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Lagebezeichnungen · Erklären & üben

Was ist senkrecht?

Senkrechte Geraden schneiden sich im rechten Winkel. Mit Geodreieck oder Zirkel kannst du die Senkrechte durch einen vorgegebenen Punkt konstruieren.

Zu den Aufgaben

Erklärung 01

Der rechte Winkel ist entscheidend

In der Ebene schneiden sich zwei senkrechte Geraden unter 90°. Es entstehen vier rechte Winkel. Ein kleines Winkelquadrat markiert diese Beziehung. Eine bloß steile Linie ist deshalb nicht automatisch senkrecht zu einer anderen.

  1. Finde den Schnittpunkt.

  2. Prüfe oder konstruiere 90°.

g⊥h\mathsf{g\perp h}

g und h rechtwinklig mit Schnittpunkt P; beide Geraden schräg.

Erklärung 02

Mit dem Geodreieck zeichnen

Nutze zwei rechtwinklige Bezugslinien des Geodreiecks. Lege seine Mittellinie auf g und verschiebe das Werkzeug entlang g, bis die Zeichenkante durch den gewünschten Punkt verläuft. Die lange Zeichenkante steht dann rechtwinklig zur Mittellinie und damit zu g. Welche Markierung die Mittellinie ist, entnimmst du deinem Werkzeug.

  1. Richte die Mittellinie an g aus.

  2. Verschiebe ohne Verdrehung.

  3. Zeichne an der dazu senkrechten langen Kante.

Die beiden verwendeten Werkzeuglinien müssen rechtwinklig zueinander sein.

Erklärung 03

Durch einen Punkt auf oder neben g

Liegt P auf g, schneidet die neue Senkrechte g in P. Liegt P außerhalb, nennt man den Schnittpunkt F den Lotfuß. Die Strecke PF misst den kürzesten Abstand von P zu g. In beiden Fällen gibt es in der Ebene genau eine Senkrechte durch P.

  1. Führe die Zeichenkante durch P.

  2. Verlängere bis zum Schnitt mit g.

  3. Benenne beim äußeren Punkt den Lotfuß F.

Die Lotstrecke steht senkrecht auf g.

So geht es am Beispiel

g ist die horizontale Gerade y = 2. P hat die Koordinaten(5|6). Bestimme den Lotfuß.

Die Senkrechte durch P ist die vertikale Gerade x = 5.

Auf g ist y = 2.

Ergebnis

F(5|2) ist der Lotfuß.

Erklärung 04

Mit gleichen Radien konstruieren

Für P auf g wähle A und B auf g mit PA = PB. Zeichne um A und B Kreisbögen mit demselben Radius, größer als die Hälfte von AB. Verbinde die beiden Bogenschnittpunkte: Die Verbindung geht durch P und steht senkrecht auf g. Bei P außerhalb g schneidet ein Kreis um P die Gerade in zwei Punkten A und B; auch dann liegt P auf deren Mittelsenkrechter.

  1. Erzeuge zwei gleich weit von P entfernte Punkte auf g.

  2. Nutze gleich große Kreisbögen um A und B.

  3. Verbinde die Bogenschnittpunkte.

Gleiche Abstände zu A und B bestimmen ihre Mittelsenkrechte.

Gleiche Kreisbögen umA undB; VerbindungS T ist Mittellot durchM.

Erklärung 05

Vertiefung: Richtungen rechnerisch prüfen

Voraussetzungen: Vektoren, Koordinaten und Skalarprodukt. Zwei von null verschiedene Richtungsvektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist. In der Ebene haben Geraden mit solchen Richtungen einen rechten Schnittwinkel.

  1. Multipliziere entsprechende Koordinaten.

  2. Addiere die Produkte.

u⋅v=u1v1+u2v2=0\mathsf{u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2=0}

So geht es am Beispiel

Prüfe die Richtungen u = (2|1) und v = (1|−2).

u⋅v=2⋅1+1⋅(−2)=0\mathsf{u\cdot v=2\cdot1+1\cdot(-2)=0}

Ergebnis

Die beiden Richtungen stehen senkrecht aufeinander.

