  $\mathsf{F(0)=0{,}2<0{,}6,\qquad F(1)=0{,}7\geq0{,}6}$
  $\mathsf{x_{0{,}6}=1}$
2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg
  Die Daten enthalten drei Werte bis einschließlich 2.
  $\mathsf{F_{\mathsf{emp}}(2)=\frac35=0{,}6}$
Ergebnisse & Teilantworten
1. Unteres 0,6-Quantil1
2. Empirischer Anteil bis 2 $\mathsf{0{,}6}$
08
Aufgabe 8Wahrscheinlichkeitsverteilung · TransferZeichne die Verteilungsfunktion zur diskreten Verteilung mit Werten 0,1,2 und Chancen 0,25;0,5;0,25. Markiere jeden Sprungpunkt auf der oberen Stufe geschlossen und das Ende der unteren Stufe offen.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
Verteilungsfunktion
Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.
Beschreibung: Verteilungsfunktion
Lösung & Rechenweg
Rechenweg
1. Schritt 1 · Erklärung
  Vor 0 ist F gleich 0; ab 0 bis unter 1 gleich 0,25; ab 1 bis unter 2 gleich 0,75; ab 2 gleich 1.
2. Schritt 2 · Erklärung
  Jeder mögliche Wert gehört bereits zur neuen höheren Stufe.
Ergebnis
1. VerteilungsfunktionStufen 0;0,25;0,75;1 mit Sprüngen bei 0,1,2; obere Punkte geschlossen.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

Ich prüfe Summe und Vorzeichen einer diskreten Verteilung.
Ich unterscheide Einzelwahrscheinlichkeit und kumulierte Wahrscheinlichkeit.
Ich interpretiere eine Dichte über Flächen.
Ich unterscheide ein Quantil und eine empirische Verteilung vom zugrunde gelegten Modell.

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