Erklärung 06

Senkrecht braucht einen Bezug

Die Wörter horizontal und vertikal beschreiben Orientierung. Senkrecht beschreibt einen rechten Winkel zu einer anderen Richtung. Das Thema Mittelsenkrechte ergänzt die Bedingung, dass die Gerade durch die Streckenmitte verläuft.

  1. Nenne die Bezugsgerade.

  2. Unterscheide Lot und Mittelsenkrechte.

Nicht jede Senkrechte durch einen Streckenpunkt ist eine Mittelsenkrechte.

Jetzt bist du dran

Aufgaben & Lösungen

Rechne zuerst selbst. Nutze den Platz für deinen Rechenweg und vergleiche anschließend mit der Lösung.

  1. Aufgabe 1Was ist senkrecht? · AnwendenZwei Geraden schneiden sich unter 88°. Sind sie senkrecht zueinander?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Ein rechter Winkel beträgt genau 90°.

    Ergebnis

    1. BegründungNein.88° ist kein rechter Winkel.
  2. Aufgabe 2Was ist senkrecht? · AnwendenZeichne mit dem Geodreieck die Senkrechte h zu g durch P.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen

    Senkrechte

    Gitter mit Geradeg und PunktP aufg.

    Du kannst auf Papier arbeiten oder deine Zeichnung in Worten beschreiben.

    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Erklärung

      Richte zwei rechtwinklige Bezugslinien passend aus.

    2. Schritt 2 · Erklärung

      Zeichne h durch P.

    Ergebnis

    1. Senkrechteh verläuft durchP und schneidetg unter 90°.
  3. Aufgabe 3Was ist senkrecht? · Anwendeng lautet y = 1. P liegt bei(3|5). Bestimme den Lotfuß F und die Länge PF in Längeneinheiten.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Das Lot verläuft vertikal: x = 3.

    2. Schritt 2 · Rechnung / Rechenweg

      Der y-Abstand ist 5−1 = 4.

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. LotfußF(3|1)
    2. Abstand4 Längeneinheiten
  4. Aufgabe 4Was ist senkrecht? · AnwendenWarum müssen die Kreisbögen um A und B bei der Zirkelkonstruktion denselben Radius haben?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Jeder Bogenschnittpunkt hat dann gleiche Abstände zu A und B.

    Ergebnis

    1. BegründungNur so liegen die Schnittpunkte auf der Mittelsenkrechten von AB.
  5. Aufgabe 5Was ist senkrecht? · AnwendenOptionale Vektoraufgabe: Prüfe u = (3|2) und v = (2|−3) auf Orthogonalität.Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg
      u⋅v=3⋅2+2⋅(−3)=0\mathsf{u\cdot v=3\cdot2+2\cdot(-3)=0}

    Ergebnisse & Teilantworten

    1. Skalarprodukt0
    2. UrteilDie von null verschiedenen Richtungen sind orthogonal.
  6. Aufgabe 6Was ist senkrecht? · AnwendenEine vertikale Gerade trifft eine schräge Gerade unter 70°. Darf man sie senkrecht zu dieser schrägen Geraden nennen?Aufgabe öffnenAufgabe einklappen
    Lösung & Rechenweg

    Rechenweg

    1. Schritt 1 · Rechnung / Rechenweg

      Vertikal bezieht sich auf die Orientierung; hier beträgt der Schnittwinkel nicht 90°.

    Ergebnis

    1. BegründungNein. Vertikal bedeutet nicht zu jeder Geraden senkrecht.

Selbstcheck

Das kann ich jetzt

  • Ich prüfe die Voraussetzungen vor jeder Rechnung.
  • Ich kann die Zeichnung und meine Begründung vergleichen.

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